数学模型姜启源第二章课件

第,二,章 初等模型,2.1 公平的席位分配,2.2 录像机计数器的用途,2.3 双层玻璃窗的成效,2.4 汽车刹车距离,2.5 划艇比赛的成绩,2.6 实物交换,2.7 核军备竞赛,2.8 启帆远航,2.9 量纲分析与无量纲化,2.1,公平的席位分配,系别 学生 比例 20席的分配,人数 （%） 比例 结果,甲 103 51.5,乙 63 31.5,丙 34 17.0,总和 200 100.0 20.0 20,21席的分配,比例 结果,10.815,6.615,3.570,21.000 21,问题,三个系学生共200名甲系100，乙系60，丙系40，代表会议共20席，按比例分配，三个系分别为10，6，4席。,现因学生转系，,三系人数为103, 63, 34, 问20席如何分配。,假设增加为21席，又如何分配。,比例加惯例,对丙系公平吗,系别 学生 比例 20席的分配,人数 （%） 比例 结果,甲 103 51.5 10.3,乙 63 31.5 6.3,丙 34 17.0 3.4,总和 200 100.0 20.0 20,系别 学生 比例 20席的分配,人数 （%） 比例 结果,甲 103 51.5 10.3,10,乙 63 31.5 6.3,6,丙 34 17.0 3.4,4,总和 200 100.0 20.0 20,21席的分配,比例 结果,10.815,11,6.615,7,3.570,3,21.000 21,“公平分配方法,衡量公平分配的数量指标,人数 席位,A方,p,1,n,1,B,方,p,2,n,2,当,p,1,/,n,1,=,p,2,/,n,2,时，分配公平,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,对A的绝对不公平度,p,1,=150,n,1,=10,p,1,/,n,1,=15,p,2,=100,n,2,=10,p,2,/,n,2,=10,p,1,=1050,n,1,=10,p,1,/,n,1,=105,p,2,=1000,n,2,=10,p,2,/,n,2,=100,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,但后者对,A,的,不公平程度已大大降低!,虽二者的绝对不公平度一样,假设 p1/n1 p2/n2 ，对 不公平,A,p,1,/,n,1,p,2,/,n,2,=5,公平分配方案应使,r,A,r,B,尽量小,设A, B已分别有n1, n2 席，假设增加1席，问应分给A, 还是B,不妨设分配开场时 p1/n1 p2/n2 ，即对A不公平,对A的相对不公平度,将绝对度量改为相对度量,类似地定义,r,B,(,n,1,n,2,),将一次性的席位分配转化为动态的席位分配, 即,“公平分配方法,假设 p1/n1 p2/n2 ，定义,1假设 p1/(n1+1) p2/n2 ，,那么这席应给 A,2假设 p1/(n1+1) p2/(n2+1)，,应计算,r,B,(,n,1,+,1, n,2,),应计算,r,A,(,n,1,n,2,+1),假设rB(n1+1, n2) ,p,2,/,n,2,问：,p,1,/,n,1,rA(n1, n2+1), 那么这席应给 B,当,r,B,(,n,1,+1,n,2,) 车身的平均长度15英尺(=4.6米),“2秒准那么与“10英里/小时加一车身规那么不同,刹车距离,反响时间,司机状况,制动系统灵活性,制动器作用力、车重、车速、道路、气候 ,最大制动力与车质量成正比，使汽车作匀减速运动。,车速,常数,反应距离,制动距离,常数,假 设 与 建 模,1. 刹车距离 d 等于反响距离 d1 与制动距离 d2 之和,2. 反响距离 d1与车速 v成正比,3. 刹车时使用最大制动力,F,，,F,作功等于汽车动能的改变;,F d,2,=,m v,2,/2,F,m,t1为反响时间,且,F,与车的质量,m,成正比,反响时间 t1的经历估计值为0.75秒,参数估计,利用交通部门提供的一组实际数据拟合,k,模 型,最小二乘法,k=,0.06,计算刹车距离、刹车时间,车速,(英里/小时) (英尺/秒),实际刹车距离（英尺）,计算刹车距离（英尺）,刹车时间,（秒）,20,29.3,42（44）,39.0,1.5,30,44.0,73.5（78）,76.6,1.8,40,58.7,116（124）,126.2,2.1,50,73.3,173（186）,187.8,2.5,60,88.0,248（268）,261.4,3.0,70,102.7,343（372）,347.1,3.6,80,117.3,464（506）,444.8,4.3,“2秒准那么应修正为 “t 秒准那么,模 型,车速,(英里/小时),刹车时间,（秒）,20,1.5,30,1.8,40,2.1,50,2.5,60,3.0,70,3.6,80,4.3,车速（英里/小时）,010,1040,4060,6080,t,（秒）,1,2,3,4,2.5,划艇比赛的成绩,赛艇 2000米成绩,t,(,分),种类 1 2 3 4 平均,单人 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21,双人 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88,四人 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32,八人 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84,艇长,l,艇宽,b,(,米) (米),l,/,b,7.93 0.293 27.0,9.76 0.356 27.4,11.75 0.574 21.0,18.28 0.610 30.0,空艇重,w,0,(kg),浆手数,n,16.3,13.6,18.1,14.7,对四种赛艇单人、双人、四人、八人4次国际大赛冠军的成绩进展比较，发现与浆手数有某种关系。试建立数学模型提醒这种关系。,问题,准备,调查赛艇的尺寸和重量,l,/,b,w,0,/,n,基本不变,问题分析,前进阻力 浸没局部与水的摩擦力,前进动力,浆手的划浆功率,分析赛艇速度与浆手数量之间的关系,赛艇速度由前进动力和前进阻力决定,划浆,功率,赛艇,速度,赛艇,速度,前进,动力,前进,阻力,浆手数量,艇,重,浸没,面积,对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定,运用适宜的物理定律建立模型,模型假设,1艇形状一样(l/b为常数), w0与n成正比,2v是常数，阻力 f与 sv2成正比,符号：艇速,v, 浸没面积,s, 浸没体积,A, 空艇重,w,0, 阻力,f, 浆手数,n, 浆手功率,p, 浆手体重,w, 艇重,W,艇的静态特性,艇的动态特性,3w一样，p不变，p与w成正比,浆手的特征,模型建立,f,sv,2,p,w,v,(,n/s,),1/3,s,1/2,A,1/3,A,W,(=,w,0,+,nw,),n,s,n,2/3,v,n,1/9,比赛成绩,t,n, 1/9,np,fv,模型检验,n,t,1 7.21,2 6.88,4 6.32,8 5.84,最小二乘法,利用,4次国际大赛冠军的平均成绩对模型,t,n, 1/ 9,进行检验,t,n,1,2,4,8,7.21,6.88,6.32,5.84,与模型巧合！,问题,甲有物品X, 乙有物品Y, 双方为满足更高的需要，商定相互交换一局部。研究实物交换方案。,y,x,p,.,用,x,y,分别表示甲(乙)占有,X,Y,的数量。设交换前甲占有,X,的数量为,x,0, 乙占有,Y,的数量为,y,0, 作图：,假设不考虑双方对X,Y的偏爱，那么矩形内任一点 p(x,y),都是一种交换方案：甲占有,(,x,y,) ，乙占有,(,x,0,-,x, y,0,-,y,),x,y,y,o,0,x,o,2.6,实物交换,x,y,y,o,y,1,y,2,0,x,1,x,2,x,o,p,1,p,2,.,.,甲的无差异曲线,分析与建模,如果甲占有(x1,y1)与占有(x2,y2)具有同样的满意程度，即p1, p2对甲是无差异的，,M,N,将,所有与,p,1,p,2,无差别的点连接起来，得到一条,无差别曲线,MN,线上各点的满意度一样, 线的形状反映对X,Y的偏爱程度，,N,1,M,1,p,3,(,x,3,y,3,),.,比MN各点满意度更高的点如p3，在另一条无差异曲线M1N1上。于是形成一族无差异曲线无数条。,p,1,.,p,2,.,c,1,y,0,x,f,(,x,y,)=,c,1,无差异曲线族的性质：,单调减,(,x,增加,y,减小,),下凸,(,凸向原点,),互不相交,在,p,1,点占有,x,少、,y,多，宁愿以较多的,y,换取较少的,x,;,在,p,2,点占有,y,少、,x,多，就要以较多的,x,换取较少的,y,。,甲的无差异曲线族记作,f,(,x,y,)=,c,1,c,1,满意度,f 等满意度曲线,x,y,O,g,(,x,y,)=,c,2,c,2,乙的无差异曲线族 g(x,y)=c2具有一样性质形状可以不同,双方的交换路径,x,y,y,o,O,x,o,f,=,c,1,O,x,y,g,=,c,2,乙的无差异曲线族 g=c2 (坐标系xOy, 且反向,甲的无差异曲线族 f=c1,A,B,p,P,双方满意的交换方案必在AB交换路径上,因为在AB外的任一点,p,(,双方)满意度低于AB上的点,p,两族曲线切点连线记作,AB,A,B,p,交换方案的进一步确定,交换方案 交换后甲的占有量 (,x,y,),0,x,x,0,0,y,y,0,矩形内任一点,交换路径AB,双方的无差别曲线族,等价交换原那么,X,Y用货币衡量其价值，设交换前x0,y0价值一样，那么等价交换原那么下交换路径为,C,D,(,x,0,0), (0,y,0,),两点的连线CD,AB,与CD的交点,p,设X单价a, Y单价b, 那么等价交换下ax+by=s (s=ax0=by0),y,y,o,0,x,o,.,.,x,2.7,核军备竞赛,冷战时期美苏声称为了保卫自己的平安，实行“核威慑战略，核军备竞赛不断升级。,随着前苏联的解体和冷战的完毕，双方通过了一系列的核裁军协议。,在什么情况下双方的核军备竞赛不会无限扩张，而存在暂时的平衡状态。,当一方采取加强防御、提高武器精度、开展多弹头导弹等措施时，平衡状态会发生什么变化。,估计平衡状态下双方拥有的最少的核武器数量，这个数量受哪些因素影响。,背景,以双方(战略)核导弹数量描述核军备的大小。,假定双方采取如下同样的,核威慑战略：,认为对方可能发起所谓第一次核打击，即倾其全部核导弹攻击己方的核导弹基地；,乙方在经受第一次核打击后，应保存足够的核导弹，给对方重要目标以消灭性的打击。,在任一方实施第一次核打击时，假定一枚核导弹只能攻击对方的一个核导弹基地。,摧毁这个基地的可能性是常数，它由一方的攻击精度和另一方的防御能力决定。,模型假设,图的模型,y,=,f,(,x,)甲方有,x,枚导弹，乙方所需的最少导弹数,x,=,g,(,y,)乙方有,y,枚导弹，甲方所需的最少导弹数,当,x,=0时,y,=,y,0,，,y,0,乙方的,威慑值,x,y,y,0,0,y0甲方实行第一次打击后已经没有导弹，乙方为消灭甲方工业、交通中心等目标所需导弹数,x,1,x,0,y,1,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),x,y,0,y,0,y,=,f,(,x,),y,=,f,(,x,),乙平安区,甲平安区,双方,平安区,P,平衡点(双方最少导弹数),乙平安线,精细模型,乙方,残存率,s ,甲方一枚导弹攻击乙方一个基地，基地未被摧毁的概率。,sx,个基地未摧毁，,y,x,个基地未攻击。,xy,甲方以,x,攻击乙方,y,个基地中的,x,个,y,0,=,sx,+,y,x,x=y,y,0,=,sy,乙的,x,y,个被攻击2次，,s,2,(,x,y,)个未摧毁；,y,(,x,y,)=2,y,x,个被攻击1次，,s,(2,y,x,)个未摧毁,y,0,=,s,2,(,x,y,)+,s,(2,y,x,),x,=2,y,y,0,=,s,2,y,yx,2,y,y,=,y,0,+(1-,s,),x,y,=,y,0,/,s,y,=,y,0,/,s,2,a,交换比(甲乙导弹数量比),x,=,a y,精细模型,x=y, y,=,y,0,/,s,x,=2,y, y,=,y,0,/,s,2,y,0,威慑值,s,残存率,y,=,f,(,x,),y,是一条上凸的曲线,y,0,变大，曲线上移、变陡,s,变大，,y,减小，曲线变平,a,变大，,y,增加，曲线变陡,x,y,0,y,0,xy, y,=,y,0,+(1-,s,),x,x=y,x,=2,y,yx,2,y,甲方增加经费保护及疏散工业、交通中心等目标,乙方威慑值,y,0,变大,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),甲方的被动防御也会使双方军备竞赛升级。,其它因素不变,乙平安线 y=f(x)上移,模型解释,平衡点,P,P,甲方将固定核导弹基地改进为可移动发射架,乙平安线y=f(x)不变,甲方残存率变大,威慑值,x,0,和交换比不变,x减小，甲平安线x=g(y)向y轴靠近,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),模型解释,甲方这种单独行为，会使双方的核导弹减少,P,P,双方开展多弹头导弹，每个弹头可以独立地摧毁目标,(,x,y,仍为双方核导弹的数量),双方威慑值减小，残存率不变，交换比增加,y,0,减小,y,下移且变平,x,y,0,y,0,x,0,P,(,x,m,y,m,),x,=,g,(,y,),y,=,f,(,x,),a,变大,y,增加且变陡,双方导弹增加还是减少，需要更多信息及更详细的分析,模型解释,乙平安线 y=f(x),帆船在海面上乘风远航，确定最正确的航行方向及帆的朝向,简化问题,A,B,风向,北,航向,帆船,海面上东风劲吹，设帆船要从A点驶向正东方的B点，确定起航时的航向,，,帆,以及帆的朝向,2.8,启帆远航,模型分析,风,(,通过帆,),对船的推力,w,风对船体局部的阻力p,推力,w,的分解,w,p,阻力,p,的分解,w=w,1,+w,2,w,1,w,2,w,1,=f,1,+f,2,f,1,f,2,p,2,p,1,p,=,p,1,+,p,2,模型假设,w与帆迎风面积s1成正比，p与船迎风面积s2成正比，比例系数一样且 s1远大于 s2，,f,1,航行方向的推力,p,1,航行方向的阻力,w,1,=,w,sin(,-,),f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=,p,cos,模型假设,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,w,2,与帆面平行，可忽略,f,2,p,2,垂直于船身，可由舵抵消,模型建立,w=ks,1, p=ks,2,船在正东方向速度分量,v,1,=,v,cos,航向速度,v,与力,f=f,1,-,p,1,成正比,v,=,k,1,(,f,1,-p,1,),v,1,v,2) 令 = /2,v1=k1 w(1-cos)/2 -pcoscos ,求使v1最大w=ks1, p=ks2,1) 当,固定时求,使,f,1,最大,f,1,=,w,cos(,-,2,)-cos,/2, =,/2,时,f,1,=,w,(1,-cos,)/2,最大,= k,1,(,f,1,-p,1,)cos,f,1,=w,1,sin,=w,sin,sin(,-,),p,1,=p,cos,求,使,v,1,最大,模型建立,v,1,=,v,cos,w,p,w,1,w,2,f,1,f,2,p,2,p,1,v,1,v,模型求解,60, 75,1,t, 2,v,1,最大,备注,只讨论起航时的航向，是静态模型,航行过程中终点,B,将不在正东方,记,t,=1+2,s,2,/,s,1,k,2,=,k,1,w,/2,=(,k,1,w,/2)1-(1+2,p/w,)cos,cos,w=ks,1, p=ks,2,1/4,cos,s,2,2.9,量纲分析与无量纲化,物理量的量纲,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,动力学中根本量纲,L, M, T,速度,v,的量纲 ,v,=,LT,-1,导出量纲,加速度,a,的量纲 ,a,=,LT,-2,力,f,的量纲 ,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲 ,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),2.9.1 量纲齐次原那么,=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原那么,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原那么寻求物理量之间的关系,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t, m, l, g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2, y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,)的形式为,单摆运动中,t, m, l, g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,设,f,(,q,1,q,2,q,m,) = 0,y,s,= (,y,s,1, y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是根本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量, 且,则,g, =,LT,-2, ,l, =,L, , =,L,-3,M,v, =,LT,-1, ,s, =,L,2, ,f, =,LMT,-2,量纲分析例如：波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v, 船体尺寸,l, 浸没面积,s, 海水密度,重力加速度,g。,m,=6,n,=3,Ay=0 有m-r=3个根本解,rank A = 3,rank A = r,Ay=0 有m-r个根本解,y,s,= (,y,s,1,y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,m-r,个无量纲量,F,(,1,2,3,) = 0与,(,g,l,v,s,f,) = 0 等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,) = 0 与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0 等价,量纲分析法的评注,物理量的选取,根本量纲的选取,根本解的构造,结果的局限性,() = 0,中包括哪些物理量是至关重要的,根本量纲个数n; 选哪些根本量纲,有目的地构造 Ay=0 的根本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,2.9.2,量纲分析在物理模拟中的应用,例: 航船阻力的物理模拟,通过航船模型确定原型船所受阻力,模型船的参数(均已知),可得原型船所受阻力,模型船所受阻力,原型船的参数,(,f,1,未知，其他已知),注意：二者的一样,按一定尺寸比例造模型船，量测,f,，可算出,f,1, 物理模拟,2.9.3,无量纲化,例：火箭发射,m,1,m,2,x,r,v,0,g,星球外表竖直发射。初速v, 星球半径r, 外表重力加速度g,研究火箭高度,x,随时间,t,的变化规律,t,=0 时,x,=0, 火箭质量,m,1, 星球质量,m,2,牛顿第二定律，万有引力定律,3个独立参数,用无量纲化方法减少独立参数个数,x,=,L, ,t,=,T, ,r,=,L, ,v,=,LT,-1, ,g,=,LT,-2,变量,x,t,和独立参数,r,v,g,的量纲,用参数r,v,g的组合,分别构造与x,t具有一样量纲的xc, tc 特征尺度,无量纲变量,如,利用新变量,将被简化,令,x,c, t,c,的不同构造,1）令,的不同简化结果,为无量纲量,3）令,为无量纲量,2）令,为无量纲量,123的共同点,只含1个参数,无量纲量,解,重要差异,考察无量纲量,在123中能否忽略以为因子的项？,1),忽略,项,无解,不能忽略,项,2),3),忽略,项,不能忽略,项,忽略,项,火箭发射过程中引力,m,1,g,不变,即,x+r, r,原问题,可以忽略,项,是原问题的近似解,为什么3)能忽略项，得到原问题近似解，而1) 2)不能,1）令,2）令,3）令,火箭到达最高点时间为,v,/,g, 高度为,v,2,/2,g,大体上具有单位尺度,项可以忽略,项不能忽略,林家翘：自然科学中确定性问题的应用数学,