量纲分析法建模[1]

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学建模,量纲分析法,1,量纲分析法,量纲分析（Dimensional Analysis)是20世纪初提出的在物理领域中建立数学模型的一种方法，它在经验和实验的基础上利用物理定律的量纲齐次原则,确定各物理量之间的关系。,一、,量纲齐次原则,长度,l,的量纲记,L,=,l,质量,m,的量纲记,M,=,m,时间,t,的量纲记,T,=,t,2,速度,v,的量纲 ,v,=,LT,-1,加速度,a,的量纲 ,a,=,LT,-2,力,f,的量纲 ,f,=,LMT,-2,引力常数,k,的量纲 ,k,对无量纲量,，,=1(=,L,0,M,0,T,0,),=,f,l,2,m,-2,=,L,3,M,-1,T,-2,量纲齐次原则,等式两端的量纲一致,量纲分析利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系,3,例：单摆运动,l,mg,m,求摆动周期,t,的表达式,设物理量,t, m, l, g,之间有关系式,1,2,3,为待定系数，,为无量纲量,(1)的量纲表达式,对比,4,对,x,y,z,的两组测量值,x,1,y,1,z,1,和,x,2,y,2,z,2,，,p,1,=,f,(,x,1,y,1,z,1,),p,2,=,f,(,x,2, y,2,z,2,),为什么假设这种形式,设,p,=,f,(,x,y,z,),x,y,z,的量纲单位缩小,a,b,c,倍,p,=,f,(,x,y,z,)的形式为,5,单摆运动中,t, m, l, g,的一般表达式,y,1,y,4,为待定常数,为无量纲量,6,设,f,(,q,1,q,2,q,m,) = 0,y,s,= (,y,s,1, y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,F,(,1,2,m-r,) = 0,与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0,等价,F,未定,Pi,定理,(Buckingham),是与量纲单位无关的物理定律，,X,1,X,2,X,n,(,n,m,)是基本量纲,q,1,q,2,q,m,的量纲可表为,量纲矩阵记作,线性齐次方程组,有,m-r,个基本解，记作,为,m-r,个相互独立的无量纲量, 且,则,7,g, =,LT,-2, ,l, =,L, , =,L,-3,M,v, =,LT,-1, ,s, =,L,2, ,f, =,LMT,-2,量纲分析示例：,波浪对航船的阻力,航船阻力,f,航船速度,v, 船体尺寸,l, 浸没面积,s, 海水密度,重力加速度,g。,m,=6,n,=3,8,Ay,=0,有,6-3,=3,个基本解,rank A = 3,rank A = r,Ay,=0,有,m-r,个基本解,y,s,= (,y,s,1,y,s,2, ,y,sm,),T,s,= 1,2,m-r,m-r,个无量纲量,9,F,(,1,2,3,) = 0与,(,g,l,v,s,f,) = 0 等价,为得到阻力,f,的显式表达式,F,=0,未定,F,(,1,2,m-r,) = 0 与,f,(,q,1,q,2,q,m,) =0 等价,10,量纲分析法的评注,物理量的选取,基本量纲的选取,基本解的构造,结果的局限性,() = 0,中包括哪些物理量是至关重要的,基本量纲个数,n,; 选哪些基本量纲,有目的地构造,Ay,=0 的基本解,方法的普适性,函数,F,和无量纲量未定,不需要特定的专业知识,11,二,、案例原子弹爆炸的能量估计,1、问题的提出,1945年7月16日，美国科学家试爆了全球第一颗原子弹。人们想了解这次爆炸的威力究竟有多大。英国物理学家Taylor(1886-1975)通过研究爆炸时的录像带，建立数学模型对这次爆炸所释放的能量进行了估计，得到的结果为19.2千吨。这次爆炸所释放的实际能量为21千吨。,那么，Taylor是如何对,原子弹爆炸的能量进行估计的呢？,12,Taylor认为，爆炸的能量与爆炸形成的“蘑菇云”半径大小有关，他根据录影带，测出不同时刻爆炸所产生的“蘑菇云”半径见下表。,表1 时刻t(ms)所对应的“蘑菇云”半径r(m),t r(t),t r(t),t r(t),t r(t),t r(t),0.10 11.1,0.80 34.2,1.50 44.4,3.53 61.1,15.0 106.5,0.24 19.9,0.94 36.3,1.65 46.0,3.80 62.9,25.0 130.0,0.38 25.4,1.08 38.9,1.79 46.9,4.07 64.3,34.0 145.0,0.52 28.8,1.22 41.0,1.93 48.7,4.34 65.6,53.0 175.0,0.66 31.9,1.36 42.8,3.26 59.0,4.61 67.3,62.0 185.0,13,2、建立数学模型,Taylor建立计算,爆炸能量的数学模型所采用的是量纲分析法。记爆炸能量为E，将“蘑菇云”半径近似看成一个球形。除时刻t和能量E外， 与“蘑菇云”半径r有关的物理量还可能有“蘑菇云” 周围的空气密度（记为 ）和大气压强P，将要寻求的关系为：,记作更一般的形式,14,取3个基本量纲：长度L，质量M和时间T，（2）中各个物理量的量纲分别是,由此得到量纲矩阵为,齐次方程 Ay=0的基本解为,15,根据量纲分析的Bucking-ham Pi定理，由这2个基本解可以得到2个无量纲量,（3）,（4）,（5）,16,3、数值计算,为了利用表1中t和r的数据由（6）确定原子弹爆炸的能量E，必先估计 的大小。,（7）,17,（8）,其中 是待定系数，对（8）取对数后用线性最小二乘拟合，根据表1中t和r的数据得到,18,原子弹爆炸,的能量是,19.1863千吨,原子弹爆炸能量的实际值21千吨,基本一致,19,