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单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,模态函数的正交性,梁若为等截面，则：,变截面梁的自由振动方程：,主振动：,代入，得：,设：,有：,（,1,）,（,2,）,(1),式两边乘,并沿梁长对,x,积分：,利用分部积分 ：,在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零,得 ：,(3),代入（,3,）式，有 ：,(2),式两边乘,并沿梁长积分可得：,同理，,相减：得 ：,如果,时，,则有：,主振型关于质量的正交性,（,1,）,（,2,）,(1),式两边乘,并沿梁长对,x,积分：,分部积分 ：,得 ：,代入（,3,）式，有 ：,(2),式两边乘,并沿梁长积分可得：,同理，,相减：得 ：,(3),（,4,）,（,5,）,由（,4,）、（,5,）式，得 ：,主振型关于刚度的正交性,如果,i = j,恒成立,第,j,阶主质量,第,j,阶主刚度,第,j,阶固有频率,（,1,）,（,2,）,(1),式两边乘,并沿梁长对,x,积分：,分部积分 ：,得 ：,代入（,3,）式，有 ：,(2),式两边乘,并沿梁长积分可得：,同理，,相减：得 ：,(3),（,4,）,（,5,）,第,j,阶主质量,第,j,阶主刚度,第,j,阶固有频率,时,时,主振型中的常数按下列归一化条件确定 ：,正则振型,正则振型的正交性：,梁横向振动的受迫振动响应,梁的横向强迫振动方程 ：,令 ：,代入 ：,两边乘,并沿梁长对,x,积分：,由正交性条件，得：,第,j,个正则坐标方程,第,j,个正则坐标的广义力,由分部积分 ：,梁初始条件的处理,假定梁的初始条件为：,代入：,两式乘,并沿梁长积分，由正交性条件可得：,第,j,个正则坐标方程：,第,j,个正则模态响应：,得到 后，即可得到梁的响应,如果作用在梁上的载荷不是分布力矩，而是集中力和集中力矩,利用,函数，可以表示为,:,有：,中点受常力,P,作用产生静变形,例：简支梁,求：当,P,突然移出时梁的响应,解：,由材力得初始条件,:,梁中点的静挠度,连续系统的振动,/,梁的弯曲振动,梁两端简支,固有频率：,振型函数：,代入归一化条件：,模态初始条件：,模态初始条件：,没有激振力，正则广义力为零,正则广义力,模态响应：,因此有：,例：简支梁,求：梁的响应,中点受力矩 作用,解：,由上例知：,固有频率：,振型函数：,正则广义力：,第,i,个正则方程：,因此有：,例：悬臂梁,自由端作用有正弦力,求稳态强迫振动，以及梁自由端的响应。,解：,强迫振动方程 ：,模态函数 ：,设解为 ：,代入方程 ：,4.4,梁的弯曲振动,利用正则模态的正交性条件 ：,两边乘,并沿梁长对,x,积分：,模态稳态解 ：,梁的响应：,4.4,梁的弯曲振动,梁的响应：,梁自由端的响应,令,x,=,l,：,4.4,梁的弯曲振动,变截面梁的动力学方程：,等截面梁的动力学方程：,小结：,动力学方程,等截面梁自由振动的动力学方程：,小结：,固有频率和模态函数,自由振动方程：,通解：,常见的约束状况与边界条件,（,1,）固定端,（,2,）简支端,（,3,）自由端,简支梁的固有频率和模态函数,频率方程：,固有频率：,小结：,模态函数的正交性,等截面自由振动梁：,主振动：,连续系统的振动,/,梁的弯曲振动,主振型关于质量的正交性,主振型关于刚度的正交性,第,j,阶固有频率,第,j,阶主质量,第,j,阶主刚度,4.5,薄板的横向弯曲振动,基本假设：,1,直法线假设；,为主应力；,厚度变化不计；,板弯曲的中面不产生变形，即中面为中性面。,一、建模,矩形薄板的振动微分方程,惯性载荷：,二、求解,-,分离变量法,设：,得：,4.5,薄板的横向弯曲振动,三、边界条件,1.,简支边：,2,固定边,3,自由边,4.5,薄板的横向弯曲振动,四、四边简支板自由振动的解,设：,固有频率,4.5,薄板的横向弯曲振动,作业：,p229,：,4-24,；,4-36,
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