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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,(1) 偶然误差,符号与大小呈偶然性,单个偶然误差无规律，大量偶然误差有统计规律,偶然误差真误差,案例1三等、四等水准测量,在cm分划水准标尺上估读mm位,估读的数有时过大，有时偏小,案例2经纬仪测量水平角,大气折光使望远镜中目标的成像不稳定,引起瞄准目标有时偏左、有时偏右,屡次观测取平均值可以削弱偶然误差的影响,不能完全消除偶然误差的影响,(2) 系统误差,符号与大小保持不变，或按一定规律变化,案例,钢尺量距,用没有鉴定、名义长为30m、,符号都是负，不能抵消，具有累积性,系统误差对观测值的影响具有一定的规律性,找到规律就可对观测值施加改正,以消除或削弱系统误差的影响,误差定义,标准规定测量仪器使用前应检验和校正,按标准要求操作,布设平面与高程控制网测量控制点三维坐标时,应有一定量的多余观测,严格按标准要求进展测量时,系统误差与粗差是可被消除或削弱到很小,只讨论误差有偶然误差(真误差)的情形,6.2 偶然误差的特性,定义,大局部情况下，真值 未知，求不出,某些情形中，观测量函数的真值,案例三角形内角和闭合差定义为,i=(1+ 2 + 3)i180,真值 ， 的真误差,结论：三角形闭合差的真误差等于闭合差本身,358个三角形闭合差真误差统计分析案例,横坐标， 纵坐标,长条矩形面积 ，等于频率, 偶然误差有界一定观测条件、有限次观测,偶然误差绝对值不超过一定限值, 小误差出现频率大，大误差出现频率小, 绝对值相等的正、负误差出现频率大致相等, 观测次数,n,，偶然误差平均值,0,偶然误差的特性,误差数,n, ，误差区间,d, 0,小长条矩形顶折线光滑曲线正态分布密度曲线,正态分布概率密度函数,德国科学家高斯(Gauss)1794年研究误差规律时发现,，,f,(,)0,|,1,|,|,2,|,，,f,(,1,)前者,(3) 误差容许值,设为,任一正实数，事件A=(|,|,)的概率为:,-,结论,真误差绝对值的占31.73%,真误差绝对值2的占4.55%,真误差绝对值3的占0.27%,后两者属于小概率事件，小样本中不会发生,观测次数有限时,绝对值2或3的真误差不可能出现,测量标准常以2或3作为真误差的允许值,限差|限|=2=2m或 |限|=3=3m,观测值误差大于上述限差时,认为它含有系统误差，应剔除,6.4 误差传播定律及其应用,测量中，有些未知量不能直接观测测定,需由直接观测量计算求出,水准仪一站观测的高差,h,=,a,-,b,三角高程测量初算高差,h,=,S,sin,直接观测量的误差导致它们的函数也存在误差,函数的误差由直接观测量的误差传播过来,(1) 线性函数的误差传播定律及其应用,函数,Z=f,1,X,1,+,f,2,X,2,+,f,n,X,n,系数,f,1,，,f,2,，,f,n,误差独立观测量,X,1,，,X,2,，,X,n,观测量中误差,m,1,，,m,2,，,m,n,函数中误差,1) 等精度独立观测量算术平均值的中误差,等精度独立观测值,l,1,，,l,2,，,l,n,算术平均值,每个观测量的中误差,m,结论,算术平均值的中误差=为一次观测中误差的,N时，,例6-1 每次距离丈量中误差,m,6次丈量距离平均值的中误差,2),等精度独立观测量,和,的中误差,独立观测,n,站高差,h,1,，,h,2,，,h,n,路线高差之和,h,=,h,1,+,h,2,+,h,n,每站高差观测中误差,m,站,(2) 非线性函数的误差传播定律及其应用,非线性函数,Z,=,F,(,X,1,，,X,2,，,Xn,),X,1,，,X,2,，,Xn,误差独立观测量,中误差,m,1,，,m,2,，,m,n,例6-2,测量斜边,S,=163.563m，中误差,m,S,测量角度,=321526，中误差m,=6,边长与角度观测误差独立,求初算高差,h,的中误差m,h,解,h,=,S,sin,，取全微分得,角度的微分量d除以,是为了将d的单位由秒弧度,f2=hcot/=87.297cot321526206265,6.5 等精度独立观测量的最可靠值,等精度独立观测值,l,1,，,l,2,，,l,n,算术平均值,真误差,1,，,2,，,n,其中,取极限,结论观测次数,n,时，算术平均值真值,n,有限时，取算术平均值为未知量的最可靠值,1真值 ,2真值 未知用 代替 计算m,定义观测量改正数,有,真误差 那么,常数，i=-Vi,取平方i2=2-2Vi+Vi2,=n2+2V+VV= n2+VV,6.6 等精度独立观测时的精度评定方法,取极限,l,1,，,l,2,，,l,n,误差独立，其两两协方差=0,观测次数,n,有限时,等精度独立观测时,观测值改正数,V,i,计算一次观测中误差的公式,白塞尔公式(Bessel formula),例6-3,在例6-1中，假设距离真值未知,用白塞尔公式计算钢尺每次丈量50m的中误差？,算出六次丈量距离的平均值49.9822m,6.6 不等精度独立观测量的最可靠值与精度评定,(1) 权的定义,观测量li的中误差mi，权,m02 任意正实数,li的方差mi2越大，权就越小，精度越低,li的方差mi2越小，权就越大，精度越高,令Wi=1，那么有m02= mi2,m02权等于1的观测量方差，单位权方差,m0单位权中误差,(2) 加权平均值及其中误差,对某量进展不等精度独立观测,得观测值l1，l2，ln,中误差m1，m2，mn,权W1，W2，Wn,观测值的加权平均值为,应用误差传播定律,例6-4 1，2，3点高等级水准点,其高程误差很小，可以忽略不计,为求P点高程，用DS3水准仪独立观测了三段水准路线的高差，每段高差的观测值及其测站数标于图中，求P点高程的最可靠值与中误差。,解,都是用DS3水准仪观测,可认为每站高差观测中误差相等,高差观测值,h,1,，,h,2,，,h,3,的中误差,取,h,1,，,h,2,，,h,3,的权,W,1,=1/,n,1,，,W,2,=1/,n,2,，,W,3,=1/,n,3,计算出,P,点的高程值为,H,P1,=,H,1,+,h,1,H,P2,=,H,2,+,h,2,H,P3,=,H,3,+,h,3,=14.165+12.914=27.079m,因为三个水准点高程的误差很小，可忽略不计,所以求出的三个高差观测值的中误差,m1，m2，m3就等于用该高差观测值计算出的,P点高程值HP1，HP2，HP3的中误差,P点高程加权平均值为,P,点高程加权平均值的中误差,下面验证,P,点高程算术平均值的中误差满足,P,点高程的算术平均值,根据误差传播定律,求得点高程算术平均值的中误差,结论对于不等精度独立观测,加权平均值比算术平均值更合理(中误差更小),
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