2.3离散型随机变量的均值、方差习题课

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,离散型随机变量的期望与方差,习题课,要点梳理,1.,若离散型随机变量,X,的分布列为,X,x,1,x,2,x,i,x,n,P,p,1,p,2,p,i,p,n,(1),均值,称,E,(,X,)=_,为随机变量,X,的均,值或,_.,它反映了离散型随机变量取值的,_.,x,1,p,1,+,x,2,p,2,+,+,x,i,p,i,+,+,x,n,p,n,数学期望,平均水平,平均偏离程度,2.,离散型随机变量的均值与方差,其中,_,为随机变量,X,的标准差,.,(2),方差,称,D(X)=,为随机变量,X,的方差,它刻画了随机变量,X,与其均值,E(X),的,_,注：方差是反映离散型随机变量偏离于均值的平均程度的量，它们的值越小，则随机变量偏离于均值的平均程度越小，即越集中于均值,。,3.,均值与方差的性质,(1),E,(,aX,+,b,)=_.,(2),D,(,aX,+,b,)=_.(,a,b,为常数,),4.,两点分布与二项分布的均值、方差,(1),若,X,服从两点分布,则,E,(,X,),=,p,D,(,X,)=_.,(2),若,XB,(,n,p,),则,E,(,X,)=_,D,(,X,)=_.,aE,(,X,)+,b,a,2,D,(,X,),p,(1-,p,),np,(1-,p,),np,【,例,1,】,设随机变量,具有分布,P,(,=,k,)=,k,=1,2,3,4,5,求,E,2,D,(2,-1),题型一、 均值与方差性质的应用,解,利用性质,E(,a,+b,),=aE,(,)+b,D(,a,+b,)=a2D(,).,D(2,-1)=4D(,)=8,1.,从,4,名男生和,2,名女生中任选,3,人参加演讲比赛,设随机变量,X,表示所选,3,人中女生的人数,.,(1),求,X,的分布列,;,(2),求,X,的数学期望和方差,;,(3),求,“,所选,3,人中女生人数,X,1”,的概率,.,超几何分布,题型二、,求离散型随机变量的期望、方差,练,1.,有一批产品,其中有,12,件正品和,4,件次品,从中任取,3,件,若,表示取到次品的个数,则,E,(,)=_.,解析,的取值为,0,1,2,3,则,练,2.,(2009,上海理，,7),某学校要从,5,名男生和,2,名女生,中选出,2,人作为上海世博会志愿者，若用随机变量,表示选出的志愿者中女生的人数,则数学期望,E,(,)=_(,结果用最简分数表示,).,解析,的可能取值为,0,1,2,2.,某运动员投篮的命中率为,p,=0.6.,(1),求一次投篮时命中次数,的均值,;,方差,;,(2),求重复,5,次投篮时,命中次数,的均值与方差,.,(1),投篮一次，命中次数,的分布列为：,0,1,P,0.4,0.6,则,E,=00.4+10.6=0.6,D,=,(0-0.6),2,0.4+(1-0.6),2,0.6=0.24.,(2),重复,5,次投篮，命中次数,服从二项分布，即,B,(5,0.6),，,故,E,=50.6=3.,D,=50.60.4=1.2.,求离散型随机变量的均值和方差，首先应明确随机变量的分布列,.,3.,(2009,湖南理,17),为拉动经济增长,某市决,定新建一批重点工程,分为基础设施工程、民生工程,和产业建设工程三类,这三类工程所含项目的个数分,别占总数的 有,3,名工人独立地从中任选一,个项目参与建设,.,(1),求他们选择的项目所属类别互不相同的概率；,(2),记 为,3,人中选择的项目属于基础设施工程或产,业建设工程的人数,求 的分布列及数学期望,.,二项分布,解,记第,i,名工人选择的项目属于基础设施工程、民,生工程和产业建设工程分别为事件,A,i,、,B,i,、,C,i,i,=1,2,3.,由题意知,A,1,A,2,A,3,相互独立,B,1,B,2,B,3,相互独立,C,1,C,2,C,3,相互独立,A,i,B,j,C,k,(,i,、,j,、,k,=1,2,3,且,i,j,、,k,互不相同,),相互独立,且,(1),他们选择的项目所属类别互不相同的概率,P,=3,！,P,(,A,1,B,2,C,3,)=,6P,(,A,1,),P,(,B,2,),P,(,C,3,),(2),设,3,名工人中选择的项目属于民生工程的人数为,由已知,4.,某一大学毕业生参加某一公司的笔试，共有,5,个问题需要解答，如该同学答对每个问题的概率均为 ，且每个问题的解答互不影响,(1),求该同学答对问题的个数,的期望与方差；,(2),设答对一个题目得,10,分，否则扣一分，求该同学得分,的期望与方差,5.,袋中有相同的,5,个球,其中,3,个红球,2,个黄球,现从,中随机且不放回地摸球,每次摸,1,个，当两种颜色的,球都被摸到时,即停止摸球,记随机变量,为此时已,摸球的次数,(1),随机变量,的概率分布列；,(2),随机变量,的数学期望与方差,.,解,(1),随机变量,可取的值为,2,3,4,所以随机变量,的概率分布列为：,2,3,4,P,(2),随机变量,的数学期望,随机变量,的方差,6.,某地区试行高考考试改革,:,在高三学年中举行,5,次,统一测试,学生如果通过其中,2,次测试即可获得足够,学分升上大学继续学习,不用参加其余的测试,而每,个学生最多也只能参加,5,次测试,.,假设某学生每次通,过测试的概率都是 每次测试时间间隔恰当,每次,测试通过与否互相独立,.,(1),求该学生考上大学的概率；,(2),如果考上大学或参加完,5,次测试就结束,记该生参,加测试的次数为,X,求,X,的分布列及,X,的数学期望,.,解,(1),记,“,该学生考上大学,”,为事件,A,，其对立事,件为,(2),参加测试次数,X,的可能取值为,2,3,4,5.,故,X,的分布列为：,答,该生考上大学的概率为 所求数学期望是,X,2,3,4,5,P,1.,甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数,X,1,，,X,2,分布列如下：,用,击中环数的期望与方差分析比较两名射手的射击水平。,X,1,8,9,10,P,0.2,0.6,0.2,X,2,8,9,10,P,0.4,0.2,0.4,解：,表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中平均得分差别不会很大，但甲通常发挥比较稳定，多数得分在,9,环，而乙得分比较分散，近似平均分布在,8,10,环。,题型三 均值与方差的实际应用,问题,1,：如果你是教练，你会派谁参加比赛呢？,问题,2,：如果其他对手的射击成绩都在,8,环左右，应派哪一名选手参赛？,问题,3,：如果其他对手的射击成绩都在,9,环左右，应派哪一名选手参赛？,X,1,8,9,10,P,0.2,0.6,0.2,X,2,8,9,10,P,0.4,0.2,0.4,2.,有甲乙两个单位都愿意聘用你，而你能获得如下信息：,甲单位不同职位月工资,X,1,/,元,1200,1400,1600,1800,获得相应职位的概,率,P,1,0.4,0.3,0.2,0.1,乙单位不同职位月工资,X,2,/,元,1000,1400,1800,2200,获得相应职位的概,率,P,2,0.4,0.3,0.2,0.1,根据工资待遇的差异情况，你愿意选择哪家单位？,解：,因为,EX,1,=EX,2,，,DX,1,DX,2,，,所以两个单位工资的均值相等，但甲单位不同职位的工资相对集中，乙单位不同职位的工资相对分散。这样，如果你希望不同职位的工资差距小一些，就选择甲单位；如果你希望不同职位的工资差距大些，就选择乙单位。,从做对题数的数学期望考察，两人水平相当；从方差考察甲较稳定从至少完成,2,题的概率考察，甲通过的可能性大因此可以判断甲的实验操作能力较强,(2),设,表示,10,万元投资乙项目的收益，则,的分布列为：,2,2,P,基础自测,1.,已知 的分布列,则在下列式子中：,正确的个数是,( ),A.0 B.1 C.2 D.3,-1,0,1,P,解析,答案,C,2.,若随机变量,X,的分布列如表,则,E(X),等于,( ),A. B. C. D.,解析,由分布列的性质,可得,2,x,+3,x,+7,x,+2,x,+3,x,+,x,=1,E,(,X,)=0,2,x,+1,3,x,+2,7,x,+3,2,x,+4,3,x,+5,x,=40,x,=,X,0,1,2,3,4,5,P,2,x,3,x,7,x,2,x,3,x,x,C,3.,设随机变量 则,( ),A.,n,=8,p,=0.2 B.,n,=4,p,=0.4,C.,n,=5,p,=0.32 D.,n,=7,p,=0.45,解析,A,4.,有一批产品,其中有,12,件正品和,4,件次品,从中有放,回地任取,3,件,若,X,表示取到次品的次数,则,D,(,X,)=,_.,解析,