第二章传递函数

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,开环控制系统,闭环控制系统,优,点,结构简单,价格便宜,调试简单,准确、精度高,反应灵敏、快速,抗干扰元件变化影响小,缺点,准确性差,反应慢,不抗干扰,元件变化影响大,结构复杂,成本高,调试复杂,控制系统中的变量（信号）：,1,输出变量 被控制量 输出信号,2,输入变量 输入信号 参考输入,3,干扰量 干扰信号,4,偏差信号,5,其它信号,对控制系统的基本要求,稳定,-,控制系统可以工作的必要条件,响应快,-,动态过程快速、平稳,准确,-,稳态误差小,稳 快 准,控制系统的微分方程,-,建立和求解,控制系统的传递函数,控制系统的结构图,-,等效变换,控制系统的信号流图,-,梅逊公式,脉冲响应函数,各种数学模型的相互转换,第二章 自动控制系统的数学模型,物理模型,任何元件或系统实际上都是很复杂的，难以对它作出精确、全面的描述，必须进行简化或理想化。简化后的元件或系统称为该元件或系统的物理模型。简化是有条件的，要根据问题的性质和求解的精确要求来确定出合理的物理模型,。,数学模型,物理模型的数学描述。是指描述系统输入、输出以及内部各变量之间动态关系的数学表达式。,数学建模,从实际系统中抽象出系统数学模型的过程。,控制系统的数学模型,:,描述系统内部各物理量之间关系的,数学表达式,。,数学表达式： 代数方程、微分方程,静态数学模型 ：系统变量之间与,时间无关,的静态关系,动态数学模型： 系统变量对时间的变化率，反映系统的动态特性,控制系统数学模型的类型,时域（,t,）模型,微分方程,频域（,）模型,频率特性,结构图,=,原理图,传递函数,复域（,S,）模型,传递函数,常见数学模型：,时域：微分方程；差分方程；状态方程,复数域：传递函数,频域：频率特性,表达形式,时域：微分方程、差分方程、状态方程,复域：传递函数、动态结构图,频域：频率特性,线性系统,传递函数,微分方程,频率特性,拉氏,变换,傅氏,变换,建立控制系统数学模型的方法,:,分析法,(,又称机理建模法,),是,根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。对于系统结构以知的常用此法。,实验法,(,又称系统辨识,),是,根据元件或系统对某些典型输入信号的响应或其他实验数据建立数学模型，当元件或系统比较复杂，其运动特性很难用几个简单的数学方程表示时，实验法就显得非常重要了。,2-1,控制系统的时域数学模型,一、线性元件的微分方程,建立系统或元件的微分方程的步骤：,1,）确定系统或元件的输入量和输出量,2,）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列,出一组微分方程,3,）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微,分方程,4,）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出,量放左边，输入量放右边，按降幂排列,建立系统或元件的微分方程的步骤：,1,）确定系统或元件的输入量和输出量,2,）依据各个变量之间遵循的物理或化学定律，列,出一组微分方程,3,）消去中间变量，写出系统输入和输出变量的微,分方程,4,）对微分方程进行整理，写成标准形式，即输出,量放左边，输入量放右边，按降幂排列,例,2-1,：,如图所示，由一,RC,组成的四端无源网络。试列写以,U,1,(t),为输入量，,U,2,(t),为输出量的网络微分方程。,解：设回路电流,i,1,、,i,2,，根据克希霍夫定律，列写,方程如下：,I,1,I,2,由,、,得,由,导出,将,i,1,、,i,2,代入,、,，则得,这就是,RC,组成的四端网络的数学模型，是一个二阶线性微分方程。,例,2-2,图示是弹簧,-,质量,-,阻尼器机械位移系统。试列写质量,m,在外力,F,（,t,）,作用下，位移,x(t),的运动方程。,解,：,f-,阻尼,系数,k-,弹性,系数,根据牛顿第二定律,式中,整理后,m,F(t),x(t),f,F,1,F,2,例,2-3,列写电枢控制的它励直流电动机的微分方程。,u,a,取为输入量，,m,为输出量。,SM,负载,解：,由电机学可,知电磁转矩方程,感应电势,电枢回路电压,平衡方程式,直流电机的转矩,平衡方程式,由由以上分析，可得电枢控制的他励直流电机的,微分方程组,消去中间变量 可得,在工程应用中， 较小，可忽略不计,令,得,如 很小可忽略不计时，则微分方程化,简为,如以电机转角,为输出，因,则微分方程为,需要讨论的几个问题,：,1,、相似系统和相似量：,我们注意到例,2-1,和例,2-2,的微分方程形式是完全 一样的。这是因为：若令 （电荷），则例,2-1,式的结果变为：,可见，,同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。,定义,具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统,例,2-1,和例,2-2,称为力,-,电荷相似系统，在此系统中,分别与 为相似量。,作用,利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。,2,、线性系统的特点,线性系统的主要特点：,可叠加性和齐次性（叠加原理）,叠加原理,：,设线性微分方程,如 时方程的解为 ， 时方,程的解为 。,就有当 时，解,（可叠加性）,当 （ 为常数）时，解,（齐次性）,叠加原理说明，对于线性系统,（,1,）两个外作用同时加于系统所产生的总响应等于各个外作用单独作用时分别产生的响应之和；,（,2,）外作用的数值增大若干倍时，响应也增加同样的倍数。,可叠加性和齐次性使线性系统的分析和设计大为简化。,3,、非线性元件（环节）微分方程的线性化,在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系,统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方,程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便,是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若,干个输入引起的输出叠加得到。,非线性系统,如果不能应用叠加原理,-,非线性,例如：,在工作点附近用,泰勒级数,展开，取前面的线性项,可以得到等效的线性环节,A,B,y,x,0,设具有连续变化的非线性函数,y=,f(x,),如图所示,若取某一平衡状态为工作点，如下图中的,A(x,0,y,0,),。,A,点附近有点为,A(x,0,+Dx,y,0,+Dy),，当,Dx,很小时，,AB,段可近似看做线性的。,注意,：,（,1,）实际的工作情况在工作点（稳定的工作状态，即,平衡态）附近。,（,2,）变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作,点附近的非线性情况及变量变化范围有关。,三、,线性定常微分方程的求解,（一）复习拉氏变换,拉氏变换的物理意义,拉氏,变换是将时间函数,f(t),变换为复变函数,F(s),，,或作相反变换。,时域,(t),变量,t,是实数，复频域,F(s),变量,s,是,复数。变量,s,又称“复频率”。,拉氏变换建立了时域与复频域,(s,域）之间的联系。,定义：,设函数,f(t),满足,t0,时，,f(t),连续，则,f(t),的拉氏变换存在，表示为：,拉氏变换函数（象函数）,原函数,衰减因子，其中：,-,时间常数,s = -,+j,为拉氏变换算子，其中：,-,衰减系数,-,振荡频率（,rad/s,）,由拉氏变换的定义得,1(,t,),的象函数为,求指数函数,e,-,t,的象函数。,解,:,常用函数的拉氏变换：,单位阶跃函数：,单位脉冲函数：,单位斜坡函数：,单位抛物线函数：,正弦函数：,其他函数可以查阅相关表格获得。,常用函数的拉氏变换对照表,1),叠加定理：两个函数代数和的拉氏变换等于两个函数拉氏变换的代数和。 即,性质：,证,:,2),比例定理,K,倍原函数的拉氏变换等于原函数拉氏变换的,K,倍。 即,L,Kf,(,t,),=,K L,f,(,t,),=,K,F,(,s,),证,:,3),微分定理： 则：,L,f,(,t,),=,sF,(,s,)-,f,(0),证,L,f,(,t,),=,sF,(,s,) ,f,(0),同理：,L,f,(,t,),=,s,2,F,(,s,) -,sf,(0) -,f,(0) ,L,f,(,n,),(,t,),=,s,n,F,(,s,) -,s,n,-1,f,(0) - -,f,(,n,-1),(0),若具有,零初始条件,， 即,f,(0)=,f,(0)=,f,(,n,-1),(0)=0,则,:,L,f,(,t,),=,sF,(,s,),L,f,(,t,),=,s,2,F,(,s,),L,f,(,n,),(,t,),=,s,n,F,(,s,),4),积分定理,5),位移定理：,L,e,-,t,f,(,t,),=,F,(,s,+,),证,:,6),初值定理,7),终值定理,证,:,由微分定理有,对上式两边取极限,由于当,s,0,时，,e,-,st,1,，则：,时滞定理：,卷积定理：,（二）拉氏反变换,按定义求拉氏反变换很困难，一般常用部分分式法计算：,的一般形式为,部分分式,原函数,分解,查表,F(s),含有,共扼复数极点,时，可展开为,F(s,),中具有,不同的极点,时，可展开为,待定系数,F(s),含有,多重极点,时，可展开为,例,解：,例,例,解：,3,、含有共轭极点。,微分方程,以,s,为参量的象函数,的代数方程,象,函数,原函数,(,微分方程解,),拉氏,变换,求解,代数方程,拉氏,反变换,（三）、用拉氏变换法求解微分方程,举例,小 结,拉氏变换性质,拉氏反变换（三种情况）,用拉式变换求解微分方程,2.2,传递函数,用微分方程来描述系统比较直观 ，但是一旦系统中某个参数发生变化或者结构发生变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统的分析与设计。为此提出传递函数的概念。,一、传递函数的定义和概念,以上一节例（,1,）,RLC,电路的微分方程为例：,设,初始状态为零，对上式进行拉氏变换，得到：,G(s),R(s,),C(s),定义,：零初始条件下，系统输出量的拉氏变换与输入量拉氏变换的比值称为该系统的传递函数，用,G(s),表示。,一般形式,：,设线性定常系统（元件）的微分方程是：,y(t),为系统的输出，,r(t),为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,分母中,s,的最高阶次,n,即为系统的阶次。,因为组成系统的元部件或多或少存在惯性，所以,G(s),的分母阶次大于等于分子阶次，即,是有理真分式，若,mn,我们就说这是物理不可实现的系统。,二、传递函数的性质,(1),传递函数是一种数学模型，是对微分方程在零初始条件下进行拉氏变换得到的；,(2),传递函数与微分方程一一对应；,(3),传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；,(4),传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；,(5),传递函数与系统的输入输出的位置有关；,(6),传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。,二、传递函数的性质,(1),传递函数描述了系统的外部特性。不反映系统的内部物理结构的有关信息；,传递函数只取决于系统本身的结构参数，而与输入和初始条件等外部因素无关；,(2),传递函数与微分方程一一对应；,(3),传递函数与系统的输入输出的位置有关；,(5),传递函数一旦确定，系统在一定的输入信号下的动态特性就确定了。,传递函数 微分方程,用方框图来表示一个具有传递函数,G(s,),的线性系统,系统输入量与输出量的因果关系可以用传递函数连系起来,(6),例,求如图所示电路的传递函数,解,：,解法一：,列出回路电压方程和输出节点方程,拉氏变换,用复数阻抗法求电网络的传递函数,时域方程,拉氏变换,传递函数,复数阻抗,电容,电感,电阻,解法二：将原用复阻抗表示：,3,、传递函数的几种表达形式,有理分式形式：,式中：,为实常数，,一般,n,m,上式称为,n,阶传递函数，相应的系统为,n,阶系统。,零点、极点形式（首一多项式）：,传递函数的零点， 传递函数的极点,传递系数（根轨迹增益）,时间常数形式（尾一多项式）：,其中 称为时间常数,K,称为传递系数或增益。,显然：,3,、传递函数的极点和零点对输出的影响,传递函数的零点,用“ ”表示,传递函数的极点,用“ ”表示,极点是微分方程的特征跟，因此，决定了所描述系统自由运动的模态。,运动的模态,线性微分方程的解,=,特解,+,齐次微分方程的通解,通解由微分方程的特征方程决定，代表自由运动。,零点距极点的距离越远，该极点所产生的模态所占比重越大,零点距极点的距离越近，该极点所产生的模态所占比重越小,如果零极点重合该极点所产生的模态为零，因为分子分母相互抵消。,例,已知某系统在,0,初条件下的阶跃响应为：,试求,：（,1,） 系统的传递函数；,（,2,） 系统的特征根及相应的模态；,（,3,） 画出对应的零极点图；,（,4,） 求系统的单位脉冲响应,g(t,),；,（,5,） 求系统微分方程；,（,6,） 当,c(0)=-1, c,(0)=0; r(t)=1(t),时，求系统的响应。,解,.,（,1,）,(3),如图所示,(2),(4),(5),（,6,）,其中初条件引起的自由响应部分,4,、典型元部件的传递函数,典型环节,环节：具有相同形式传递函数的元部件的分类。,不同的元部件可以有相同的传递函数；,若输入输出变量选择不同，同一部件可以有不同的传递函数 ；,任一传递函数都可看作典型环节的组合。,控制系统从动态性能或数学模型来看可分成为以下几种基本环节，也就是典型环节。,（一）比例环节,比例环节的传递函数为：,G,(,s,),=,K,输出量与输入量成正比，比例环节又称为无惯性环节或放大环节。,如图,所示为一电位器,输入量和输出量关系如图中所示。,（二）惯性环节,传递函数为如下形式的环节为惯性环节：,当环节的输入量为单位阶跃,函数时，环节的输出量将按指,数曲线上升，具有惯性，如图,所示。,式中,K,环节的比例系数；,T,环节的时间常数。,（三）积分环节,它的传递函数为,:,当积分环节的输入为单位阶跃函数时，,则输出为,t,/,T,，,它随着时间直线增长。,T,称为积分时间常数。,T,很大时惯性环节的作用就近似一个积分环节。,图中为积分调节器。积分时间常数为,RC,。,（四）微分环节,理想微分环节传递函数为,:,G,(,s,),=,T s,输入是单位阶跃函数,1,(,t,),时,，理想微分环节的输出为,c,(,t,),=,T,d,(,t,),，是个脉冲函数。,在实际系统中，微分环节常带有惯性，它的,传递函数为：,理想微分环节的实例示于图,(a),、,(b),。,(,a,),为测速发电机。图中,(b),为微分运算放大器。,（,2,）,它由理想微分环节和惯性环节组成，如图,(c),、,(,d,),所示。在低频时近似为理想微分环节，否则就有,式（,2,）的,传递函数。,（五）振荡环节,振荡环节的传递函数为：,式中,w,n,-,无阻尼自然振荡频率，,w,n,=,1,/,T,；,z,阻尼比，,0,z,1,。,如图所示为单位阶跃函数作用下的响应曲线。,振荡环节的单位阶跃响应曲线,（六）延滞环节,延滞环节是线性环节，,t,称为延滞时间（又称死时）。具有延滞环节的系统叫做延滞系统。,如,图,所示，当输入为阶跃信号，输出要隔一定时间,t,后才出现阶跃信号，在,0,1,t,内，输出为零。,延滞环节的传递函数可求之如下：,c,(,t,),=,r,(,t,t,),其拉氏变换为,:,式中,x,=,t,-,t,，,所以延滞环节的传递函数为,:,系统具有延滞环节对系统的稳定性不利，延滞越大，影响越大。,