第四节矩与协方差矩阵

单击此处编辑母版标题样式,概率统计,矩是随机变量的更为广泛的一种数字特征，前面介绍的数学期望及方差都是某种矩.,第四节 矩与协方差矩阵,一. 矩,定义:,设 和 是随机变量,则称它为 的,阶原点,(1).,(2).,若 存在，,简称 阶矩。,矩,，,若 存在，,则称它为 的,阶中心矩,。,(3).,若 存在，,则称它为,和 的,阶混合矩。,(4).,若 存在，,则称它为,和 的,阶,混合中心矩,。,注：,数学期望 是随机变量 的一阶,显然,：,原点矩；方差 是随机变量 的,二阶中心矩；协方差 是随,的二阶混合中心矩。,机变量 和,二. 协方差矩阵,将它们排成矩阵的形式:,称此矩阵为（,X,1,X,2,）的,协方差矩阵,.,这是,一个,对称,矩阵,定义:,若二维随机变量（,X,1,X,2,）的四个二阶中心矩,都存在，分别记为：,类似可定义,n,维随机变量(,X,1,X,2, ,X,n,) 的,协方差矩阵.,为(,X,1,X,2, ,X,n,),的,协方差矩阵,都存在，则,称,矩阵：,i,j,= 1, 2,n,若,注,：,f,(,x,1,x,2, ,x,n,),则称,X,服从,n,元正态分布,.,C,是(,X,1,X,2, ,X,n,) 的协方差矩阵.,|,C,|,是它的行列式， 表示,C,的逆矩阵.,X,和 是 n 维列向量， 表示,X,的转置.,设 =(,X,1,X,2, ,X,n,)是一个,n,维随机向量，若,它的概率密度为：,n,维正态分布的概率密度的定义.,其中：,推导过程见教材P135,n,元正态分布的四条,重要性质,X,= (,X,1,X,2, ,X,n,) 服从,n,维正态分布的,充,分必要条件,是：对一切不全为零的实数：,a,1,a,2, ,a,n,， (,X,1,X,2, ,X,n,) 的任意线性组,合：,a,1,X,1,+,a,2,X,2,+ +,a,n,X,n,均服从一维正态,分布.,(1).,(2).,若,X,= (,X,1,X,2, ,X,n,) 服从,n,维正态分布，,Y,1,Y,2, ，,Y,k,是,X,j,（,j,= 1, 2,n,）的线性,函数，则 (,Y,1,Y,2, ，,Y,k,) 也服从多维正态,分布.,这一性质称为正态变量的线性变换不变性.,若,X,= (,X,1,X,2, ,X,n,) 服从,n,维正态分布，,则它的每一个分量,X,j,（,j,= 1, 2,n,）都服从,(3).,正态分布；,反之,，若,X,1,X,2, ,X,n,都服从,正态分布，且相互独立，则 (,X,1,X,2, ,X,n,),服从,n,维正态分布。,设 (,X,1,X,2, ,X,n,) 服从,n,维正态分布，则：,(4).,“,X,1,X,2, ,X,n,相互独立 ”,与,“,X,1,X,2, ,X,n,两两不相关 ”,是,等价,的,。,上述的四条性质在后续的“随机过程”与“数理统,计”课程中会经常用到。,设随机变量,X,和,Y,相互独立，且,X,N,( 1, 2 ),Y,N,(0, 1 ).,故:,X,和,Y,的联合分布为正态分布，,X,和,Y,的任,意线性组合是正态分布.,X,N,( 1, 2 ),Y,N,( 0, 1 )，且,X,与,Y,独立,D,(,Z,) = 4,D,(,X,) +,D,(,Y,) = 8 + 1 = 9,E,(,Z,) = 2,E,(,X,) -,E,(,Y,) + 3 = 2 + 3 = 5,即：,Z,N,(,E,(,Z,)，,D,(,Z,) ),例,试求,：,Z,= 2,X,Y,+ 3 的概率密度,解:,因为,：,而,：,故：,Z,的概率密度为：,Z,N,( 5, 3,2,),所以,：,