西南交大矩阵分析

,*,*,第一章 第一节 函数,第三章 内积空间，正规矩阵与H-阵,定义：,设 是实数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个实数，这个实数称为 与,的,内积,，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件：,1,这里 是 中任意向量， 为任意实数,，只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为,欧氏空间。,例 1,在 中，对于,规定,容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个欧氏空间。如果规定,2,容易验证 也是 上的一个内积,，这样 又成为另外一个欧氏空间。,例 2,在 维线性空间 中，规定,容易验证这是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。,例 3,在线性空间 中，规定,3,容易验证 是 上的一个内积，这样 对于这个内积成为一个欧氏空间。,定义：,设 是复数域 上的 维线性空间，对于 中的任意两个向量 按照某一确定法则对应着一个复数，这个复数称为 与,的,内积,，记为 ，并且要求内积满足下列运算条件：,4,这里 是 中任意向量， 为任意复数,，只有当 时 ，我们称带有这样内积的 维线性空间 为,酉空间。,欧氏空间与酉空间通称为,内积空间。,例 1,设 是 维复向量空间，任取,5,规定,容易验证 是 上的一个内积，从而 成为一个酉空间。,例 2,设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，定义,6,容易验证 是 上的一个内积，于是 便成为一个酉空间。,例 3,在 维线性空间 中，规定,其中 表示 中所有元素取共轭复数后再转置，容易验证 是 上的一个内积，从而 连同这个内积一起成为酉空间。,内积空间的基本性质,：,7,欧氏空间的性质：,8,酉空间的性质：,9,定义：设 是 维酉空间， 为其一组基底，对于 中的任意两个向量,那么 与 的内积,令,10,称 为基底 的,度量矩阵,，而且,定义,：设 ，用 表示以 的元素的共轭复数为元素组成的矩阵，记,11,则称 为 的,复共轭转置矩阵,。不难验证复共轭转置矩阵满足下列性质：,12,定义,：设 ,如果 ，那么称,为Hermite矩阵；如果 ，那么称 为反Hermite矩阵。,例,判断下列矩阵是H-阵还是反H-阵。,13,14,15,（5） 实对称矩阵,（6） 反实对称矩阵,（7） 欧氏空间的度量矩阵,（8） 酉空间的度量矩阵,内积空间的度量,定义：,设 为酉（欧氏）空间，向量 的,长度,定义为非负实数,例,在 中求下列向量的长度,16,解,： 根据上面的公式可知,一般地，我们有: 对于 中的任意向量,其长度为,17,这里 表示复数 的模。,定理,：向量长度具有如下性质,当且仅当 时，,18,例 1,： 在线性空间 中，证明,例 2,设 表示闭区间 上的所有连续复值函数组成的线性空间，证明：对于任意的 ，我们有,19,定义：,设 为欧氏空间，两个非零向量 的,夹角,定义为,于是有,定理,：,20,因此我们引入下面的概念;,定义,：在酉空间 中，如果 ，则称 与 正交。,定义,： 长度为,1,的向量称为单位向量，对于任何一个非零的向量 ，向量,总是单位向量，称此过程为,单位化,。,21,标准正交基底与Schmidt正交化方法,定义：设 为一组不含有零向量的向量组，如果 内的任意两个向量彼此正交，则称其为,正交的向量组。,定义：如果一个正交向量组中任何一个向量都是单位向量，则称此向量组为,标准的正交向量组。,例,在 中向量组,22,与向量组,都是标准正交向量组。,23,定义：在 维内积空间中，由 个正交向量组成的基底称为,正交基底,；由 个标准的正交向量组成的基底称为,标准正交基底。,注意：,标准正交基底不唯一。在上面的例题中可以发现这一问题。,定理,：向量组 为正交向量组的充分必要条件是,;向量组 为标准正交向量组的充分必要条件是,24,定理,：正交的向量组是一个线性无关的向量组。反之，由一个线性无关的向量组出发可以构造一个正交向量组，甚至是一个标准正交向量组。,Schmidt正交化与单位化过程:,设 为 维内积空间 中的 个线性无关的向量，利用这 个向量完全可以构造一个标准正交向量组。,25,第一步 正交化,容易验证 是一个正交向量组。,26,第二步 单位化,显然 是一个标准的正交向量组。,例 1,运用正交化与单位化过程将向量组,化为标准正交向量组。,解,：先正交化,27,再单位化,28,那么 即为所求的标准正交向量组。,例 2,求下面齐次线性方程组,29,其解空间的一个标准正交基底。,解,： 先求出其一个基础解系,下面对 进行正交化与单位化：,30,即为其解空间的一个标准正交基底。,31,酉变换与正交变换,定义：,设 为一个 阶复矩阵，如果其满足,则称 是,酉矩阵,，一般记为,设 为一个 阶实矩阵，如果其满足,则称 是,正交矩阵,，一般记为,32,例：,是一个正交矩阵,33,是一个正交矩阵,是一个正交矩阵,34,（5）设 且 ，如果,则 是一个酉矩阵。通常称为,Householder矩阵,。,是一个酉矩阵,35,酉矩阵与正交矩阵的性质,：,设 ，那么,设 ，那么,36,定理：,设 ， 是一个酉矩阵的充分必要条件为 的 个列（或行）向量组是标准正交向量组。,定义,： 设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，如果对任意的 都有,37,则称 是 的一个,酉变换,。,定理,：设 是一个 维酉空间， 是 的一个线性变换，那么下列陈述等价：,（1） 是酉变换；,（3）将 的标准正交基底变成标准正交基底；,（4）酉变换在标准正交基下的矩阵表示为酉矩阵。,注意,：关于,正交变换,也有类似的刻划。,38,幂等矩阵,定义：设 ，如果 满足,则称 是一个,幂等矩阵,。,例,是一个分块幂等矩阵。,39,定理：,设 是一个秩为 的 阶矩阵，那么 为一个幂等矩阵的充分必要条件是存在,使得,推论,：设 是一个 阶幂等矩阵，则有,定义,：设 为一个 维标准正交列向量组，那么称 型矩阵,40,为一个,次酉矩阵,。一般地将其记为,定理,： 设 为一个 阶矩阵，则,的充分必要条件是存在一个 型次酉矩阵 使得,其中 。,41,引理,： 的充分必要条件是,证明,：设 ，那么,42,必要性：如果 为一个 维标准正交列向量组，那么,43,44,充分性：设 ， 那么由,，可得,45,46,即,这表明 是一个 维标准正交列向量组。,定理的证明,：,必要性：因 ，故 有 个线性无关的列向量，将这 个列向量用Schmidt方法得出 个两两正交的单位向量，以这 个向量为列构成一个 型次酉矩阵,47,。注意到 的 个列向量都可以由,的 个列向量线性表出。即如果,那么可得,48,49,其中,，由于向量组 的秩为 ，所以,的秩为 。,50,下面证明 。,由 可得 ，即,注意到 ，所以,即,因为 ，所以 ，这样得到,于是,51,充分性：若 ，则,Schur引理与正规矩阵,定义：,设 ，若存在,，使得,则称,酉相似,(或,正交相似,)于,定理(Schur引理)：,任何一个 阶复矩阵 酉相似于一个上(下)三角矩阵。,52,证明：,用数学归纳法。 的阶数为1时定理显然成立。现设 的阶数为 时定理成立，考虑,的阶数为 时的情况。,取 阶矩阵 的一个特征值 ，对应的单位特征向量为 ，构造以 为第一列的 阶酉矩阵 ，,因为 构成 的一个标准正交基，故,53,，因此,其中 是 阶矩阵，根据归纳假设，存在,阶酉矩阵 满足,(上三角矩阵),54,令,那么,55,注意,: 等号右端的三角矩阵主对角线上的元素为矩阵 的全部特征值.,定理(Schur不等式,):,设 为矩阵 的特征值, 那么,例:,已知矩阵,56,试求酉矩阵 使得 为上三角矩阵.,解: 首先求矩阵 的特征值,57,所以 为矩阵 的三重特征值. 当,时, 有单位特征向量,再解与其内积为零的方程,求得一个单位解向量,58,再解与 内积为零的方程组,求得一个单位解向量,取,59,计算可得,60,令,61,再求矩阵 的特征值,所以 为矩阵 的二重特征值. 当,时, 有单位特征向量,62,再解与其内积为零的方程,求得一个单位解向量,63,取,计算可得,64,令,于是有,65,则,66,矩阵 即为所求的酉矩阵.,正规矩阵,定义:,设 , 如果 满足,67,那么称矩阵 为一个,正规矩阵,.,设 , 如果 同样满足,那么称矩阵 为一个,实正规矩阵.,例:,(1),为实正规矩阵,68,(2),其中 是不全为零的实数, 容易验证这是一个实正规矩阵.,69,(3),这是一个正规矩阵.,(4) H-阵, 反H-阵, 正交矩阵, 酉矩阵, 对角矩阵都是正规矩阵.,正规矩阵的性质与结构定理,70,引理 1 :,设 是一个正规矩阵, 则与 酉相似的矩阵一定是正规矩阵.,引理 2 :,设 是一个正规矩阵, 且又是三角矩阵, 则 必为对角矩阵.,由上述引理可以得到正规矩阵的结构定理,定理,: 设 , 则 是正规矩阵的充要条件是存在一个酉矩阵 使得,71,其中 是矩阵 的特征值.,推论 1,: 阶正规矩阵有 个线性无关的特征向量 .,72,推论 2,: 正规矩阵属于不同特征值的征向量 彼此正交.,例 1 :,设,求正交矩阵 使得 为对角矩阵.,解,: 先计算矩阵的特征值,73,其特征值为,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,现在将 单位化并正交化, 得到两个标准正交向量,74,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,75,将这三个标准正交向量组成矩阵,76,则矩阵 即为所求正交矩阵且有,例 2 :,设,77,求酉矩阵 使得 为对角矩阵.,78,解,: 先计算矩阵的特征值,其特征值为,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,79,现在将 单位化, 得到一个单位向量,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,80,对于特征值 解线性方程组,求得其一个基础解系,将其单位化得到一个单位向量,81,将这三个标准正交向量组成矩阵,则矩阵 即为所求酉矩阵且有,82,83,例 3,证明:,(1) H-矩阵的特征值为实数; H-矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的.,(2) 反H-矩阵的特征值为零或纯虚数.,(3) 酉矩阵的特征值模长为1.,定理:,设 是正规矩阵, 则,(1) 是H-阵的充要条件是 的特征值为实数 .,84,(2) 是反H-阵的充要条件是 的特征值的实部为零 .,(3) 是U-阵的充要条件是 的特征值的模长为1 .,注意:,正规矩阵绝不仅此三类.,例 4,: 设 是一个反H-阵, 证明:,是U-阵.,证明: 根据U-阵的定义,85,由于 是反H-阵, 所以, 这样,于是可得,86,这说明 为酉矩阵.,87,例 5,: 设 是一个 阶H-阵且存在自然数,使得 , 证明: .,证明: 由于 是正规矩阵, 所以存在一个酉矩阵 使得,88,于是可得,从而,这样,89,即,Hermite二次型,(Hermite二次齐次多项式),Hermite矩阵的基本性质,引理:,设 , 则,(1) 都是H-阵.,90,(2) 是反H-阵.,(3) 如果 是H-阵, 那么 也是H-阵,为任意正整数.,(4) 如果 是可逆的H-阵, 那么 也是可逆的H-阵.,(5) 如果 是H-阵(反H-阵), 那么 是反H-矩阵(H-阵), 这里 为虚数单位.,(6) 如果 都是H-阵, 那么,也是H-阵, 这里 均为实数.,(7) 如果 都是H-阵, 那么 也是H-阵的充分必要条件是,91,定理:,设 , 则,(1) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 是实数.,(2) 是H-阵的充分必要条件是对于任意的 阶方阵 为H-阵.,H-阵的结构定理,定理:,设 , 则 是H-阵的充分必要条件是存在一个酉矩阵 使得,92,其中 , 此定理经常叙述为:,H-阵酉相似于实对角矩阵.,推论:,实对称阵正交相似于实对角矩阵.,93,例 :,设 为一个幂等H-阵, 则存在酉矩阵 使得,证明,: 由于 为一个H-阵, 所以存在酉矩阵 使得,94,又由于 为一个幂等H-阵, 从而,或,将1放在一起, 将0放在一起, 那么可找到一个酉矩阵 使得,95,这里 为矩阵 的秩.,Hermite二次型 (Hermite二次齐次多项式),定义:,由 个复变量 , 系数为复数的二次齐次多项式,96,称为,Hermite二次型, 这里,如果记,97,98,那么上面的Hermite二次型可以记为,称为,Hermite二次型对应的矩阵, 并称 的秩为,Hermite二次型的秩.,对于Hermite二次型作可逆的线性替换,则,99,这里,Hermite二次型中最简单的一种是只含有纯的平方项无交叉项的二次型,我们称这种形状的Hermite二次型为,标准形的Hermite二次型.,定理:,对于任意一个Hermite二次型,100,必存在酉线性替换,可以将Hermite二次型 化为标准形,其中 是H-矩阵 的特征值.,进一步, 我们有,定理:,对于Hermite二次型,101,必存在可逆的线性替换,可以将Hermite二次型 化为,其中 .,我们称上面的标准形为Hermite二次型,的,规范形.,例:,写出下面Hermite二次型的矩阵表达式,并用酉线性替换将其化为标准形.,102,解:,103,104,正定Hermite二次型与正定Hermite矩阵,定义:,对于给定的Hermite二次形,如果对于任意一组不全为零复数,都有,105,则称该Hermite二次形为,正定的(半正定的), 并称相应的H-矩阵 为,正定的(半正定的),.,例:,判断下列Hermite二次形的类别,106,与正定的实二次形一样, 关于正定的Hermite二次形我们有,定理:,对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的,107,(1) 是正定的,(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有,为正定矩阵,(3) 的 个特征值都大于零,(4) 存在 阶可逆矩阵 使得,(5) 存在 阶可逆矩阵 使得,(6) 存在正线上三角矩阵 使得, 且此分解是唯一的.,例 1 :,设 是一个正定的H-阵, 且又是酉矩阵, 则,证明:,由于 是一个正定H-阵, 所以必存在,108,酉矩阵 使得,由于 又是酉矩阵, 所以,109,这样必有 , 从而,例 2 :,设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 与 的特征值实部为零.,证明:,设 为矩阵的任意一个特征值, 那么有 . 由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得,将其代入上面的特征多项式有,110,这说明 也是矩阵 的特征值. 另一方面注意矩阵 为H-反阵, 从而 实部为零.,同样可以证明另一问.,111,例 3 :,设 是一个正定的H-阵, 是一个反H-阵, 证明: 是可逆矩阵.,证明:,由于 是一个正定H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得,这表明 是可逆的. 于是,另一方面注意矩阵 仍然为正定H-阵, 而矩阵 为H-反阵, 由上面的例题结论可知,112,矩阵 的特征值实部为零, 那么矩阵,的特征值中不可能有零, 从而,定理:,对于给定的Hermite二次形,下列叙述是等价的:,(1) 是半正定的,113,(2) 对于任何 阶可逆矩阵 都有,为半正定矩阵,(3) 的 个特征值全是非负的,存在 阶可逆矩阵 使得,(5),存在秩为 的 阶矩阵 使得,114,定理:,设 是正定(半正定)Hermite矩阵, 那么存在正定(半正定) Hermite矩阵 使得,例 1 :,设 是一个半正定的H-阵且 证明:,证明:,设 为 的全部特征值,由于 是半正定的, 所以 . 于是有,115,例 2 :,设 是一个半正定的H-阵且,是一个正定的H-阵, 证明:,证明:,由于 是一个正定的H-阵, 所以存在可逆矩阵 使得,这样有,116,注意矩阵,仍然是一个半正定的H-阵, 有上面的例题可知,从而,117,例 3 :,证明：,（1） 半正定H-矩阵之和仍然是半正定的;,（2） 半正定H-矩阵与正定H-阵之和和是正定的;,证明,：设 都是半正定H-阵，那么二者之和 仍然是一个H-阵，其对应的Hermite二次型为,其中,118,由于 都是半正定H-矩阵，所以对于任意一组不全为零的复数,我们有,这说明 为一个半正定H-阵。,类似地，可以证明另外一问。,119,例 4 :,设 都是 阶正定H-阵，则,的根全为正实数。,证明,：因为 是正定的，所以存在可逆矩阵,使得,另一方面注意到 是一个正定H-阵，从而有,120,的根全为正实数。又由于,故 的根全为正实数。,定理 :,设 是一个（半）正定H-阵，那么必存在唯一的一个（半）正定H-阵 ，使得,121,Hermite矩阵偶在复合同（复相合）,下的标准形,例 ：,设 均为 阶Hermite-阵,且,又是正定的，证明必存在 使得,122,与,同时成立，其中 是与 无关的实数。,证明,： 由于 是正定H-阵，所以存在,使得,又由于 也是H-阵，那么存在,使得,123,其中 是H-阵 的 个实特征值。,如果记 ，则有,124,下面证明 个实特征值 与 无关。令 ，那么 是特征方程,125,的特征根。又由于,因此 是方程,的根。它完全是由 决定的与 无关 。,由此可以得到下面的H-阵偶标准形定理：,126,定理,：对于给定的两个二次型,其中 是正定的，则存在非退化的线性替换,可以将 同时化成标准形,127,其中 是方程 的根，而且全为实数。,定义,：设 均为 阶Hermite-阵,且,又是正定的，求 使得方程,有非零解的充分必要条件是,128,关于 的 次代数方程方程,成立。我们称此方程是 相对于 的,特征方程。,它的根 称为 相对于 的,广义特征值,。将 代入到方程,中所得非零解向量 称为与 相对应的,广义特征向量,。,广义特征值与广义特征向量的性质;,129,命题,：,（1）有 个广义特征值；,（2）有 个线性无关的广义特征向量,，即,（3）这 个广义特征向量可以这样选取，使得其满足,130,其中 为Kronecker符号。,131,