试验误差与数据处理

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第3章 误差的合成,3.1 误差的相关性及相关系数,3.2 间接测量的误差,3.3 误差的合成,3.4 间接测量的数据处理步骤,1,把各项误差求总误差的过程称为,误差的合成,。,误差的合成，须具体考虑以下几个方面：,1、确定误差的性质,2、确定误差的分布规律,3、分项误差的相关性,5、确定被测量与各影响因素之间的函数关系,实际情况非常复杂，误差合成应根据具体情况进行，采取,抓主要舍次要,的原则，使误差合成的最后结果能够,简便而真实,地表示出测量结果与精度。,4、误差项的划分及数目,2,3.1 误差的相关性及相关系数,3.1.1相关的概念,如果一个变量的变化，受另一个变量的影响，且两个变量之间有一定的非函数关联，则称两个变量,相关,，其间的关联关系为,相关关系,。,3.1.2相关系数,相关系数,是两个随机变量（两分项误差）之间,线性,相关紧密程度的表征值，用符号来表示。,概率论中，,相关系数,的定义为：任意两个随机变量x与y的协方差cov(x,y)与两个变量的标准差乘积之比。即,3,一、相关系数的性质,1、相关系数的绝对值不大于1，即| | 1。,、随机变量放大或缩小时，其相关系数不变。,其中,的数学期望,为,(1),0,称为正相关，即随机变量x增大，随机变量y也增大,(2),0，,称为负相关，即随机变量x增大，随机变量减小,（3）,1，称完全正相关，即x与y呈正的线性函数关系,（4）,-1,称完全负相关，即x与y呈负的线性函数关系,（5）,0，则两个变量之间不相关。,注意：,不相关和独立是两个不同的概念，,若两个随机变量相互独立，,则两个变量必不相关；但是两个变量不相关，并不能说明一定是,相互独立的，可能存在着其它的非线性的相关关系。,只有当两个,随机变量都服从正态分布时，不相关和独立才是等价的。,4,1、判断,（1）两分量之间没有相互依赖关系的影响。,（3）两变量相互有影响，但影响甚微，可忽略。,（2）当一个变量依次增大，引起另一变量无规则的正负交替变化，反之亦然。,该法,应用简便,，适合于定性分析和测量数据较少的情况。缺点是,可信赖程度差,，难以求得确切的相关系数。,2、判断,（1）两分量之间近似成正的线性关系或负的线性关系。,（2）当一个变量依次增大，引起另一变量依次增大或减小，反之亦然。,（3）两变量属于同一体系的分量，则完全相关。,二、相关系数的求法,（ 一）直观判断法,5,（二）测量数据估计法,1、观察法,根据测量数据的,残差,作图，与标准图形进行比较，求出相关系数的估计值。,观察法只能定性的确定相关系数，不能确定相关系数的具体大小。,6,2、简单计算法,该方法以各分项误差服从正态分布为前提 ，可以求得比较确切的相关系数。,7,3、统计计算法,当测量次数n足够大时,这种方法是建立在统计的基础上，适合测量次数较多的情况。,8,相关系数的获取比较困难，,应尽量避开,。对于数值小的误差间的相关系数，可用物理直观判断法，对于数值大的，可采用成对观测，进行简单或严格的计算。,（三）实验估算法,9,例,：,测量环路正弦交变电位差幅值V、电流幅值I和交流电位差对交流电的相移角 ，,测得五组数据见表，用统计公式计算各输入量之间的相关系数。,10,解：,根据式,11,3.2 间接测量的误差,间接测量的误差是直接测量量及其误差的函数，所以这种误差又称,函数误差,。,其,实质,是研究误差的传播问题。,3.2.1间接测量系统误差的计算,待测量y与各直接测量值,x,1,x,2,，,x,n,之间有函数关系,求微分,如果各直接测量量定值系统误差为 ，且各系统误差是微小的，则用各 代替上式中相应的 后，即可得到间接测量量的系统误差为,12,上式中 称为误差的传递系数（或灵敏度系数），对其所对应的误差起到放大或缩小的作用。,例：,用弓高弦长法测圆弧的半径R，如图。已测得弦长S=360 mm，弓高H=30mm，测量中弦长和弓高的定值系统误差为 求圆弧的半径R及系统误差。,13,又因为,代入数据,对半径R进行修正,解 ：,各量的函数关系式为,根据测量值可得,14,3.2.2间接测量随机误差的计算,随机误差,一般用,标准差,来评定，因此，研究,间接测量的随机误差,，也就是研究,间接测量量y的标准差,与,直接测量量x,1,x,2,，x,m,的标准差,之间的关系。根据标准差的定义，对上式平方得,对n个直接测量量进行m次等精度测量，相应的随机误差为 ，y,i,的随机误差为,yi,，,设直接测量量与待测量之间的函数关系为 ，则,假设待测量随各直接测量量连续变化，且各个误差都很小，将函数展开成泰勒级数，取其一阶项作为近似值，可得：,15,各方程,求和,得,用m除上式两边,，并根据标准差定义，得,相关系数,定义,（,i,=1，2，,m,）,则间接测量量的标准差为：,16,此式为间接测量量标准差的计算公式，通常称为,随机误差传递公式,。其中 为,误差传递系数,（或灵敏系数）。,如果各直接测量值的误差,相互独立,，且测量次数较大，则,上式简化为,或,实际测量中，各直接测量量的,误差之间往往是无关,的，或人为安排使各量独立测量，所以第二式是常用的计算式。,17,例,：,已知线性函数关系 y=a,1,x,1,+a,2,x,2,+a,n,x,n,，试求y的随机误差计算式。,例,：,已知非等精度测量值的加权平均值为,求：,加权平均值 的标准差 。,解：,设各直接测量量的标准差为 ，各测量值的误差之间独立。,因为,所以,18,则,将,代入得,如果测量为等精度，那么,p,1,=,p,2,=,p,n,，且,i,=，则,解 ：,19,3.2.3间接测量误差计算公式的应用,一、考虑误差的相关性,各分项误差的相关性对间接测量的误差是有影响的。因此，在合成时应对各直接测量量误差的相关性进行判断，并加以考虑。,例,：,已知,z,=,x,+,y,，且,y,=3,x,，试求,z,的标准差,z,。这里只对变量,x,进行测量，其标准差为,x,。,解法一：,故：,解法二：,将,y,=3,x,代入,z,=,x,+,y,得,z,=4,x,则,解法三：,由,y,=3,x,知,x,与,y,的误差之间满足线性关系，因而, ，则,20,二、误差分配,待测量的允许误差确定后，根据该允许误差确定各直接测量的允许误差称为,误差的分配,。是间接测量,误差合成的逆问题。,不考虑系统误差的影响，只研究随机误差的情况。设各量的误差相互独立，有,式中,为 x,i,的误差对y的误差贡献项，称为,部分误差,。,若给定了间接测量量标准差的允许值,即,上式关于D,i,或,xi,的解是不确定的，为求确定解，通常采用下列步骤确定 ：,21,1、按等作用原则初步分配误差,认为各直接测量量的误差对待测量误差的影响相同，即,2、按现有条件合理调整误差,则,即：,调整原则,：根据实现各量所要求精度的难易程度，对精度较低，易于测量的误差项，可适当减小误差的允许值；对难以测量的误差项，可增大其误差的允许值；对其他误差项可先不做调整。,3.检验误差调整的合理性,作用,：,合理地对测试方法或测试装置进行设计，分析测量技术线路是否合理，比较和评价各种测量方法或测量装置的,优缺点，充分发挥现有的技术潜力，降低实验成本。,22,高度h，根据函数关系式,求的体积 ，若要求测量,。试确定直径,D,和,h,的准确度。,体,积的相对误差为1%，已知直径和高度的公称值分别为,例：,测量一圆柱体的体积时，可直接测量圆柱直径D和,解：,取,，可计算圆柱体的体积,体积的绝对误差为：,首先按等作用原则进行误差分配，得直径和高的极限误差为：,23,选择测量仪器：直径：最小刻度为0.02mm的游标卡尺,20mm范围内的极限误差为0.04mm,高：最小最小刻度为0.1mm的游标卡尺,50mm范围内的极限误差为0.150mm,检验：,24,显然采用的仪器精度偏高，应作,适当调整。,测量仪器：都选用最小刻度为0.05mm的游标卡尺,50mm范围内的极限误差为0.08mm,再检验：,调整后只需用一把游标卡尺就可以测量直径和高度，并且保证了测量的准确度。,25,三 、最佳测量方案的确定,标准：,一方面要考虑经济性，另一方面要尽量减小测量误差。要在经济、易实现的前提下，充分提高测量精度。,1、选择最佳的测量方法及函数公式,实验仪器在确定的条件下，对某量进行测量，可能有几种精度不同的测量方法和函数计算公式。通过分析和计算，应按照精度最高的方法进行测量，选择合理的函数公式进行计算。,例,：,用分度值为0.05mm的游标卡尺测量某箱体上两轴的中心矩L，如图所示，试确定最佳测量方案 。,26,解：,测量方法有三种：,测量两轴直径,d,1,d,2,和外尺寸,L,1,，,则 函数式为：,测量两轴直径,d,1,d,2,和内尺寸,L,2,，,则函数式为,测量外尺寸,L,1,和内尺寸,L,2,，则 函数式为：,若已知测量的标准差分别为：,27,3种方法的函数标准差分别为：,【方法一】,【方法三】,【方法二】,测量时应选择误差小，,直接测量量数目较少,、,函数式较简单,的测量方法。,28,2、确定最有利的测量条件,最有利测量条件：,是指按该条件测量时，使,待测量的误差最小,。选择最有利的测量条件时应设法使,各个分项误差的传递系数 为零或达到最小,，从而减小系统误差。,例：,现有,一球形储油罐，内径为R，用测量液面高度H的办法求储油量V,H,，如图所示。试问液面在什么位置时，测量储油量V,H,的误差最小？,29,解：,储油量与液面的关系式为,液面高度H的误差传递系数,按照最有利条件要求 ，令,则,从而,结果说明容器装满油或空时，测量储油量V,H,误差最小。然而，容器空时无实际意义，装满时对减小测量误差和充分利用设备都是有利的。,但实际使用时，不宜装满，要留出 温度升高液体膨胀的空间。,30,例：,一根电阻丝，长度为L，它被触点开关A分为两段，,长度分别为L1和L2，对应的阻值为R1和R2，R1和R2与电,阻箱R0及待测电阻Rx组成平衡电桥的四个臂。试问触点开关在,什么位置时所产生的误差最小？,G,A,D,B,C,解：,假设金属丝的电阻率为,则： ，,由于A、C两点电势相等，因此,两式相比得：,31,因此：,假设采用同一尺子进行测量，因此L,1,和L,2,的标准差相等，即：,因此要使上式取最小值，系数需最小，,令,，将,代入上式得：,得：,32,解 ：,相对误差为,例,：,电工实验中，常用 测量金属导线的电阻率。其中 分别为电阻率、长度、直径和电阻。试问 如何取值对测量有利？哪一项应测得更准？,若 ，则,d,对电阻率误差影响最大，因此直径,d,应测得更准些。,当测量条件 一定时，欲减小 ，应选择长而粗，阻值大的导线来测量。,33,四、微小误差取舍准则,已知待测量y的标准差,若部分误差 D,k,与其他部分误差 D,i,相比很小，与 ,y,相比可以忽略 。则忽略后y的标准差为,根据微小误差定义，若D,k,为微小误差，则,对一般精度的测量，误差的有效数字取一位。这时上式成立的条件为：,34,对于精度比较高的测量，误差的有效数字可取二位，这时,取舍准则,为,：对于随机误差或者未定系统误差，被舍去的误差应小于总误差的1/31/10，对于已定系统误差，则可以忽略。,多项微小误差同时存在，如 D,k,D,k+1,D,k+2,皆为微小误差，即,或,可以将这些部分误差一起舍去，不须逐个舍弃。,另外，微小误差除了简化计算外，在选用校验仪表的标准仪表时，也有重要用途。,35,3.3 误差的合成,3.3.1随机误差的合成,一、按标准差合成,总标准差,一般情况各误差互不相关，相关系数 ，则,用标准差进行合成时简单方便，且不考虑各分项随机误差的概率分布如何。,各分项随机误差的标准差,极限误差,误差传递系数,直接测量,间接测量,36,二、按极限误差合成,总极限误差,若各分项随机误差取,同一置信概率,各分项随机误差的,置信概率不相同,转换后总标准差,总极限误差,37,若各分项随机误差大多服从正态分布或近似服从正态分布，且互不相关，则,上式简便，且具有一定的实际意义，是较为广泛使用的极限误差合成公式，但应该注意应用的条件。,38,3.3.2系统误差的合成,一、已定系统误差的合成,设测量过程中已定系统误差为 , 相应的误差传递系数为,a,1,a,2,a,n,。总的,已定系统误差可按代数和法合成,直接测量,a,1,=,a,2,=,=,a,n,=1，因此,间接测量 ，因此,39,总未定系统误差,极限误差,其中,二、未定系统误差的合成,对未定系统误差进行处理时，按随机误差的合成方法进行合成。,总未定系统误差,标准差,设各个分项误差的极限误差为,标准差为 ，,传递系数为,40,当各分项未定系统误差,互不相关,时，有,当各分项,均服从均匀分布,时,当各分项误差,均服从正态分布,时,41,3.3.3随机误差与系统误差的合成,未定系统误差,随机误差,一般情况下误差互不相关，合成误差为,总标准差,总极限误差,若各分项误差服从正态分布，则,注意：,上述三式是,单次,测量结果总误差计算式。,42,对于,多次,测量，测量结果算术平均值的标准差的计算公式应为,注意:,单次测量,的总误差合成，,不需要严格区分,各分项误差的性质，而,多次测量结果平均值,的总误差合成，必须,严格区分,未定系统误差和随机误差。,若各分项误差服从正态分布，则,43,例：,在立式光学计上，,用3等量块为基准，检定,L,0,=20mm的量规。已知3等量块长度的实际偏差为+0.22m，检定误差,e,=0.15m。在恒温条件下测量10次，得到数据如表所示。,试对检定数据进行处理，并写出检定结果。,44,解：,算术平均值,残差（见表）,单次测量标准差,判断系统误差,观察残差，无明显变化规律，无理由认为有变化的系统误差。,用残差校核法检验,无变化的系统误差存在,判断粗差选用格拉布斯准则,将各,L,i,排序为：4，5，5，6，6，6，7，7，8，11，则,45,选定显著水平=0.05，已知n=10，查表得,g,0,（10，0.05）=2.18,因g（10）g,0,（10，0.05），故L,9,存在粗差，予以剔除。,剔除后剩余数据判断粗差,平均值,残差（表中）,单次测量标准差,重复上述判断过程,46,由于,将剩余的各Li排序为：4，5，5，6，6，6，7，7，8则,选定显著水平=0.05，已知n=9，查表得g（9，0.05）=2.11,因此数据中不含粗差。,算术平均值标准差,极限误差,选定显著水平=0.05，查表得t,0.05,（8）=2.31，则,47,合成总极限误差,已知检定误差e=0.15m，属于未定系统误差，则,测量结果,3等量块长度的实际偏差为+0.22m，是一种已定系统误差，可以进行修正。因此,48,49,50,51,回顾等精度直接测量列的数据处理步骤,4.判断有无系统误差，并尽量减小其影响,5.判断粗大误差，检验数据的合理性,6. 算术平均值的标准差,7.算术平均值的极限误差,1.求算术平均值,2.求残差,3. 测量列（单次）测量的标准差,8.测量结果,或,3.4间接测量的数据处理步骤,残差观察法残差观察法,52,设间接测量量y与各直接测量量x,1,x,2,，x,n,之间有函数关系式 y=f(x,1,x,2,，x,n,),间接测量量数据处理步骤为：,1、直接测量量按直接测量数据处理步骤进行处理。,已定系统误差已经消除的结果为,2、间接测量量y的平均值,式中 不包含已定系统误差，或已被消除。,间接测量的数据处理步骤,53,3、求间接测量量y的合成误差,假设各误差项之间相互独立，则,总随机误差的标准差,总未定系统误差的标准差为,总未定系统误差的极限误差,总随机误差的极限误差,54,4、用极限误差表示结果,对于多次测量，测量结果的总标准差为：,测量结果的总极限误差为,55,