等差等比数列求和公式推导

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1 等差数列求和公式：,（,1）,S,n,=n(a,1,+a,n,)/2,(,2),S,n,=na,1,+n(n-1)d/2,2 等比数列求和公式：,(,1),S,n,=,1-,q,a,1,(1-,q,n,),q1,q1,(,2),S,n,=,1-,q,a,1,-,a,n,q,当,q=1,时,S,n,=na,1,练习: 求和,1. 1+2+3+,n,答案:,S,n,=n(n+1)/2,2. 2+4+8+2,n,答案:,S,n,=2,n+1,-2,方法：,直接求和法,例,1 求数列,x, 2x,2,3x,3,nx,n,，,的前,n,项和。,解：,当,x=0,时,S,n,=0,当,x=1,时,S,n,=1+2+3+ n=n(n+1)/2,当,x1,时,S,n,=x+ 2x,2,+3x,3,+ ,+,nx,n,xS,n,=,x,2,+2x,3,+3x,4,+ (n-1),x,n,+,nx,n,+1 ,得：,(1-,x),S,n,=x+ x,2,+x,3,+ ,+,x,n,-,nx,n,+1,化简得：,S,n,=x(1-,x,n,)/(1-x),2,-,nx,n,+1,/(1-x),0 (,x=0),综合得,S,n,= n(n+1)/2 (x=1),x(1-,x,n,)/(1-x),2,-,nx,n,+1,/(1-x),(x1）,小结 1:,“,错项相减法”,求和,常应用于型如,a,n,b,n,的数列求和,其中,a,n,为等,差,数列,b,n,为等,比,数列.,练习 1,求和: 1/2+2/4+3/8+,n/2,n,方法:,可以将等式两边同时乘以2或1/2,然后利用“错位相减法”求和.,例,2：,求和,解：数列的通项公式为,小结2：,本题利用的是,“,裂项相消法,”,，,此法常用于形如,1/,f(n)g(n),的数列求和，其中f(n),g(n)是关于,n（nN),的一次函数。,把数列中的每一项都拆成两项的差，从而产生一些可以相消的项，最后剩下有限的几项。,方法：,对裂项公式的分析，通俗地说，裂项，裂什麽？,裂通项。,此方法应注意：,练习 2： 求和,接下来可用,“,裂项相消法,”,来求和。,分析,：,例 3：求和,解：,小结 3：,本题利用的是,“,分解转化求和法,”,方法：,把数列的通项分解成几项，从而出现,几个等差数列或等比数列，,再根据公式进行求和。,练习 3,求和：1+（1+2）+（1+2+2,2,)+(1+2+2,2,+2,n-1,),分析：利用,“,分解转化求和,”,总结：,直接求和（公式法）,等差、或等比数列用求和公式，常数列直接运算。,倒序求和,等差数列的求和方法,错项相减,数列,a,n,b,n,的求和，其中,a,n,是等差数列，,b,n,是等比数列。,裂项相消,分解转化法,把通项分解成几项，从而出现几个等差数列或等比数列进行求和。,常见求和方法,适用范围及方法,数列1/,f(n)g(n),的求和，其中,f(n),g(n),是关于,n,的一次函数。,