量纲分析与相似理论

*,量纲分析与相似理论,流体力学,流体力学,1,量纲、量纲和谐性原理,MF2Hf0611000,2,题 目,什么是量纲，什么是单位，二者之间有什么区别和联系？,答：量纲是表示各种物理量的类别；单位是度量各种物理量数值大小的标准。单位和量纲都是关于度量的概念，单位决定量度的数量，而量纲则指量度的性质。,3,量纲、量纲和谐性原理,MF2Hf0611001,4,题 目,量纲分析方法提出的根据是什么，它有何作用？,答：,1.提出根据,（1）自然界一切物理现象的内在规律，都可以用 完整的物理方法来表示。,（2）任何完整物理方程，必须满足量纲和谐性原理。,2.作用,可用来推导各物理量的量纲；简化物理方程；检验物理方程、经验公式的正确性与完善性，为科学地组织实验过程、整理实验成果提供理论指导。,5,量纲、量纲和谐性原理,MF2Hf0611002,6,题 目,凡是正确反映客观规律的物理方程，其方程各项的量纲都必须是一致的，这被之为量纲和谐性原理。但是在曼宁公式 中，谢齐系数,C,的量纲为 ，,R,的量纲为,L,，,n,为无量纲量，很明显量纲是不和谐的，所以可能有人认为量纲和谐性原理是错误的，你是如何认识这个问题的，并阐述你的理由。,7,解,：,量纲和谐性原理是以被无数事实证明的客观真理。因为只有两个同类型的物理量才能相加减，否则没有物理意义的。而一些经验公式是在没有理论分析的情况下，根据部分实验资料或实测数据统计而得，这类公式经常是量纲是不和谐的。这说明人们对客观事物的认识还不够全面和充分，只能用不完全的经验关系式来表示局部的规律性。这些公式随着人们对流体本质的深刻认识，将逐步被修正或被正确完整的公式所替代。,解题步骤,8,瑞利法,MF2Hf0612000,9,题 目,试用瑞利法分析溢流堰过流时单宽流量,q,的表达式。已知,q,与堰顶水头,H,、水的密度,和重力加速度,g,有关。,10,1. 分析影响因素，列出函数方程,解,：,根据题意可知，溢流堰过流时单宽流量,q,与堰顶水头,H,、水的密度,和重力加速度,g,有关，用函数关系式表示为,解题步骤,2. 将,q,写成,H,，,，,g,的指数乘积形式，即,11,3. 写出量纲表达式,解题步骤,4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为,5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数,L,：2=a-3b+c,T,：-1=-2c,M,：0=b,a=3/2,b=0,c=1/2,12,6. 代入指数乘积式，得,其中，,k,1,为无量纲系数，即流量系数,m，,由实验来确定。,解题步骤,即,13,瑞利法,MF2Hf0612001,14,题 目,求水泵输出功率的表达式。已知水泵的输出功率,N,与单位体积水的重量 、流量,Q,、扬程,H,有关。,15,1. 分析影响因素，列出函数方程,解,：,根据题意可知，水泵的输出功率,N,与单位体积水的重量 、流量,Q,、扬程,H,有关,用函数关系式表示为,解题步骤,2. 将,N,写成,，,Q,，,H,的指数乘积形式，即,16,3. 写出量纲表达式,解题步骤,4. 选L、T、M作为基本量纲，表示各物理量的量纲为,5. 由量纲和谐性原理求各量纲指数,L,：2=-2a+3b+c,T,：-3=-2a-b,M,：1=a,a=1,b=1,c=1,17,6. 代入指数乘积式，得,其中，,k,为无量纲系数，通过实验来确定。,解题步骤,18,定理,MF2Hf0613000,19,题 目,简述布金汉,定理的运用步骤？,答：,1.确定关系式。,根据对所研究现象的认识，确定影响这个现象的各个物理量及其关系式。,2.确定基本物理量。,从n个物理量中选取所包含的m个基本物理量作为基本量纲的代表，一般取m=3。使基本量纲的行列式不等于零，即保障基本无论量相互独立。,20,3. 确定基本物理量依次与其余物理量组成的表达式。,解题步骤,4. 满足为无量纲相，由量纲和谐性原理定出各,项基本物理量的指数,a,、,b,、,c,。,5. 写出描述现象的关系式。,21,定理,MF2Hf0613001,22,题 目,在用布金汉,定理时，要选取3个相互基本物理量，如何合理的选择这3个基本物理量呢？,答：,（1）,基本物理量与基本量纲相对应。即若基本量纲选（M，L，T）为三个，那么基本物理量也选择三个；倘若基本量纲只出现两个，则基本物理量同样只须选择两个。,（2）,选择基本物理量时，应选择重要的物理量。换句话说，不要选择次要的物理量作为基本物理量，否则次要的物理量在大多数项中出现，往往使问题复杂化，甚至要重新求解。,（3）,为保证三个基本物理量相互独立，其量纲的指数行列式应满足不等于零的条件。一般是从几何学量、运动学量、动力学量中各选一个，即可满足要求。,23,定理,MF2Hf0613002,24,题 目,文丘里流量计是用来测量有压管路的流量，如右图所示，已知1-1断面和2-2断面之间的压强差,p,随流量,Q,，流体密度,，液体粘度,以及大小直径,D,1,，,D,2,变化。试用,定律求出的压强降落,p,表示的流量公式。,文丘里流量计,25,1. 分析影响因素，列出函数方程,解,：,根据题意可知，压强差,p,与通过的流量,Q,，流体的密度,，液体的粘度,以及大小直径,D,1,D,2,有关，用函数关系式表示为：,可以看出函数中的变量个数,n,6,解题步骤,26,解题步骤,选取三个基本物理量，它们分别是几何学量,D,1,，运动学量,Q,以及动力学量,。,2.,选取基本物理量,量纲指数行列式,由量纲公式：,故上述所选的三个基本物理量式相互独立的。,27,解题步骤,3.,列出无量纲,值,列出 个无量纲的,值。,其中 为待定指数。,28,4.,根据量纲和谐性原理，确定各,项的指数,对于,1,，其量纲式为：,所以,：,解题步骤,29,解题步骤,对于,2,，其量纲式为：,对于,3,，其量纲式为：,30,解题步骤,5. 写出无量纲量方程,上式中的数可根据需要取其倒数，而不会改变它的无量纲性质。即：,31,定理,MF2Hf0613003,32,题 目,流体在水平圆管中作恒定流动，管道截面沿程不变，管径为,D,，由于阻力的作用，压强将沿流程下降，通过观察，已知两个相距为,l,的断面间的压强差,p,与断面平均流速,V,，流体密度,，动力粘性系数,以及管壁表面的平均粗糙度,等因素有关。假设管道很长，管道进出口的影响不计。试用布金汉定理求,p,的一般表达式。,33,1. 列出上述影响因素的函数关系式,解,：,解题步骤,2.,在函数式中,n,7；选取3个基本物理量，依次为几何学量,D,、运动学量,V,和动力学量,，三个基本物理量的量纲是,34,解题步骤,其量纲指数行列式为,故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出,n,3734个无量纲,项。,35,解题步骤,3.,列出无量纲,值,其中， 为待定指数。,36,4. 根据量纲和谐性原理，各,项中的指数分别确定如下（以,1,为例）,所以,：,解题步骤,37,解题步骤,同理可得,5. 写出无量纲量方程，其中,2,项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以,38,解题步骤,求压差,p,时，以 ， 代入，可得,令 ，最后可得沿程水头损失公式为,上式就是沿程损失的一般表达式。,39,定理,MF2Hf0613004,40,题 目,试用瑞利法和,定理（布金汉定理）推导圆柱绕流的阻力,F,D,的表达式，并说明瑞利法和布金汉,定理各适用于何种情况？已知圆柱绕流阻力,F,D,与圆柱的直径为,D,、流体的流速为,V,、流体的密度,和流体的动力粘滞系数,为有关。,41,1. 已知与阻力,F,D,有关的物理量为,d,，,V,，,，,，即,解,：,一、瑞利法求解,解题步骤,2.,将阻力写成,d,，,V,，,，,的指数乘积形式，即,3.,写出量纲表达式,42,解题步骤,因为上面的三个方程式中有四个未知数，所以不能全部解出。我们保留其中的e，待实验中去确定，并用它表示其余的指数,4. 选L、T、M作基本量纲，表示各物理量的量纲,5. 由量纲和谐性原理，求各量纲的指数,L：1= a+b-3c-e,M：1= c+e,T：-2=-b-e,a=2-e，b=2-e，c=1-e,43,解题步骤,6.,带入指数乘积式，得,即,如果令绕流阻力系数 ，,l,为圆柱长，则得阻力公式,其中，绕流阻力系数,C,D,与物体的形状和雷诺数有关，最后由实验确定。,44,1. 根据题意，本题共有5个物理量，即,n,= 5，这些物理量之间存在下述关系式,解题步骤,2.,选取3个基本物理量，依次为几何学量,D,、运动学量,V,和动力学量,，三个基本物理量的量纲是,二、,定理求解,45,解题步骤,其量纲指数行列式为,故说明基本物理量的量纲是相互独立的。可写出,n,3532个无量纲,项。,46,解题步骤,3.,列出无量纲,值,其中， 为待定指数。,4.,根据量纲和谐性原理，各,项中的指数分别确定如下,对于,1,，其量纲式为,47,解题步骤,对于,1,，其量纲式为,48,解题步骤,5. 写出无量纲量方程，其中,2,项根据需要取其倒数，但不会改变其无量纲性质，所以,式中： ，称为绕流阻力系数，与物体的形状和雷诺数有关，由实验确定。,由以上可以看出，用两种不同的量纲分析法得到的结果完全相同。一般，瑞利法适用于比较简单的问题，相关变量未知数n4个，而布金汉,定理是具有普遍性的方法。,49,流体相似概念,MF2Hf0624000,50,题 目,何为模型试验的力学相似，它包括那几个方面的内容？,答：所谓的力学相似是指原型流动和模型流动在对应物理量（指矢量物理量，如力、加速度等）之间应互相平行，并保持一定的比例关系（指矢量与标量物理量的数值，如力的数值、时间与压强的数值等）。,流体力学相似包括以下四个方面：,1. 几何相似 2. 运动相似 3. 动力相似,4.初始条件和边界条件相似。,51,相似准则,MF2Hf0625000,52,题 目,为什么每个相似准则都要表征惯性力？,答：作用在流体上的力除惯性力是企图维持流体原来运动状态的力外，其他力（如重力、粘滞力、流体动压力、表面张力和弹性力）都是企图改变运动状态的力。如果把作用在流体上的各力组成一个力多边形的话，那么惯性力则是这个力多边形的合力，即牛顿定律 。流动的变化就是惯性力与其它上述各种力相互作用的结果。因此各种力之间的比例关系应以惯性力为一方来相互比较。,53,相似准则,MF2Hf0625001,54,题 目,分别写出欧拉数与韦伯数的表达式，其各自的物理意义是什么？,欧拉数是压力为主要作用力的时候的相似准数，表征压力与惯性力之比，两流动欧拉数相等则压力相似。韦伯数是表明张力为主导作用力时的相似准数，表征惯性力与表面张力之比，两流动韦伯数相等则表面张力相似 。,答：,55,相似准则,MF2Hf0625002,56,题 目,列表各相似准则及其比尺,牛顿数,佛汝德数,雷诺数,欧拉数,柯西数,韦伯数,斯特劳哈尔数,7.谐时准则,6.表明张力相似准则,5.弹性力相似准则,4.压力相似准则,3.粘滞力相似准则,2.重力相似准则,1.牛顿相似准则,相似准数,力的比例尺,相似准则,57,相似准则,MF2Hf0625003,58,题 目,原型和模型能否同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则？为什么？,答：,当采用同一种流体，不可能同时满足两种相似。,因为：当重力相似时,而粘滞力相似时,可知速度比尺不同，也即不能同时满足两种相似。,59,解题步骤,若采用不同流体时，在理论上是可能的。因为：当重力相似时,而粘滞力相似时,联立以上两式，可得当时 ，能够同时满足重力相似准则和粘滞力相似准则，但是在实际中是不可能的。,60,相似理论的应用,MF2Hf0626000,61,题 目,有一直径,d,=50cm的输油管道，管道长,l,=200m，油的运动粘滞系数,，管中通过油的流量,。现用10的水和管径,d,m,= 5 cm的管路进行模型试验，试求模型管道的长度和通过的流量。,62,解,：,该管道模型的几何比尺为,解题步骤,所以模型管道的长度,判别原型管道中的流态：,63,解题步骤,所以管内流动为层流，应该按照粘滞力相似准则（雷诺相似准则）计算模型中流量,Q,m,。,10 水的运动粘滞系数为 ，模型运动粘滞系数比尺为,流量比尺,故模型管道中的流量,Q,m,应为,64,相似理论的应用,MF2Hf0626002,65,题 目,渠道上设一平底单孔平板闸门泄流，上游水深,H,=3m，闸前水流行近流速,V,0,=0.6m/s，闸孔宽度,b,= 6m，下游为自由出流，闸门开度,e,=1.0m。今欲按长度比尺,l,=10 设计模型，来研究平板闸门的流量系数,，试求：（1）模型的尺寸和闸前行进流速,V,0,m,；（2）如果在模型上测得某点的流量为,Q,m,= 81.5,l / s,，则原型上对应点的流量,Q,为多少？（3）闸门出流的流量系数,为多少？,66,解：,（1）模型尺寸设计和闸前行近流速,解题步骤,因为闸孔出流主要作用力是重力，所以按重力相似准则设计模型。模型的长度比尺为,l,=10，则模型中的尺寸为,上游水深,闸孔宽度,闸门开度,67,重力相似准则条件下的流速比尺,解题步骤,所以,（2）原型流量,Q,的计算,重力相似准则条件下的流量比尺,即原型上的流量为,68,解题步骤,（3）计算流量系数,流量系数,是常数，在原型和模型上都相同。,根据平板闸门自由出流计算公式：,由于行近流速很小，可以忽略不计,H,0,=,H,，自由出流 。,即平板闸门闸孔出流的流量系数为0.56 。,69,相似理论的应用,MF2Hf0626003,70,题 目,设有油罐，直径,d,为4m，油温,t,为 20，已知油的运动粘度,p,=0.74cm /s ，长度比,l,采用4左右，试进行下面各项研究：（1）选定何种相似准则？（2）模型流体的选定？（3）各项比例的计算。,2,71,解：,（1）,油自油管流出，自由表面受重力作用，由于油的粘度较大，故又受粘性力的作用。,因此，重力和粘性力都是重要作用力，所以，这里的相似准则应该选定同时满足雷诺数和弗汝德数。,解题步骤,（2）,模型流体的选定,72,由于运动粘度,v,m,正好等于0.0925 的流体极难找到，所以只好挑选一些近似的流体。现在选用20的59%的甘油溶液，它的运动粘度是0.0892 ，与计算值很接近，但在试验过程中要保持20的温度。于是模型液体的运动粘度应为,v,m,=0.089 ,而不再是0.0925 了。,解题步骤,73,解题步骤,（3）,模型流体选好后，由于所选择的,v,m,不再等于0.0925 ，所以对长度比,l,应进行修正,即长度比,l,应为4.1，而不是4。因此模型油罐的直径为,74,解题步骤,流速比,v,按弗汝德准则求得（按雷诺准则也能得到同样结果）,可知模型油管内的流速大致为原型中的一半。,时间比,t,按雷诺准则求得,加速度,a,75,