1-1数学物理方程及其定解条件演示教学

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,数学物理方法,信息与通信工程学院,李莉,1,教学目的,通过本课程的学习，使学生熟悉和掌握波动方程、热传导方程和Laplace方程等典型数学物理方程的常用解法：别离变量法、行波法、积分变换法和Green函数法等等。熟悉和掌握Bessel函数和Legendre函数等两类特殊函数的性质和应用。,通过对所讨论问题的综合分析，使学生逐步掌握运用数学的思想和方法来解决实际物理问题的思路和具体步骤，为电磁场、微波理论等后续课程的学习及培养初步的科研能力打下根底。,2,数学物理方法：,数学物理方程,+,特殊函数,数学物理方程,从物理学、工程科学与技术科学的实际问题中导出的，反映物理量之间关系的,偏微分方程,和,积分方程,。,特殊函数,与初等函数相对；,初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、三角函数和反三角函数,3,主要内容,第4章 数学物理方程及其定解条件,4.1 根本方程的建立,4.2 定解条件,4.3 定解问题的提法,4.4 二阶线性偏微分方程的分类与化简,第5章 别离变量法,5.1 1+1维齐次方程的别离变量法,5.2 二维Laplace方程的定解问题,5.3 非齐次方程的解法,5.4 非齐次边界条件的处理,4,第6章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题,6.1 二阶常微分方程的级数解法,6.2 Sturm-Liouville斯特姆-刘维尔本征值问题,第7章 Bessel函数的性质及其应用,7.1 Bessel方程的引入,7.2 Bessel函数的性质,7.3 Bessel函数的应用,*7.4 修正Bessel函数,*7.5 可化为Bessel方程的方程,5,第,8,章,Legendre,多项式及其应用,8.1 Legendre,方程及,Legendre,多项式的引入,8.2 Legendre,多项式的性质,8.3 Legendre,多项式的应用,*8.4,关联,Legendre,多项式及其应用,*8.5,其它特殊函数方程简介,第,9,章 行波法与积分变换法,9.1,一维波动方程的,DAlember(,达朗贝尔,),公式,9.2,三维波动方程的,Poisson,公式,9.3 Fourier,积分变换法求定解问题,9.4 Laplace,变换法解定解问题,6,第,10,章,Green,函数法,10.1,引言,10.2,函数的定义与性质,10.3 Poisson,方程的边值问题,10.4 Green,函数的一般求法,10.5,用电像法求某些特殊区域的,Dirichlet-Green,函数,7,教学根本要求,掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的物理背景及其定解问题的提法；,熟练掌握三类方程定解问题的解法：别离变量法，行波法、积分变换法等；,熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其应用。,8,物理过程,数学模型,数学解,物理解,学习方法,物理现象,4-1 根本方程的建立,根本方程是一类或几类物理现象满足的普遍规律的数学表达,任务：将物理规律“翻译为数学语言，即列出某类物理现象所满足的数学物理方程,常用的方法：,微元法：在整个系统中分出一个小局部，分析邻近局部与这一小局部的相互作用，通过对表达式的化简、整理，即得到所研究问题满足的数学物理方程,规律法：将物理规律比方Maxwell方程组用容易求解的数学物理方程表示出来,统计法：通过统计规律建立所研究问题满足的广义数学物理方程，常用于经济、社会科学等领域。,10,波动方程,均匀弦的微小横振动,设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。,下面研究弦作,微小横振动,的规律。,所谓“横向是指全部运动出现在一个平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方向运动。,所谓“微小是指运动的幅度及弦在任意位置处切线的倾角都很小，以致它们的高于一次方的项可以忽略不计。,弦是均匀的，设其线密度为 ；,11,弧段两端所受张力为 和,设弦上具有横坐标为,x,的点，在时刻,t,的位置为,M,，其位移,MN,记为,u,。,显然，在振动过程中，位移,u,是变量,x,和,t,的函数，即,采用,微元法,来建立位移,u,满足的方程：,把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然后再考虑小弧段趋于零的极限情况。,在弦上任取一弧段 ，其长度为,ds,，,由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的,切线方向,。,是弦的线密度,12,现在考虑弧段 在,t,时刻的受力和运动情况。,根据,牛顿第二定律,，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的质量乘以该方向上的运动加速度。,在,x,方向,弧段 受力总和为,由于弦只做横向运动，所以,按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上,M,和,M,点处切线的倾角都很小，即：,13,略去 和 的所有高于一次方的项时，就有,由,代入式,便可近似得到：,在,u,方向,弧段 受力总和为,其中， 是 的重力。,14,当 时，,小弧段在时刻,t,沿,u,方向的,加速度,近似为 ，,小弧段的质量为,由牛顿第二定律有,将近似式代入，,15,上式左端方括号的局部是由于x产生 的变化引起的 的改变量，可以用微分近似代替：,所以式*变为,*,或,一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 要比,g,大得多，所以可以把,g,略去。,可得：,其中，,这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在空间上是一维的，故称,一维波动方程,。,16,其中， ，表示,t,时刻单位质量的弦在,x,点所受的外力。,如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力，即力密度为F(x,t)。那么在方程左端还应加上一项外力 。,受迫振动,那么方程组,应该变为：,重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：,*,式*称为弦的受迫振动方程。,17,包括有非零自由项的方程称为,非齐次方程,。,自由项恒等于零的方程称为,齐次方程,。,方程*为一维齐次波动方程，,方程*为一维非齐次波动方程。,方程*和方程*的差异在于方程 * 的右端多了一个与未知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。,*,*,18,杆的质量密度为 ，横截面为S常数，长度为,均匀弹性杆的微小纵振动,一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻局部发生伸长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动的传播就是波。,弹性模量,E,：杆伸长单位长度所需的力,x,点在,t,时刻的,纵向位移,为,u(x,t),。,外力密度,为,F(x,t),，,应力,：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力,：杆上,x,点在,t,时刻的应力。,应变：,杆的相对伸长,19,x,点的应变,为：,如图，,AB,段的相对伸长是：,由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度,由,牛顿第二定律,，可得,x,x+x,段的运动方程为：,虎克Hooke定律：应力=弹性模量*应变,20,将虎克定律 代入上式,得：,将函数 在 处展开为泰勒级数并取前两项，得：,其中， 满足,21,以 除上式两端，得：,令 ，得：,记,方程变为：,一维波动方程,22,传输线方程,对于直流电或低频的交流电，基尔霍夫Kirchhoff定律指出同一支路中电流相等。但对于较高频率的指频率还没有高到能显著地辐射电磁波的情况，电路中的导线的自感和电容的效应不可忽略，因而同一支路中电流未必相等。,考虑一来一往的高频传输线具有分布参数的导体,在具有分布参数的导体中，电流通过的情况，可以用电流强度,I,与电压,V,来描述，此处,I,与,V,都是 的函数,记作 与 。,R,每一回路单位的串联电阻；,L,每一回路单位的串联电感；,C,每单位长度的分路电容；,G,每单位长度的分路电导。,23,采用微元法,根据基尔霍夫第二定律，在长度为的传输线中，电压降应等于电动势之和，即,两边除以 ，并令 ，可得,另外，由基尔霍夫第一定律，流入节点的电流应等于流出该节点的电流，,即,可得,24,即,I,和,V,应满足如下方程组：,从这个方程组消去,V,(,或,I,),即可得到,I,(,或,V,),所满足的方程。,25,1,2,将方程1对x微分假定V与I对x,t都是二次连续可微的，得：,同时在方程2两端乘以C后再对t微分，可得：,将两个结果相减，即得：,26,将 代入上式，得,电流,I,满足的微分方程,类似可得电压,V,满足的方程：,传输线方程,27,根据不同的具体情况，对参数,R ,L, C, G,作不同的假定，就可以得到传输线方程的各种特殊形式。,无损耗传输线：,此时传输线方程,可简化为,无损耗传输线方程,28,假设令,这两个方程与一维齐次波动方程标准形式完全相同。,由此可见，同一个方程可以用来描述不同的物理现象。,一维波动方程只是波动方程中最简单的情况，在流体力学、声学及电磁场理论中，还要研究高维的波动方程。,29,电磁波方程,电磁场由电场强度,E,，电位移矢量,D,，磁场强度,H,，磁感应强度,B,描述。,电磁场的规律由以下的麦克斯韦方程组表述：,其中， 是自由电荷密度， 是传导电流密度。,这组方程还必须与下述场的物质方程相联立,其中， 是介质的介电常数， 为导磁率， 为导电率。,1-1,1-2,1-3,1-4,2-1,2-2,2-3,30,哈密顿算符：,运算规那么：,是个矢量微分算子，在运算中具有矢量和微分双重性质。,梯度：标量场在这一点的最大变化率。,旋度：矢量场中某一点的最大环流量。,散度：矢量场中某一点的通量。表示源的大小。,31,在方程组1中，E和H是相互耦合的。,设法脱耦，导出,E,和,H,单独满足的方程。,例如，先消去,E:,在方程1-4左端求旋度，并利用方程2-1和2-3,1-1,1-2,1-3,1-4,2-1,2-3,得：,2-1,2-2,2-3,32,将方程1-2,和方程2-2,代入上式，得：,其中，,其中的 称为,拉普拉斯算符,。在直角坐标系中，一、二、三维拉普拉斯算符分别是,所以得到,H,所满足的方程为：,同理可得,E,所满足的方程为：,33,在直角坐标系中将矢量分解为它们的分量，,而用u代表其中任一分量，那么u满足方程,其中,矢量形式的,三维波动方程,如果介质不导电 ，那么方程,可化简为：,标量形式的,三维波动方程,34,