8.3 迭代法收敛定理

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,8.3,迭代法收敛定理,8.3.1 迭代法的收敛定理,雅可比迭代法,X,(k+1),=,B,J,X,(k,),+,f,J,赛德尔迭代法,X,(k+1),=,B,S,X,(k,),+,f,S,由此可知迭代法是通过变化等价方程组后，建立迭代格式,X,(k+1),=,B,X,(k),+ f,，其中,B,称为迭 代矩阵。,1,定理（迭代法基本定理）,迭代格式,X,(k+1),=,B,X,(k,),+ f,产生的向量序列收敛的,充分必要,条件是,是迭代矩阵,B,的谱半径。,用迭代法基本定理判断时，常常是困难的。,2,定理,8.3,在迭代格式,X,(k+1),=,B,X,(k,),+ f,中，若迭代矩阵,B,对于某一种范数满足 ，则,1,),对于任意的初始向量,X,(0),，迭代产生的向量,X,(k),序列均收敛于方程组的唯一解,X,*,2),3,定理 设,A,为任意,n,阶方阵，则对于任意的矩阵,范数 有,定理,4,由于,定理,8.3,揭示了第,k,次迭代的误差向量与相邻两次迭代近似解之差的关系。,所以在设计迭代算法时可用相邻两次迭代近似解之差 作为误差的估计值，当误差估计值小于允许误差界时，便可以停止迭代计算并输出数据结果。,5,定理,8.2,若方程组,AX,=,b,中，系数矩阵,A,是对角占优阵，即,则对任意的初始向量,X,(0),，,雅可比迭代法和赛德尔迭代法,都是收敛的。,6,例,对于方程组,写出保证收敛的迭代格式。,解: 交换两方程顺序，得方程组,其系数矩阵 A= 严格对角占优，故雅可比迭代 收敛,7,赛德尔迭代 收敛,8,定理,若方程组,AX,=,b,中，系数矩阵,A,是对称正定阵，则对任意的初始向量,X,(0),，,赛德尔迭代法,是收敛的。,推论 A对称正定时，雅可比迭代法收敛的充要条件是2D-A也对称正定，SOR迭代法收敛的充要条件是,9,将迭代公式(8-26)改为,(8-31),按此公式迭代求解方程组(2-1)，称为,逐个超松弛迭代法,或,SOR,法。显然,=1时就是赛德尔迭代法。,可以证明要保证迭代收敛，必须要求0,2。,10,当,1,2,时该迭代公式称为,超松弛迭代法,超松弛迭代,公式收敛的条件与赛德尔迭代收敛条件相同。,很多数值计算的实例表明，超松弛迭代的收敛速度比赛德尔迭代速度快。,在计算中对松弛因子的选取不好掌握。,11,