高等数学：极值与最值

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第八章,第八节,一、多元函数的极值,二、最值应用问题,三、条件极值,机动 目录 上页 下页 返回 结束,多元函数的极值及其求法,一、 多元函数的极值,定义,:,若函数,则称函数在该点取得,极大值,(,极小值,),.,例如,:,在点,(0,0),有极小值,;,在点,(0,0),有极大值,;,在点,(0,0),无极值,.,极大值和极小值,统称为,极值,使函数取得极值的点称为,极值点,.,的某邻域内有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,说明,:,使偏导数都为,0,的点称为,驻点,.,例如,定理,1,(,必要条件,),函数,偏导数,证,:,据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立,.,取得极值,取得极值,取得极值,但驻点不一定是极值点,.,有驻点,( 0, 0 ),但在该点不取极值,.,且在该点取得极值,则有,存在,故,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时,具有极值,定理,2,(,充分条件,),的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数,且,令,则,: 1),当,A0,时取极小值,.,2),当,3),当,证明见 第九节,.,时,没有极值,.,时,不能确定,需另行讨论,.,若函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,1.,求函数,解,:,第一步 求驻点,.,得驻点,: (1, 0) , (1, 2) , (3, 0) , (3, 2) .,第二步 判别,.,在点,(1,0),处,为极小值,;,解方程组,的极值,.,求二阶偏导数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在点,(,3,0),处,不是极值,;,在点,(,3,2),处,为极大值,.,在点,(1,2),处,不是极值,;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,2.,讨论函数,及,是否取得极值,.,解,:,显然,(0,0),都是它们的驻点,在,(0,0),点邻域内的取值,因此,z,(0,0),不是极值,.,因此,为极小值,.,正,负,0,在点,(0,0),并且在,(0,0),都有,可能为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、最值应用问题,函数,f,在闭域上连续,函数,f,在闭域上可达到最值,最值可疑点,驻点,边界上的最值点,特别,当区域内部最值存在,且,只有一个,极值点,P,时,为极小 值,为最小 值,(,大,),(,大,),依据,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,3,.,解,:,设水箱长,宽分别为,x,y,m,则高为,则水箱所用材料的面积为,令,得驻点,某厂要用铁板做一个体积为,2,根据实际问题可知最小值在定义域内应存在,的有盖长方体水,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时,才能使用料最省,?,因此可,断定此唯一驻点就是最小值点,.,即当长、宽均为,高为,时,水箱所用材料最省,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,4.,有一宽为,24cm,的长方形铁板,把它折起来做成,解,:,设折起来的边长为,x,cm,则断面面积,x,24,一个断面为等腰梯形的水槽,倾角为,积最大,.,为,问怎样折法才能使断面面,机动 目录 上页 下页 返回 结束,令,解得,:,由题意知,最大值在定义域,D,内达到,而在域,D,内只有,一个驻点,故此点即为所求,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,三、条件极值,极值问题,无条件极值,:,条 件 极 值,:,条件极值的求法,:,方法,1,代入法,.,求一元函数,的无条件极值问题,对自变量只有定义域限制,对自变量除定义域限制外,还有其它条件限制,例如,转化,机动 目录 上页 下页 返回 结束,方法,2,拉格朗日乘数法,.,如方法,1,所述,则问题等价于一元函数,可确定隐函数,的极值问题,极值点必满足,设,记,例如,故,故有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引入辅助函数,辅助函数,F,称为拉格朗日,( Lagrange ),函数,.,利用拉格,极值点必满足,则极值点满足,:,朗日函数求极值的方法称为,拉格朗日乘数法,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,推广,拉格朗日乘数法可推广到多个自变量和多个约束条件的情形,.,设,解方程组,可得到条件极值的可疑点,.,例如,求函数,下的极值,.,在条件,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例,5.,要设计一个容量为,则问题为求,x,y,令,解方程组,解,:,设,x,y,z,分别表示长、宽、高,下水箱表面积,最小,.,z,使在条件,水箱长、宽、高等于多少时所用材料最省？,的长方体开口水箱,试问,机动 目录 上页 下页 返回 结束,得唯一驻点,由题意可知合理的设计是存在的,长、宽为高的,2,倍时，所用材料最省,.,因此,当高为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,思考,:,1),当水箱封闭时,长、宽、高的尺寸如何,?,提示,:,利用对称性可知,2),当开口水箱底部的造价为侧面的二倍时,欲使造价,最省,应如何设拉格朗日函数,?,长、宽、高尺寸如何,?,提示,:,长、宽、高尺寸相等,.,内容小结,1.,函数的极值问题,第一步 利用必要条件在定义域内找驻点,.,即解方程组,第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点,.,2.,函数的条件极值问题,(1),简单问题用代入法,如对二元函数,(2),一般问题用拉格朗日乘数法,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,如求二元函数,下的极值,解方程组,第二步 判别,比较驻点及边界点上函数值的大小,根据问题的实际意义确定最值,第一步 找目标函数,确定定义域,(,及约束条件,),3.,函数的最值问题,在条件,求驻点,.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,已知平面上两定点,A,( 1 , 3 ),B,( 4 , 2 ),试在椭圆,圆周上求一点,C,使,ABC,面积,S,最大,.,解答提示,:,设,C,点坐标为,(,x,y,),思考与练习,则,机动 目录 上页 下页 返回 结束,设拉格朗日函数,解方程组,得驻点,对应面积,而,比较可知,点,C,与,E,重合时,三角形,面积最大,.,点击图中任意点,动画开始或暂停,机动 目录 上页 下页 返回 结束,备用题,1.,求半径为,R,的圆的内接三角形中面积最大者,.,解,:,设内接三角形各边所对的圆心角为,x , y , z,则,它们所对应的三个三角形面积分别为,设拉氏函数,解方程组,得,故圆内接正三角形面积最大,最大面积为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,为边的面积最大的四边形,试列出其目标函数和约束条件,?,提示,:,目标函数,:,约束条件,:,答案,:,即四边形内接于圆时面积最大,.,2.,求平面上以,机动 目录 上页 下页 返回 结束,