交通管理问题课件

交 通 管 理 问 题 1 数 学 建 模 实 验 交 通 管 理 问 题 2 交 通 管 理 问 题王汝军河西学院数学与统计学院 交 通 管 理 问 题 3 实 验 目 的n 1 了 解 微 分 方 程 的 一 些 基 本 概 念 。n 2 初 步 掌 握 微 分 方 程 模 型 建 立 、 求 解 的 基本 方 法 和 步 骤 。n 3 学 习 掌 握 用 MATLAB软 件 中 相 关 命 令 求 解常 微 分 方 程 的 解 析 解 。 交 通 管 理 问 题 4 实 验 内 容n 在 城 市 道 路 的 十 字 路 口 ， 都 会 设 置 红 绿 交 通 灯 。 为 了 让 那 些 正行 驶 在 交 叉 路 口 或 离 交 叉 路 口 太 近 而 又 无 法 停 下 的 车 辆 通 过 路口 ， 红 绿 灯 转 换 中 间 还 要 亮 起 一 段 时 间 的 黄 灯 。 对 于 一 名 驶 近交 叉 路 口 的 驾 驶 员 来 说 ， 万 万 不 可 处 于 这 样 进 退 两 难 的 境 地 ：要 安 全 停 车 但 又 离 路 口 太 近 ； 要 想 在 红 灯 亮 之 前 通 过 路 口 又 觉得 距 离 太 远 。 那 么 ， 黄 灯 应 亮 多 长 时 间 才 最 为 合 理 呢 ？ n 已 知 城 市 道 路 法 定 速 度 为 v0 ， 交 叉 路 口 的 宽 度 为 I， 典 型 的 车身 长 度 统 一 定 为 L， 一 般 情 况 下 驾 驶 员 的 反 应 时 间 为 T ， 地 面的 磨 擦 系 数 为 。 (假 设 I 9 ， L 4.5 ， 0.2， T 1 s) 交 通 管 理 问 题 5 实 验 准 备n 微 分 方 程 是 研 究 函 数 变 化 过 程 中 规 律 的 有 力工 具 ， 在 科 技 、 工 程 、 经 济 管 理 、 人 口 、 交通 、 生 态 、 环 境 等 各 个 领 域 有 着 广 泛 的 应 用。 如 在 研 究 牛 顿 力 学 、 热 量 在 介 质 中 的 传 播、 抛 体 运 动 、 化 学 中 液 体 浓 度 变 化 、 人 口 增长 预 测 、 种 群 变 化 、 交 通 流 量 控 制 等 等 过 程中 ， 作 为 研 究 对 象 的 函 数 ， 常 常 要 和 函 数 自身 的 导 数 一 起 ， 用 一 个 符 合 其 内 在 规 律 的 方程 ， 即 微 分 方 程 来 加 以 描 述 。 交 通 管 理 问 题 6 n 1 微 分 方 程 的 基 本 概 念未 知 的 函 数 以 及 它 的 某 些 阶 的 导 数 连 同 自 变 量都 由 一 已 知 方 程 联 系 在 一 起 的 方 程 称 为 微 分方 程 。 如 果 未 知 函 数 是 一 元 函 数 ， 称 为 常 微分 方 程 。 如 果 未 知 函 数 是 多 个 变 量 的 函 数 ，称 为 偏 微 分 方 程 。 联 系 一 些 未 知 函 数 的 多 个微 分 方 程 称 为 微 分 方 程 组 。 微 分 方 程 中 出 现的 未 知 函 数 的 导 数 的 最 高 阶 数 称 为 微 分 方 程的 阶 。 若 方 程 中 未 知 函 数 及 其 各 阶 导 数 都 是一 次 的 ， 称 为 线 性 常 微 分 方 程 ， 一 般 表 示 为 交 通 管 理 问 题 7 (1)(tai若 （ 1） 式 中 系 数 （ i=1,2,n） 均 与 t 无 关 ， 称 之 为 常 系 数（ 或 定 常 、 自 治 、 时 不 变 ） 的 。 交 通 管 理 问 题 8 n 建 立 微 分 方 程 模 型 要 根 据 研 究 的 问 题 作 具 体的 分 析 。 一 般 有 以 下 三 种 方 法 ：n 根 据 规 律 建 模 ： 在 数 学 、 力 学 、 物 理 、 化 学等 学 科 中 已 有 许 多 经 过 实 践 检 验 的 规 律 和 定律 ， 如 牛 顿 运 动 定 律 、 基 尔 霍 夫 电 流 及 电 压定 律 、 物 质 的 放 射 性 规 律 、 曲 线 的 切 线 的 性质 等 ， 这 些 都 涉 及 某 些 函 数 的 变 化 率 。 我 们可 以 根 据 相 应 的 规 律 ， 列 出 常 微 分 方 程 。 交 通 管 理 问 题 9 n 微 元 法 建 模 ： 利 用 微 积 分 的 分 析 法 建 立 常 微分 方 程 模 型 ， 实 际 上 是 寻 求 一 些 微 元 之 间 的关 系 式 ， 在 建 立 这 些 关 系 式 时 也 要 用 到 已 知的 规 律 或 定 理 。 与 第 一 种 方 法 不 同 之 处 在 于这 里 不 是 直 接 对 未 知 函 数 及 其 导 数 应 用 规 律和 定 理 来 求 关 系 式 ， 而 是 对 某 些 微 元 来 应 用规 律 。 交 通 管 理 问 题 10 n 模 拟 近 似 法 建 模 ： 在 社 会 科 学 、 生 物 学 、医 学 、 经 济 学 等 学 科 的 实 践 中 ， 常 常 要 用 模拟 近 似 法 来 建 立 微 分 方 程 模 型 。 这 是 因 为 ，上 述 学 科 中 的 一 些 现 象 的 规 律 性 我 们 还 不 是很 清 楚 ， 即 使 有 所 了 解 也 并 不 全 面 ， 因 此 ，要 用 数 学 模 型 进 行 研 究 只 能 在 不 同 的 假 设 下去 模 拟 实 际 的 现 象 。 如 此 模 拟 近 似 所 建 立 的微 分 方 程 从 数 学 上 求 解 或 分 析 解 的 性 质 ， 再去 同 实 际 情 况 作 对 比 ， 观 察 这 个 模 型 能 否 模拟 、 近 似 某 些 实 际 的 现 象 。 交 通 管 理 问 题 11 n 建 立 微 分 方 程 模 型 只 是 解 决 问 题 的 第 一 步 ，通 常 需 要 求 出 方 程 的 解 来 说 明 实 际 现 象 ， 并加 以 检 验 。 交 通 管 理 问 题 12 2 微 分 方 程 通 解 的 求 解 方 法（ 1） 初 等 积 分 法有 些 微 分 方 程 可 直 接 通 过 积 分 来 进 行 求 解 。 例如 ， 一 阶 常 系 数 线 性 常 微 分 方 程可 化 为 交 通 管 理 问 题 13 n 两 边 通 过 积 分 可 得 到 通 解 y(t)为其 中 为 任 意 的 常 数 。 有 些 常 微 分 方 程 可 用 一些 技 巧 （ 如 分 离 变 量 法 、 积 分 因 子 法 、 常 数变 易 法 、 降 阶 法 等 ） 化 为 可 积 分 的 方 程 而 求得 解 析 解 。 交 通 管 理 问 题 14 n （ 2） 常 系 数 线 性 微 分 方 程 求 解线 性 常 微 分 方 程 的 解 满 足 叠 加 性 原 理 ， 从 而 它的 求 解 可 归 结 为 求 一 个 特 解 和 相 应 齐 次 微 分方 程 的 解 。 一 阶 变 系 数 线 性 常 微 分 方 程 总 可用 这 一 思 路 来 求 得 通 解 。 高 阶 线 性 常 系 数 微分 方 程 可 用 特 征 根 法 求 得 相 应 齐 次 微 分 方 程的 基 本 解 ， 再 用 常 数 变 易 法 求 特 解 。 交 通 管 理 问 题 15 例 如 ， 求 的 通 解 。解 ： 特 征 方 程 为 在 MATLAB命 令 框 中 输 入 命 令 x=roots(1 0.2 3.92)% roots命 令 用 来 求多 项 式 的 根求 解 得 到 一 对 共 轭 复 根 x = -0.1000 + 1.9774i -0.1000 - 1.9774i 交 通 管 理 问 题 16 从 而 该 微 分 方 程 的 通 解 x(t)为其 中 A、 B 为 任 意 的 常 数 。 交 通 管 理 问 题 17 一 阶 常 微 分 方 程 组 与 高 阶 常 微 分 方 程 可 以 互 化， 已 给 一 个 n阶 方 程 (2)设(2)可 化 为 一 阶 方 程 组 交 通 管 理 问 题 18 (3) 交 通 管 理 问 题 19 反 过 来 ， 在 许 多 情 况 下 ， 一 阶 微 分 方 程 组 也 可以 化 为 高 阶 方 程 。 所 以 一 阶 常 微 分 方 程 组 与 高阶 常 微 分 方 程 的 理 论 与 方 法 在 很 多 方 面 是 相 通的 。 一 阶 常 系 数 线 性 微 分 方 程 组 也 可 用 特 征 根法 进 行 求 解 。 交 通 管 理 问 题 20 3 求 微 分 方 程 （ 组 ） 通 解 的 MATLAB命 令求 解 微 分 方 程 （ 组 ） 的 解 析 解 用 函 数 dsolve。r = dsolve( eq1, eq2, . , cond1, cond2 , . , t )；其 中 eq1、 eq2等 表 示 方 程 1、 方 程 2等 ， cond1、 cond2等 表示 初 始 条 件 ， 均 用 字 符 串 方 式 表 示 ， 自 变 量 的 缺 省 值 为 t；微 分 方 程 和 初 始 条 件 中 ， 导 数 用 字 符 D表 示 ， D2、 D3分 别表 示 2阶 、 3阶 导 数 ， 并 以 此 类 推 ；r返 回 所 求 得 的 解 析 解 ， 如 果 是 方 程 组 ， 则 r的 结 构 是 一 个 向量 的 形 式 ；可 以 用 help dsolve查 阅 有 关 该 命 令 的 详 细 信 息 。 交 通 管 理 问 题 21 实 验 方 法 与 步 骤1 dsolve命 令 的 基 本 用 法下 面 以 例 题 来 予 以 说 明 ：例 1 求 高 阶 方 程 的 通 解 .输 入 命 令 ： r=dsolve(D2y=cos(2*x)-y,y(0)=1,Dy(0)=0,x)可 得 ： 交 通 管 理 问 题 22 r = (1/2*sin(x)+1/6*sin(3*x)*sin(x)+(1/6*cos(3*x)-1/2*cos(x)*cos(x)+4/3*cos(x) r=simple(r)% 对 r进 行 合 并 、 分 解 化 简 r = -1/3*cos(2*x)+4/3*cos(x) 交 通 管 理 问 题 23 例 2 求 下 面 微 分 方 程 组 的 通 解 交 通 管 理 问 题 24 输 入 命 令 x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z); x=simple(x) x = -(-C1-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t)*exp(2*t) 交 通 管 理 问 题 25 y=simple(y) y = -(C1*exp(-4*t)-C1-C2*exp(-4*t)-C2*exp(-3*t)+C2-C3+C3*exp(-3*t)*exp(2*t) z=simple(z) z = (-C1+exp(4*t)*C1-C2*exp(4*t)+C2+exp(4*t)*C3)*exp(-2*t) 交 通 管 理 问 题 26 2 引 例 问 题 的 分 析 与 求 解首 先 ， 我 们 用 模 拟 近 似 法 对 引 例 问 题 进 行 分 析 建 模 。对 于 驶 近 交 叉 路 口 的 驾 驶 员 ， 在 他 看 到 黄 色 信 号 后 要做 出 决 定 ： 是 停 车 还 是 通 过 路 口 。 如 果 他 以 法 定 速 度（ 或 低 于 法 定 速 度 ） 行 驶 ， 当 决 定 停 车 时 ， 他 必 须 有足 够 的 停 车 距 离 。 当 驾 驶 员 决 定 通 过 路 口 时 ， 必 须 有足 够 的 时 间 让 他 能 完 全 通 过 路 口 。 这 包 括 做 出 停 车 决定 的 反 应 时 间 以 及 通 过 停 车 所 需 的 最 短 距 离 的 驾 驶 时间 ， 能 够 很 快 看 到 黄 灯 的 驾 驶 员 可 以 利 用 刹 车 距 离 将车 停 下 来 。 交 通 管 理 问 题 27 于 是 ， 黄 灯 状 态 所 应 持 续 的 时 间 包 括 驾 驶 员 的反 应 时 间 ， 他 通 过 交 叉 路 口 的 时 间 以 及 通 过 刹车 距 离 所 需 要 的 时 间 。 由 题 设 可 知 城 市 道 路 法 定 速 度 为 v0 ， 交叉 路 口 的 宽 度 为 I ， 典 型 的 车 身 长 度 统 一 定 为L 。 考 虑 到 车 通 过 路 口 实 际 上 指 的 是 车 的 尾 部必 须 通 过 路 口 ， 因 此 ， 通 过 路 口 的 时 间 为 . 交 通 管 理 问 题 28 现 在 我 们 来 计 算 刹 车 距 离 ： 设 w为 汽 车 的 重 量 ， 为 磨 擦 系 数 ， 由 牛 顿 力 学 知 ， 地 面 对 汽 车 的 磨 擦力 为 w ， 其 方 向 与 汽 车 运 动 的 方 向 相 反 。 汽 车在 停 车 过 程 中 ， 由 牛 顿 第 一 动 力 定 理 有 f m a 其 中 m 为 汽 车 质 量 （ 即 w/g， g 为 重 力 加 速 度） ， a 为 汽 车 的 加 速 度 ， f是 汽 车 所 受 的 摩 擦 力。 这 里 加 速 度 a 是 停 车 距 离 关 于 时 间 t的 二 阶 导数 ， 所 以 行 驶 距 离 x与 时 间 t 的 关 系 可 由 下 面 的微 分 方 程 确 定 ： 交 通 管 理 问 题 29 约 去 w， 化 简 （ 4） 式 得同 时 ， 我 们 知 道 ， 当 t 0时 ， 距 离 x 0， 初 速 度 是 距离 x在 0时 刻 的 一 阶 导 数 ， 于 是 可 以 给 出 方 程 （ 5） 的 初始 条 件 交 通 管 理 问 题 30 在 MALAB命 令 框 中 输 入 命 令 x=dsolve(D2x=-ug,x(0)=0,Dx(0)=v0,t) x = -1/2*ug*t2+v0*t即 得 到 停 车 距 离 x关 于 时 间 t 的 解 析 式 。 交 通 管 理 问 题 31 交 通 管 理 问 题 32 设 黄 灯 闪 烁 的 时 间 为 A ， 则 A 的 表 达 式 为 交 通 管 理 问 题 33 结 果 分 析由 假 设 知 ， I 9 ， L 4.5 ， T 1s ， 磨擦 系 数 选 取 有 代 表 性 的 0.2， 我 们 考 虑 当法 定 速 度 v0 40、 60、 80km/h时 ， 黄 灯 时 间如 表 1所 示 ， 表 1也 给 出 了 与 经 验 法 黄 灯 时 间 的对 比 。 交 通 管 理 问 题 34 （ km/h） 经 验 法40 5.05 3 65 6.35 4 80 7.28 5 0v A sss sss表 1 黄 灯 预 测 时 间 与 经 验 法 时 间 的 对 比 交 通 管 理 问 题 35 我 们 注 意 到 ， 经 验 法 的 结 果 一 律 比 我 们 预 测 的黄 灯 状 态 时 间 要 短 些 ， 这 使 得 我 们 联 想 起 ， 许多 城 市 交 叉 路 口 红 、 黄 、 绿 灯 的 设 计 可 能 使 得司 机 驾 驶 着 的 汽 车 在 绿 灯 转 变 为 红 灯 的 时 刻 正处 于 交 叉 路 口 的 位 置 。 交 通 管 理 问 题 36 练 习 与 思 考1 设 一 容 积 为 （ 单 位 ： m3 ） 的 大 湖 受 到 某种 化 学 废 料 的 污 染 ， 污 染 物 均 匀 地 分 布 在 湖 中。 若 某 时 刻 起 污 染 源 被 切 断 ， 设 湖 水 更 新 的 速率 是 （ 单 位 是 ： m3 天 ） 。 试 建 立 求 污 染物 的 浓 度 下 降 至 原 来 的 5%所 需 时 间 的 数 学 模 型。 美 国 密 西 根 湖 的 容 积 为 4871 103 （ m3 ）， 湖 水 的 流 量 为 3.663959132 103 （ m3 ）， 求 污 染 中 止 后 ， 污 染 物 浓 度 下 降 到 原 来 湖 水污 染 浓 度 的 3%所 需 要 的 时 间 。 交 通 管 理 问 题 37 练 习 与 思 考n 2 某 公 司 生 产 一 种 耐 用 消 费 品 ， 产 品 一 上 市， 该 公 司 即 开 始 做 广 告 ， 一 段 时 期 的 市 场 跟 踪调 查 后 ， 该 公 司 即 发 现 ： 单 位 时 间 内 购 买 人 口百 分 比 的 相 对 增 长 率 与 当 时 还 没 有 购 买 的 百 分比 成 正 比 ， 且 通 过 估 算 得 此 比 例 系 数 为 0.5。n （ 1） 试 建 立 模 型 求 解 该 问 题 ， 即 购 买 人 口的 百 分 比 与 （ 做 广 告 ） 时 间 的 关 系 ； n （ 2） 厂 家 想 预 知 大 概 要 做 多 少 次 广 告 （ 设上 述 单 位 时 间 指 的 是 广 告 次 数 ） ， 可 使 市 场 的购 买 率 达 到 80%？