第五章量纲分析和相似原理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,量纲分析,第五章,和相似原理,第五章 量纲分析和相似原理,5,1,量纲分析,5,2,相似理论,5,3,相似准则,5,4,模型实验,主要内容,五,学习重点：,理解量纲分析的意义及应用；,掌握量纲分析方法,掌握量纲和谐原理、相似概念及主要相,似准则的意义和应用；,了解模型实验。,51,量纲分析,（,1,）量纲,是表征各种物理量性质和类别，,是指,物理量所属的种类。（质的表征）,（,2,）单位,是人为规定的量度标准，量度各种物理量数值大小的标准量。（量的表征）,一、量纲的概念,1,、量纲与单位,物理量,q,量纲（属性）,dimq,单位（量度标准）,1.,单位：,表征各物理量的大小,。,如长度单位,m,、,cm,、,mm,；,时间单位小时、分、秒等。,质量单位千克、克等,2.,量纲：,表征各物理量单位的种类,。,如,m,、,cm,、,mm,等同属于长度类，用,L,表示；,小时、分、秒等同属于时间类，用,T,表示；,公斤、克等同属于质量类，用,M,表示。,2,、量纲的分类：,（,1,）基本量纲（独立量纲）,不能用其它量纲导出的、互相独立的量纲。,（,2,）导出量纲（非独立量纲）,可由基本量纲导出的量纲。,如：,速度量纲：,L T,1,；,流量量纲：,L,3,T,1,。,如：,时间量纲：,T,长度量纲：,L,质量量纲：,M,温度量纲：,对于不可压缩流体运动，则选取,M,、,L,、,T,三个基本量纲，其他物理量量纲均为导出量纲。,速度,dimv,=LT,-1,； 加速度,dima,=LT,-2,力,dimF,=MLT,-2,； 动力粘度,dim,=ML,-1,T,-1,综合以上各量纲式，可得任一物理量,q,的量纲,dimq,都可用,3,个基本量纲的指数乘积形式表示。, alpha,角度；系数, beta,磁通系数；角度；系数, gamma,电导系数（小写）, delta,变动；密度；屈光度, ,e epsilon,对数之基数, zeta,系数；方位角；阻抗；相对粘度；原子序数, eta,磁滞系数；效率（小写）, , theta,温度；相位角, pi,圆周,直径,=3.1416, , rho,电阻系数（小写）,s sigma,总和（大写），表面密度；跨导（小写）, phi,磁通；角, psi,角速；介质电通量（静电力线）；角, omega,欧姆（大写）；角速（小写）；角,补充资料, ,米欧, ,纽, ,克西, ,欧米克隆,派, ,柔,西格玛, ,陶, ,玉普西隆, ,弗爱, ,凯, ,普赛, ,奥米伽,A ,阿尔法,B ,贝塔, ,伽玛, ,德尔塔, ,伊普西隆, ,泽塔, ,伊塔, ,西塔, ,约塔, ,卡帕,兰姆达,补充资料,3,、导出量纲公式：,dim,q,=,M,a,L,b,T,c,1,当,a = 0,，,b 0,，,c = 0,时：,为几何学量纲。,2,当,a = 0,，,b 0,，,c 0,时：,为运动学量纲。,3,当,a 0,，,b 0,，,c 0,时：,为动力学量纲。,4,、无量纲量（纯数、无因次量）：,（,1,）定义：当量纲公式中各量纲指数均为零，即,a=b=c=0,时,则,dimq,=1,，这个物理量即无量纲量。,可以由两个具有相同量纲的物理量相比得到；,也可以由几个有量纲物理量乘积组合，使组合量的量纲指数为零得到。,（,2,）特点：,2,其大小与所选单位无关，,不受运动规模的限制。,3,除能进行简单的代数运算外，也可进行对数、指数、三角函数等超越函数运算。,1,客观性。,用,L,0,M,0,T,0,表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几个物理量组合而成的综合物理量，如相似准则数：,量纲和谐原理是指在一个反映客观规律的物理方程式中，各项的量纲必须是一致的，它是被无数事实所证明的一个客观原理。,连续性方程,伯努利方程,动量方程,二、量纲和谐原理,（,3,）一个正确的物理方程其量纲必须和谐一致。,（,2,）一个物理量只有一个量纲，不同的量纲不可相加减；,（,1,）量纲与物理量的特性有关，与物理量的大小无关；,凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲必须是一致的，即只有方程两边量纲相同，方程才能成立。量纲和谐原理是量纲分析的基础。,2,、量纲的主要特性：,1,、定义,3,、量纲分析的具体应用：,（,1,）量纲分析法,即应用量纲的和谐原理，来推求各物理量,之间的函数关系的方法。,（,2,）应用：,1,检查所建立的物理方程是否正确；,2,可用于同一量纲的单位换算；,3,确定各物理量之间的合理形式；,4,设计系统实验及分析实验结果。,1,、瑞利法：,2,、,定理（布金汉定理）,三、量纲分析法,1,、瑞利法：,（,1,）特点：,可直接利用量纲一致原则进行量纲分析；,（,2,）适用范围：,方程中物理量较少（一般,4,5,个），各量纲,间的关系较易确定。,（,3,）基本原理和步骤：,对于某一物理过程，通过观察、实验、分析，,从而找出影响该物理量的主要因素：,y, x,1, x,2, x,3,x,n,写成指数形式：,y = f (x,1, x,2, x,3,x,n,),表示。,可用函数式：,量纲表示式：,据量纲和谐原理,有,:,L:,1,a,1,2,a,2,n,a,n,+,a =,T,:,1,b,1,2,b,2,n,b,n,+,b =,M:,1,c,1,2,c,2,n,c,n,+,c =,1,2,3,n,.,，,，,，,解出：,1,其指数关系式：,（,4,）举例：已知影响水泵输入功率的物理量有：水的,重度,，,流量,Q,，,扬程,H,。,求水泵输入功率,N,的表达式。,M L,2,T,-3, = M L,-2,T,-2,1,L,3,T,-1,2,L,3,2,量纲表达式：,3,据量纲的和谐原理有：,M：,1 =,+ 0 + 0,1,L：,2,1,2 = 2,+ 3,+,3,T：,2,1,3 = 2,+ 0,3,=1,2,=1,1,=1,M L,2,T,-3, = M L,-2,T,-2,1,L,3,T,-1,2,L,3,故得：,N = k,Q,H,例,7-1,已知作用在做匀速圆周运动物体上的离心力 ，,与物体的质量 、速度 和圆周半径 有关，试用瑞利法推导离心力公式。,解,根据已知条件，离心力可以写成以下指数形式,根据量纲和谐性，有,2,、,定理（布金汉定理）,是改进了的量纲分析法，可用于物理量相对,较多的情况。,（,1,）基本原理：,设某一物理过程包含,n,个物理量：,f,(,x,1,，,x,2,，,，,x,n,),=0,，,其中有,m,个为基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由,n,个物理量构成的,(,n,-,m,),个 无量纲项来描述。,F,（,1,，,1,，,，,n-m,）= 0,即：,无量纲量数组的组成方式：在,n,个变量中取,m,个量纲不同的量作为基本变量，并把基本变量与其它变量中的,一个,组成数组，共组成（,n-m,）个,无量纲数组,，例取,x,1,x,2,x,3,为基本变量，则数组为：,.,这三个基本量分别表征流体物性、几何特性和运动特征,（,2,）,m,个相互独立量纲的物理量选择：,一般可选,3,个（,m=3,），,通常分别选,几何学物,理量、运动学物量、动力学物理量,各一个。此法一,般可满足量纲相互独立。,必须相互独立,表征流体物性：密度 、粘度 等,表征几何特性,:,管径 、管长 等,表征运动特性：速度 、重力加速度 等,（,3,）确定无量纲量,的方法：,1,从,n,个物理量中选出,m,个相互独立的基本量；,2,由,m,个基本量纲冪的乘积作为分母，未列入基,本量纲的其它各物理量分别作为分子，设分子,分母量纲相同，即可求得无量纲量,。,如,m,=3,，,则有：,4,举例：,1,= x,4,/,(,x,1,1,x,2,1,x,3,1,),2,= x,5,/,(,x,1,2,x,2,2,x,3,2,),n-3,=,x,n,/,(,x,1,（,n-3,）,x,2,（,n-3,）,x,3,（,n-3,）,),3,按量纲和谐原理求得各指数，即可得出,的具体表达式。,例,2,：管中紊流，单位管长沿程水头损失,h,f,/,L,，取决于下列因素：流速,管径,D,，重力,g,，粘度,，管壁粗糙度和密度,，试用,定理分析确定方程的一般形式。,解： （,1,）找出有关物理量,（,2,）选基本量 。在有关量中取,v,，,D,，,为基本变量，基本量数,m=3,（,3,）组成,项，决定各,项基本指数。,的个数,N,(,)=,n,-,m,=7-3=4,，显然,h,f,/,L,是一个,，因,h,f,和,L,量纲都是长度。,1,=,/,(,a1,D,b1,c1,)= ,ML,-1,T,-1,/(,LT,-1,a1,L,b1,ML,-3,c1,),则,L,:-,a,1,-,b,1,+3,c,1,-1=0,T,:,a,1,-1=0,M,:-,c,1,+1 =0,由此,a,1,=1,，,b,1,=1,，,c,1,=1,。类似有：,2,=, /(,a2,D,b2,c2,) ,3,=,g/,(,a3,D,b3,c3,）,可得：,a,2,=0,，,b,2,=1,，,c,2,=0,a,3,=2,，,b,3,=-1,，,c,3,=0,（,4,）整理方程式：,即,解得：,常用沿程损失公式形式为：,称沿程阻力系数，具体由实验决定。,例,3,：液体在水平等直径的管内流动，设两点压强差,p,与下列变量有关：管径,d,l,管壁粗糙度，试求,p,的表达式。,解：（,1,）找出有关物理量,F,（,d,l,p,）,=0,（,2,）选基本量，组成,项。基本量,d,n,=7,m,=3, ,数,n,-,m,=4,个,（,3,）决定各,项基本量指数,对,1,：,对,2,：,同理得 ：,（,4,）整理方程式,设,则,（,2,）量纲和谐原理是判别经验公式是否完善的基础。,19,世纪，量纲分析原理未发现之前，水力学中积累了,不少纯经验公式，每一个经验公式都有一定的实验,根据， 都可用于一定条件下流动现象的描述，这些,公式孰是孰非，无所适从。量纲分析方法可以从量,纲理论作出判别和权衡，使其中的一些公式从纯经,验的范围内解脱出来。,关于量纲分析方法的几点讨论：,（,1,）量纲分析法的理论基础是量纲和谐原理。,（,3,）应用量纲分析方法得到的物理方程式，是否符合客观,规律和所选入的物理量是否正确有关。而量纲分析方,法本身对有关物理量的选取却不能提供任何指导和启,示，可能由于遗漏某一个决定性的物理量，造成方程,中出现累赘的量纲量。这种局限性是方法本身决定的。,弥补它，需要已有的理论分析方法和实验成果，要依,靠研究者的经验和对流动现象的观察认识能力。,（,4,）量纲分析为组织实施实验研究，以及整理实验数据提,供了科学的方法，可以说量纲分析方法是沟通流体力,学理论和实验之间的桥梁。,思考题,1.,量纲分析有何作用？,答：可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。,2.,经验公式是否满足量纲和谐原理？,答：一般不满足。通常根据一系列的试验资料统计而得，不考虑量纲之间的和谐。,3.,瑞利法和布金汉,定理各适用于何种情况？,答：瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数,45,个，,定理是具有普遍性的方法。,相似原理,实物,模型,相似原理,实验设备：,水池、水槽、风洞。,相似理论：,模型流场再现实物流场的准则,指导模型实验。,实验结果推广到原型以及应用到相似的流动中。,52,相似理论,一、相似的概念,1,、模型实验：,从模型上得到的现象可用来推断,原型上可能发生的情况。,模型：,指与原型（工程实物）有同样的运动规律，,各运动参数存在固定比例关系的缩小物。,原型：,天然水流和实际建筑物称为原型。,2,、相似理论：,研究原型与模型之间联系的理论，即为,相似理论,。是模型实验的理论基础。,3,、流动相似,是几何相似概念的扩展。即要求在原、 模型的流动现象对应点上，同类的物理量（几何学物理量、运动学物理量、动力学物理量）具有固定的比例关系。即流动相似扩展为下面的“,相似条件,”。,二、相似条件,满足力学相似，即,几何相似、运动相似、,动力相似、,初始条件和边界条件相似,。,一、几何相似,模型和实际流场的几何形状相似，即对应的线段成比例，对应的夹角相等。,长度比尺,面积比尺,体积比尺,以角标,p,表示原型,（,prototype,）,m,表示模型,（,model,）,二、运动相似,两个流场对应点上的速度（或加速度）的方向相同，大小成比例，即,速度比尺,加速度比尺,时间比尺,重力加速度比尺,三、动力相似,两个流动各对应点上受到的各种同名力方向相同、大小成比例 ，即,粘性力,重力,压力,弹性力,表面张力,惯性力,力的比尺,密度比尺,粘度比尺,四、初始条件和边界条件相似,1.,初始条件和边界条件的相似是保证两个流动相似的充分条件，正如初始条件和边界条件是微分方程的定解条件一样。,2.,对于非恒定流，初始条件是必须的，而对于恒定流，初始条件则失去了意义。,3.,边界条件是指两个流动相应边界性质相同，比如，自由表面上的压强等于大气压强，固体边界上的法线速度为零等。,几何相似是运动相似和动力相似的前提,；,动力相似是决定流动相似的主要因素；,运动相似是几何相似和动力相似的表现。,7-3,相似准则,1.,相似准则：两个流动要实现动力相似，作用在相应质点上的各种作用力的比尺要满足的约束关系。,一、牛顿相似准则,2.,牛顿相似准则,惯性力比尺,力的比尺,牛顿数,牛顿相似准则是两个流动动力相似的充分与必要条件,二、动力相似准则,1.,雷诺准则（粘性力准则）,粘性力比尺,雷诺数,雷诺准则：粘性力起主要作用。,2.,佛汝德,准则（重力准则）,重力比尺,佛汝德数,佛如德准则：重力起主要作用。,3.,欧拉,准则（压力准则）,压力比尺,欧拉数,欧拉准则：动压力起主要作用。,4.,其它,准则,韦伯准则（表面张力准则）,柯西准则（弹性力准则）,马赫准则（弹性力准则）,韦伯数,柯西数,马赫数,水击、水流诱发振动,超音速气流,小规模流动，表面张力显著,例,7-5,一潜艇长为,L,78m,，水面航速为,13kn,现用,1,：,50,的模型在水池中做实验测它的兴波阻力，试确定水池拖车的拖曳速度。,解：实验应按佛汝德准则进行,。,已知船模长度：,实艇水面航速为：,故实验时船模的拖曳速度为：,例,7-6,已知直径为,15cm,的输油管，流量,0.18m,3,/s,，油的运动粘度,p,=0.13cm,2,/s,。现用水作模型实验，水的运动粘度,m,=0.013cm,2,/s,。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量,Q,m,。若测得,5m,长输水管两端的压强水头差 ，试求,100m,长的输油管两端的压强差？ 解：（,1,）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则,因 ，上式可简化为,流量比尺 ，所以模型中水的流量为,（,2,）流动的压降满足欧拉准则,因 ，则,5m,长输油管两端的压强差为,（油柱）,100m,长的输油管两端的压强差,（油柱）,