中考二次函数压轴题专题分类训练

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,中考二次函数压轴题专题分类训练一,题型一：面积问题,2021 如图，顶点坐标为2，1的抛物线y=ax2 +bx+ca0与y 轴交于点C0，3，与x轴交于A、B两点,1求抛物线的表达式；,抛物线的解析式：y=x221=x2 4x+3,2设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求ACD的面积；,由1知，A1，0、B3，0；,设直线BC的解析式为：y=kx+3，代入点B的坐标后，得：,3k+3=0，k=-1,直线BC：y=-x+3；,由1知：抛物线的对称轴：x=2，那么 D2，1；,AD= AC= CD=,即：AC2=AD2+CD2，ACD是直角三角形，且ADCD；,SACD= 1/2 ADCD=,如图，在平面直角坐标系中，顶点为4，-1的抛物线交y轴于A点，交x轴于B，C两点点B在点C的左侧，A点坐标为0，3。,1求此抛物线的解析式；,2过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D，如果以点C为圆心的圆与直线BD相切，请判断抛物线的对称轴l与C有怎样的位置关系，并给出证明；,3点P是抛物线上的一个动点，且位于A，C两点之间，问：当点P运动到什么位置时，PAC的面积最大？并求出此时P点的坐标和PAC的最大面积。,1抛物线的顶点坐标，可用顶点式设抛物线的解析式，然后将A点坐标代入其中，即可求出此二次函数的解析式；,2根据抛物线的解析式，易求得对称轴l的解析式及B、C的坐标，分别求出直线AB、BD、CE的解析式，再求出CE的长，与到抛物线的对称轴的距离相比较即可；,3过P作y轴的垂线，交AC于Q；易求得直线AC的解析式，可设出P点的坐标，进而可表示出P、Q的纵坐标，也就得出了PQ的长；然后根据三角形面积的计算方法，可得出关于PAC的面积与P点横坐标的函数关系式，根据所得函数的性质即可求出PAC的最大面积及对应的P点坐标,此题考察了二次函数解析式确实定、相似三角形的判定和性质、直线与圆的位置关系、图形面积的求法等知识,证明：连接CE，那么CEBD，,3如图，过点P作平行于y轴的直线交AC于点Q；,2021 如图，抛物线y=x2 +mx+n与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，A1，0，C0，2,1求抛物线的表达式；,3点E时线段BC上的一个动点，过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F，当点E运动到什么位置时，四边形CDBF的面积最大？求出四边形CDBF的最大面积及此时E 点的坐标,3由二次函数的解析式可求出B点的坐标，从而可求出BC的解析式，从而可设设E点的坐标，进而可表示出F的坐标，由四边形CDBF的面积=SBCD+SCEF+SBEF可求出S与a的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论,题型二：构造直角三角形,山东聊城 如图，抛物线yax2 +bx+ca0的对称轴为x1，且抛物线经过A1，0、C0，3两点，与x轴交于另一点B,1求这条抛物线所对应的函数关系式；,2在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，并求此时点M的坐标；,3设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标,y x,2,2x3,解：由于A、B关于抛物线的对称轴直线x=1对称，,那么M点为直线BC与x=1的交点；,由于直线BC经过C0，-3，可设其解析式为y=kx-3，,那么有：3k-3=0，k=1；,直线BC的解析式为y=x-3；,当x=1时，y=x-3=-2，,即M1，-2；,2在抛物线的对称轴x1上求一点M，使点M到点A的距离与到点C,的距离之和最小，并求此时点M的坐标；,解： 方法一，作PDy轴，垂足为D；,易证BOC相似于CDP,OB=OC=3，,CD=DP=1，OD=OC+CD=4，,P1，-4,3设点P为抛物线的对称轴x=1上的一动点，求使PCB90的点P的坐标,方法二：要使PBC90，那么直线PC过点C，且与BC垂直，,又直线BC的解析式为y x3，,所以直线PC的解析式为y x3，当x1时，y4，,所以P点坐标为1，4,如图，直线 y=1/2x+1 与y轴交于点A，与x轴交于点D，抛物线y1/2x2 +bx+c 与直线交于A、E两点，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为 (1，0)。,1求该抛物线的解析式；,2动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P。,3在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M的坐标,2动点P在轴上移动，当PAE是直角三角形时，求点P的坐标P,解析：让直线解析式与抛物线的解析式结合即可求得点E的坐标PAE是直角三角形，应分点P为直角顶点，点A是直角顶点，点E是直角顶点三种情况探讨,点评：一个三角形是直角三角形，应分不同顶点为直角等多种情况进展分析；,3在抛物线的对称轴上找一点M，使|AMMC|的值最大，求出点M坐标,解析：易得|AM-MC|的值最大，应找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标,解：抛物线的对称轴为x=3/2,B、C关于x=3/2对称,MC=MB,要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大,由三角形两边之差小于第三边得，,当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大,易知直线AB的解折式为y=-x+1,点评：求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点,如图，抛物线y=ax2+bx+c经过A3.0、C0，4，点B在抛物线上，CBx轴，且AB平分CAO,1求抛物线的解析式；,2线段AB上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值；,3抛物线的对称轴上是否存在点M，使ABM是以AB为直角边的直角三角形？如果存在，求出点M的坐标；如果不存在，说明理由,试题分析：1如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；,2如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题；,3由于AB为直角边，分别以BAM=90如图3和ABM=90如图4进展讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标,1如图1，易证BC=AC，从而得到点B的坐标，然后运用待定系数法求出二次函数的解析式；,1如图1,A3，0，C0，4，,OA=3，OC=4,AOC=90，,AC=5,BCAO，AB平分CAO，,CBA=BAO=CAB,BC=AC,BC=5,BCAO，BC=5，OC=4，,点B的坐标为5，4,A3.0、C0，4、B5，4在抛物线y=ax2+bx+c上,如图2，运用待定系数法求出直线AB的解析式设点P的横坐标为t，从而可以用t的代数式表示出PQ的长，然后利用二次函数的最值性质就可解决问题,；,3由于AB为直角边，分别以BAM=90如图3和ABM=90如图4进展讨论，通过三角形相似建立等量关系，就可以求出点M的坐标,当BAM=90时，如图3所示,当ABM=90时，如图4所示,题型三：构造等腰三角形,如图，抛物线y=aX2+bX+3 a0与x轴交于点A(1，0)和点B (3，0)，与y轴交于点C,1求抛物线的解析式； y=-x2-2x+3,2设抛物线的对称轴与x轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形？假设存在，请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由,3如图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标,2解析：可根据1的函数解析式得出抛物线的对称轴，也就得出了M点的坐标，由于C是抛物线与y轴的交点，因此C的坐标为0，3，根据M、C的坐标可求出CM的距离然后分三种情况进展讨论：,当CP=PM时，P位于CM的垂直平分线上求P点坐标关键是求P的纵坐标，过P作PQy轴于Q，如果设PM=CP=x，那么直角三角形CPQ中CP=x，OM的长，可根据M的坐标得出，CQ=3-x，因此可根据勾股定理求出x的值，P点的横坐标与M的横坐标一样，纵坐标为x，由此可得出P的坐标,当CM=MP时，根据CM的长即可求出P的纵坐标，也就得出了P的坐标要注意分上下两点,当CM=CP时，因为C的坐标为0，3，那么直线y=3必垂直平分PM，因此P的纵坐标是6，由此可得出P的坐标；,要分类进展求解，不要漏解,3由于四边形BOCE不是规那么的四边形，因此可将四边形BOCE分割成规那么的图形进展计算，过E作EFx轴于F，四边形BOCE的面积=三角形BFE的面积+直角梯形FOCE的面积直角梯形FOCE中，FO为E的横坐标的绝对值，EF为E的纵坐标，C的纵坐标，就知道了OC的长在三角形BFE中，BF=BO-OF，因此可用E的横坐标表示出BF的长如果根据抛物线设出E的坐标，然后代入上面的线段中，即可得出关于四边形BOCE的面积与E的横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求得四边形BOCE的最大值及对应的E的横坐标的值即可求出此时E的坐标,在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=kx2 +x1的图象交于点A1，k和点B1，k,1当k=2时，求反比例函数的解析式；,2要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；,解析： 当k=-2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：,y= ， 利用待定系数法即可求得答案，将k=-2代入y=kx2+x-1，运用配,方法写成顶点式，即可求出二次函数的图象的顶点；,2由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k0，又由二次函数y=kx2+x-1的对称轴为x=-1/2，可得x-1/2 时，才能使得y随着x的增大而增大.,1当k=-2时，A1，-2.设反比例函数的解析式为：y=,将A1，-2代入得： m=-2反比例函数的解析式为：y=；,2要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，k0,二次函数y=kx2+x-1=k(x+1/2)2-k，,对称轴为x=-1/2,要使二次函数y=kx2+x-1满足上述条件，在k0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x-1/2时，才能使得y随着x的增大而增大,综上所述，k0且x-1/2,如图，抛物线经过点B2，3，原点O和x轴上另一点A，它的对称轴与x轴交于点C2，0,1求此抛物线的函数关系式；,2连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标；,3在2的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBG的周长最小？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由,1根据抛物线的对称轴可得出A点坐标，然后根据O、A、B三点坐标，用待定系数法可求出抛物线的解析式,2可根据B、C的坐标，求出BC的长，然后根据CB=CE，将C点坐标向上或向下平移BC个单位即可得出E点坐标,3此题的关键是确定P点的位置，可取B关于抛物线对称轴的对称点D，连接DG，直线DG与抛物线对称轴的交点即为所求P点的位置可先求出直线DG的解析式，然后联立抛物线对称轴方程即可求出P点坐标，,此题考察了二次函数解析式确实定、等腰三角形的判定、轴对称图形的性质等知识，3中能正确找出P点位置是解题的关键,2连接CB，在抛物线的对称轴上找一点E，使得CB=CE，求点E的坐标,2解：过点B作BMMC，,B点坐标为：-2，3，C点坐标为：2，0，,MC=4，BM=3,3在2的条件下，连接BE，设BE的中点为G，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得PBG的周长最小？假设存在，求出P点坐标；假设不存在，请说明理由,题型四：构造相似三角形,如图，抛物线经过A2，0，B3，3及原点O，顶点为C,1求抛物线的解析式；,2假设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；,3P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由,分析：,2根据平行四边形的性质，对边平行且相等，可以求出点D的坐标；,3分两种情况讨论，AMPBOC，PMABOC，根据相似三角形对应边的比相等可以求出点P的坐标,2假设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；,解：2当AO为边时，,A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，,DE=AO=2，,那么D在x轴下方不可能，,D在x轴上方且DE=2，,那么D11，3，D2-3，3；,当AO为对角线时，那么DE与AO互相平分，,点E在对称轴上，对称轴为直线x=-1，,由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即D3-1，-1,故符合条件的点D有三个，分别是D11，3，D2-3，3，D3-1，-1；,解：如图：B-3，3，C-1，-1，根据勾股定理得,BO2=18，CO2=2，BC2=20,BO2+CO2=BC2,BOC是直角三角形,假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与BOC相似，,设Px，y，由题意知x0，y0， ，,3P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形BOC相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由,点评:此题考察的是二次函数的综合题，,首先用待定系数法求出抛物线的解析式，,然后利用平行四边形的性质和相似三角形的性质确定点D和点P的坐标，,注意分类讨论思想的运用，难度较大,：直角梯形OABC中，BCOA，AOC=90，以AB为直径的圆M交OC于D、E，连接AD、BD直角梯形OABC中，以O为坐标原点，A在x轴正半轴上建立直角坐标系，假设抛物线y=ax2-2ax-3aa0经过点A、B、D，且B为抛物线的顶点,写出顶点B的坐标用a的代数式表示,求抛物线的解析式,在x轴下方的抛物线上是否存在这样的点P：过点P做PNx轴于N，使得PAN与OAD相似？假设存在，求出点P的坐标；假设不存在，说明理由,此题考察二次函数的顶点坐标，三角形相似的判定与性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，是一道较好的题目,提示1：首先求得对称轴，即是点B的横坐标，代入解析式即可求得点B的纵坐标，问题得以解决；,由OADCDB，得出对应线段的比一样求得a的值即可；,利用三角形相似，等腰三角形的性质，二次函数图象上点的坐标特征以及连点之间的距离解答即可,解：函数y=ax2-2ax-3a的对称轴x=1，代入解析式可得y=-4a，,所以顶点坐标为1，-4a；,故答案为1，-4a,存在，,设Px，-x2+2x+3,PAN与OAD相似，且OAD为等腰三角形，,PN=AN，,当x0x0x3时，x-3=-x2+2x+3，x1=0，x2=3都不合题意舍去，,符合条件的点P为-2，-5。,注意分类讨论,中考二次函数压轴题专题分类训练二,题型五：构造梯形,，矩形OABC在平面直角坐标系中位置如图1所示，点A的坐标为(4,0)，点C 的坐标为 (0,-2)，直线y=-2/3x与边BC相交于点D,1求点D的坐标；,2抛物线y=aX2+bX+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式；,3在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由,1求点D的坐标,分析： 由于BCx轴，那么B、C两点的纵坐标一样，了点C的坐标，将其纵坐标代入直线OD的解析式中，即可求得点D的坐标；,2抛物线y=aX2+bX+c经过点A、D、O，求此抛物线的表达式,分析：可利用待定系数法求得该抛物线的解析式；,3在这个抛物线上是否存在点M，使O、D、A、M为顶点的四边形是梯形？假设存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；假设不存在，请说明理由,分析：此题应分作三种情况考虑：,所求的梯形以OA为底，那么OADM，由于抛物线是轴对称图形，那么D点关于抛物线对称轴的对称点一定满足M点的要求，由此可得M点的坐标；,所求的梯形以OD为底，那么ODAM，所以直线AM、直线OD的斜率一样，点AD的坐标，即可确定直线AM的解析式，联立抛物线的解析式，即可确定点M的坐标；,所求的梯形以AD为底，那么ADOM，参照的解题思路，可先求出直线AD的解析式，进而确定直线OM的解析式，联立抛物线的解析式，即可求得点M的坐标,此题考察了矩形的性质、二次函数解析式确实定、梯形的判定、函数图象交点坐标的求法等知识同时还考察了分类讨论的数学思想，难度较大,如图，在平面直角坐标系中，点A(2，4)，OB2，抛物线yax2bxc经过点A、O、B三点,(1)求抛物线的函数表达式；,(2)假设点M是抛物线对称轴上一点，试求AMOM的最小值；,(3)在此抛物线上，是否存在点P，使得以点P与点O、A、B为顶点的四边形是梯形假设存在，求点P的坐标；假设不存在，请说明理由,题型六：构造平行四边形,如图，抛物线y=ax2 +bx+c交x轴于点A3，0，点B1，0，交y轴于点E0，3点C是点A关于点B的对称点，点F是线段BC的中点，直线l过点F且与y轴平行直线y=x+m过点C，交y轴于D点,1求抛物线的函数表达式；,2点K为线段AB上一动点，过点K作x轴的垂线与直线CD交于点H，与抛物线交于点G，求线段HG长度的最大值；,3在直线l上取点M，在抛物线上取点N，使以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点N的坐标,题型七：线段最值问题,如图，抛物线y=x2 +bx2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，,且A1，0,1求抛物线的解析式及顶点D的坐标；,2判断ABC的形状，证明你的结论；,3点Mm，0是x轴上的一个动点，当MC+MD的值最小时，求m的值,如图，抛物线yax 2 bxc与y轴交于点A(0，3)，与x轴分别交于B(1，0)、C(5，0)两点,1求此抛物线的解析式；,2假设一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某点设为点E，再到达抛物线的对称轴上某点设为点F，最后运动到点A求使点P运动的总路径最短的点E、点F的坐标，并求出这个最短总路径的长,题型八构造菱形,如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2 +bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为3，0，与y轴交于C0，-3点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点,1求这个二次函数的表达式,2连接PO、PC，并把POC沿CO翻折，得到四边形POPC，那么是否存在点P，使四边形POPC为菱形？假设存在，请求出此时点P的坐标；假设不存在，请说明理由,3当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积,构造圆,如图，点A与点B的坐标分别是1，0，5，0，点P是该直角坐标系内的一个动点,1使APB=30的点P有 个；,2假设点P在y轴上，且APB=30，求满足条件的点P的坐标；,3当点P在y轴上移动时，APB是否有最大值？假设有，求点P的坐标，并说明此时APB最大的理由；假设没有，也请说明理由,1以AB为边，在第一象限内作等边三角形ABC，,以点C为圆心，AC为半径作C，交y轴于点P1、P2,在优弧AP1B上任取一点P，如图1，,那么APB=1/2ACB=1/260=30,使APB=30的点P有无数个,故答案为：无数,