数字积分法DDA

单击此处编辑母版标题样式,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,二、数字积分法插补,数字积分法又称数字微分分析器（Digital Differential Analyzer,简称DDA)。采用该方法进行插补，具有运算速度快，逻辑功能强，脉冲分配均匀等特点，且只输入很少的数据，就能加工出直线、圆弧等较复杂的曲线轨迹，精度也能满足要求。因此，该方法在数控系统中得到广泛的应用。,1,（一）数字积分的基本原理,如图：从时刻t=0到t，函数Y=f(t)曲线所包围的面积可表示为：S= f(t)dt,若将0t的时间划分成时间,间隔为t的有限区间，当t,足够小时，可得公式：,S= f(t)dt = Y,i,t,即积分运算可用一系列微小,矩形面积累加求和来近似。,T,O,Y,Y=f(t),t,Yo,t,t,0,0,t,i=0,n-,1,2,若t取最小基本单位“1”，则上式可简化为：,S= Y,i,(累加求和公式或矩形公式）,这种累加求和运算，即积分运算可用数字积分器来实现，,n-,1,i=0,被积函数寄存器,+,累加器（余数寄存器）,t,Y,存放Y值,3,若求曲线与坐标轴所包围的面积，求解过程如下：,被积函数寄存器用以存放Y值，每当t 出现一次，被积函数寄存器中的Y值就与累加器中的数值相加一次，并将累加结果存于累加器中，如果累加器的容量为一个单位面积，则在累加过程中，每超过一个单位面积，累加器就有溢出。当累加次数达到累加器的容量时，所产生的溢出总数就是要求的总面积，即积分值。,被积函数寄存器,+,累加器（余数寄存器）,t,Y,存放Y值,4,被积函数寄存器与累加器相加的计算方法：,例：被积函数寄存器与累加器均为3位寄存器，被积函数为5，求累加过程。,101 101 101 101,+）000,+）101,+）010,+）111,101 010 111 100,101 101 101 101,+） 100,+）001,+）110,+） 011,001 110 011 000,经过2 = 8次累加完成积分运算，因为有5次溢出，所以积分值等于5。,3,5,(二)数字积分直线插补,如图:直线段OA，起点位于原点，终点为A(Xe,Ye)，东电沿X、Y坐标移动的速度为Vx、Vy，则动点沿X、Y坐标移动的微小增量为：,X=Vxt,Y=Vyt,若动点沿OA匀速移动， V、,Vx、Vy均为常数，则有：,V,Vx,Vy,OA Xe Ye,成立。,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,=,=,=K,6,因而可以得到坐标微小位移增量为：,X=Vxt=KXet,Y=Vyt =KYet,所以，可以把动点从原点,走向终点的过程看作X、Y,坐标每经过一个单位时间,间隔以K Xe、 K Ye进行累加,的过程，则可得直线积分插补,近似表达式为：,X= (K Xe)t,Y= (K Ye)t,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,i=1,m,i=1,m,7,由此可以得到直线插补的数字积分插补器：,J Vx(K Xe)(被积函数寄存器),+,J Rx(累加器),J Ry(累加器),J Vy(K Ye)(被积函数寄存器),+,t,X,X轴溢出脉冲,Y轴溢出脉冲,Y,8,设经过m次累加，X、Y坐标分别达到终点，则有：,X= (K Xe)t =KmXe =Xe,Y= (K Ye)t = KmYe = Ye,由该式可知：mK = 1,即,m= 1/K,这样，经过m次累加后，X、,Y坐标分别到达终点，而溢出,脉冲总数即为：,X=Xe Y=Ye,X,O,Y,A(Xe,Ye),Vx,Vy,V,m,m,i=1,i=1,9,确定K的取值：,根据每次增量X、Y不大于1，以保证每次分配的进给脉冲不超过1，即需满足：,X=K Xe1,Y=K Ye1,其中Xe、Ye的最大允许值受被积函数寄存器容量的限制。假定寄存器有n位，则Xe、Ye的最大允许值为2 1。若取K=1/2 、则必定满足：,K Xe = 2 1 / 2 1,K Ye = 2 1 / 2 1,由此可定，动点从原点到达终点的累加次数为：,m = 1 / K = 2,n,n,n,n,n,n,n,10,例：插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为,A ( 5 , 3 )。取被积函数寄存器分别为J,Vx,， J,Vy,，余数寄存器分别为J,Rx,、J,Ry,，终点计数器为,J,E,，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,A( 5 , 3 ),11,插补计算过程如下,累加,次数,(t）,X积分器,J,Vx,J,Rx,溢出,X,Y积分器,J,Vy,J,Ry,溢出,Y,终点,计数器,J,E,备注,0,1,2,3,4,5,6,7,8,101,000,011,000,初始状态,101,101,000,101,101,101,101,101,101,101,011,011,011,011,011,011,011,011,011,111,第一次累加,010,1,110,J,Rx,有进位， X溢出,110,111,001,1,101,J,Ry,有进位， Y溢出,100,1,100,100,X溢出,001,1,111,011,X溢出,110,010,1,010,Y溢出,011,1,101,001,X溢出,000,1,000,1,000,X,Y同时溢出,J,E,=0，插补结束,12,加工轨迹如下：,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,A( 5 , 3 ),13,作业：,插补第一象限直线OA，起点为O( 0 , 0 ) ，终点为,A ( 2 , 6 )。取被积函数寄存器分别为J,Vx,， J,Vy,，余数寄存器分别为J,Rx,、J,Ry,，终点计数器为,J,E,，且都是三位二进制寄存器。试写出插补计算过程并绘制轨迹。,X,O,Y,1,2,3,4,5,A( 2 , 6 ),6,1,2,14,插补计算过程如下：,累加,次数,(t）,X积分器,J,Vx,J,Rx,溢出,X,Y积分器,J,Vy,J,Ry,溢出,Y,终点,计数器,J,E,备注,0,1,2,3,4,5,6,7,8,010,000,110,000,初始状态,010,010,000,010,010,010,010,010,010,010,110,110,110,110,110,110,110,110,110,111,第一次累加,100,100,J,Ry,有进位， Y溢出,110,110,010,1,101,J,Ry,有进位， Y溢出,000,1,000,100,X,Y同时溢出,010,110,011,X,Y同时无溢出,100,100,1,010,Y溢出,110,010,001,Y溢出,000,1,000,1,000,X,Y同时溢出,J,E,=0，插补结束,1,1,1,15,加工轨迹如下：,X,O,Y,1,2,3,4,5,A( 2 , 6 ),6,1,2,16,(三)数字积分圆弧插补,如图所示，设加工半径为R的第一象限逆时针圆弧AB，坐标原点定在圆心上，A(Xo,Yo)为圆弧起点，B(Xe,Ye)为圆弧终点，Pi(Xi,Yi)为加工动点。,X,O,Y,A(Xo,Yo),B(Xe,Ye),Pi(Xi,Yi),17,如图所示，可以得到：,V,Vx,Vy,R Yi Xi 即Vx=K Yi，Vy=K Xi,因而可以得到坐标微小位移增量为：,X=Vxt=KYit,Y=Vyt =KXit,设t=1，K=1/2 则有：,X,O,Y,A(Xo,Yo),B(Xe,Ye),Pi(Xi,Yi),R,V,Vx,Vy,=,=,= K,n,X =,1/2,i=1,m,Yi,Y =,1/2,i=1,m,Xi,n,n,18,由,可看出，用DDA法进行圆弧插补时，是对加工 动点的坐标Xi和Yi的值分别进行累加，若积分累加器有溢出，则相应坐标轴进给一步，则圆弧积分插补器如图所示：,X =,1/2,i=1,m,Yi,Y =,1/2,i=1,m,Xi,n,n,19,圆弧积分插补器：,J Vx(Y)(被积函数寄存器),+,J Ry(累加器),J Rx(累加器),J Vy(X)(被积函数寄存器),+,t,X,X轴溢出脉冲,Y轴溢出脉冲,Y,20,例：设圆弧AB为第一象限逆圆弧，起点A（，0）,终点为B（0,），用DDA法加工圆弧AB。,X,O,Y,1,2,3,4,5,1,2,3,4,5,21,插补计算过程如下：,累加,次数,(t）,X积分器,J,Vx,（Yi),J,Ry,溢出,X,Y积分器,J,vy,(Xi),J,Rx,溢出,Y,X终,点计,数器,备注,0,1,2,3,4,5,000,000,101,101,初始状态,000,000,000,000,001,001,001,010,010,011,101,101,101,101,101,101,101,第一次累加,000,010,Y溢出,修正Yi,100,001,101,111,100,X,Y无溢出,010,100,011,Y溢出修正Yi,100,001,010,Y溢出修正Yi,1,1,Y终,点计,数器,101,101,101,101,1,101,22,插补计算过程如下：,累加,次数,(t）,X积分器,J,Vx,（Yi),J,Ry,溢出,X,Y积分器,J,vy,(Xi),J,Rx,溢出,Y,X终,点计,数器,备注,6,7,9,11,011,111,101,010,无溢出,011,010,110,100,100,100,101,101,101,010,101,100,100,011,011,011,001,XY同时溢出,修正Xi,Yi,010,011,011,000,XY同时溢出,Y到终点停止迭代,100,X溢出修正Xi,Y终,点计,数器,101,100,010,1,1,8,110,100,100,111,无溢出,1,1,10,111,011,011,1,23,插补计算过程如下：,累加,次数,(t）,X积分器,J,Vx,（Yi),J,Ry,溢出,X,Y积分器,J,vy,(Xi),J,Rx,溢出,Y,X终,点计,数器,备注,12,101,001,010,X溢出修正Xi,101,101,001,000,Y终,点计,数器,001,14,011,000,001,1,13,110,001,001,无溢出,1,X溢出修正Xi,X到达终点。结束插补。,24,