解对初值的连续性和可微性

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,-,重庆科技学院,-,李可人,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,-,重庆科技学院,-,李可人,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,-,重庆科技学院,-,李可人,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,-,重庆科技学院,-,李可人,*,第三章 一阶微分方程解的 存在唯一性定理,Existence & Uniqueness Theorem of First-Order ODE,3.3,解对初值的连续性和可微性,/Continuous and differentiable dependence of the solutions/,2,解对初值的连续性,解对初值的可微性,本节要求,：,1,了解解对初值及参数的连续依赖性定理；,2,了解解对初值及参数的可微性定理。,内容提要,3.3,Continuity & differentiability,3.3.1,解对初值的对称性定理,设,f,(,x,y,),于域,D,内连续且关于,y,满足利普希茨条件，,是初值问题,的唯一解，则在此表达式中， 与 可以调换其相对位置，即在解的存在范围内成立着关系式,3.3,Continuity & differentiability,3.3.2,解对初值的连续依赖性定理,假设,f,(,x,y,),于域,G,内连续且关于,y,满足局部利普希茨条件，,是初值问题,的解，它于区间 有定义 ，那么，对任意给定的 ，必存在正数， 使得当,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,3.3,Continuity & differentiability,引理,如果,f,(,x,y,),在某域,D,内连续，且关于,y,满足,利普希兹条件（利普希兹常数为,L,），,则方程,(3.1.1),任意两个解 在它们公共存在区间成立不等式,其中 为所考虑区间内的某一值。,证明,设 在区间 均有定义，令,不妨设,因此，有,3.3,Continuity & differentiability,则,于是,因此，在区间,a,b,上 为减函数，有,3.3,Continuity & differentiability,对于区间,则,并且已知它有解,类似以上推导过程，令,注意到,因此,两边取平方根，得,3.3,Continuity & differentiability,解对初值的连续依赖性定理的证明,（一）构造满足利普希茨条件的有界闭区域,因为，积分曲线段,是,x y,平面上一个有界闭集，又按假定对,S,上每一点,(,x,y,),必存在一个以它为中心的开圆 使在其内函数,f,(,x,y,),关于,y,满足利普希茨条件。根据有限覆盖定理，可以找到有限个具有这种性质的圆 并且它们的全体覆盖了整个积分曲线段,S,。设 为圆 的半径， 表示,f,(,x,y,),于 内的相应的利普希茨常数。,3.3,Continuity & differentiability,令,则有,且 的边界与,S,的距离 。对预先给定的,若取,则以,S,上每一点为中心，以 为半径的圆的全体，连同它们的圆周一起构成,S,的有界闭域 ，且,f,(,x,，,y,),在,D,上关于,y,满足利普希茨条件，利普希茨常数为,L,。,3.3,Continuity & differentiability,（二）解对初值的连续依赖性,断言，必存在这样的正数,使得只要 满足不等式,则解 必然在区间,也有定义。,由于,D,是有界闭区域，且,f,(,x,，,y,),在其内关于,y,满足利普希茨条件，由延拓性定理知，解 必能延拓到区域,D,的边界上。设它在,D,的边界上的点为,这时必然有,3.3,Continuity & differentiability,因为否则设 则由引理,由 的连续性，对,必存在,使得当 时有,取,则当,3.3,Continuity & differentiability,于是,对一切 成立，特别地有,即点,均落在,D,的内部，而不可能,位于,D,的边界上。与假设矛盾，因此，解 在区间,a,b,上有定义。,3.3,Continuity & differentiability,在不等式,中，,将区间,c,，,d,换为,a,，,b,，可知 ，当,时，有,定理得证。,3.3,Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值的连续性定理,假设,f,(,x,y,),于域,G,内连续且关于,y,满足局部利普希茨条件，则方程,3.3,Continuity & differentiability,1.,含参数的一阶方程表示,2.,一致利普希兹条件,设函数,一致地,关于,y,满足,局部利普希兹,(Lipschitz),条件,，,为中心的球 ，使得对任何,其中,L,是与 无关的正数。,在 内连续，且在 内,即对 内的每一点 都存在以,成立不等式,3.3,Continuity & differentiability,由解的存在唯一性定理，对每一,方程 的解唯一确定。记为,3.3,Continuity & differentiability,解对初值和参数的连续依赖性定理,假设,于域 内连续，且在 内关于,y,一致地满足局部利普希茨条件，,是方程 通过点,的解，在区间,那么，对任意给定的 ，必存在正数,时，方程满足条件 的解,在区间,也有定义，并且,有定义,其中,使得当,3.3,Continuity & differentiability,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续的。,解对初值和参数的连续性定理,假设,于域 内连续，且在 内关于,y,一致地满足局部利普希茨条件，则方程,3.3,Continuity & differentiability,3.3.3,解对初值的可微性定理,的解 作为 的函数在它的存在范围内是连续可微的。,若函数,f,(,x,y,),以及 都在区域,G,内连续，则方程,3.3,Continuity & differentiability,3.3,Continuity & differentiability,证明,由,在区域,G,内连续，推知,f,(,x,y,),在,G,内关于,y,满足局部利普希茨条件。因此，解对初值的连续性定理成立，即,下面进一步证明对于函数 的存在范围内任一点的偏导数,在它的存在范围内,关于,是连续的。,存在且连续。,3.3,Continuity & differentiability,设由初值,为足够小的正数）所确定的方程的解分别为,即,于是,其中,先证,存在且连续。,3.3,Continuity & differentiability,注意到 及,的连续性，有,其中 具有性质,类似地,其中 与 具有相同的性质，因此对,3.3,Continuity & differentiability,即,是初值问题,的解，在这里 被视为参数。,显然，当 时上述初值问题仍然有解。,3.3,Continuity & differentiability,根据解对初值和参数的连续性定理，知,是,的连续函数。从而存在,而,是初值问题,的解。,且,，显然,的连续函数。,它是,3.3,Continuity & differentiability,再证,存在且连续。,为初值,设,所确定的方程的解。,类似地可推证,是初值问题,的解。因而,3.3,Continuity & differentiability,其中 具有性质,故有,至于 的存在及连续性，只需注意到,显然它是,的连续函数。,是方程的解，因而,由 及 的连续性即直接推的结论。,证毕。,3.3,Continuity & differentiability,课堂练习,1,设 是初值问题,的解，试证明,3.3,Continuity & differentiability,2,已知方程,试求,3.3,Continuity & differentiability,按照公式，一般有,由于,，因此，我们有,时有,