第四章系统预测(时间序列预测)

,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,S5.NUDT,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,S5.NUDT,时序分析预测法,1,时间序列的概念,时间序列,：系统中某一变量或指标的数值或统计观测值，按时间顺序排列成一个数值序列，就称为,时间序列,(Time Series),，又称,动态数据,。,年份,1990,1991,1992,1993,1994,1995,一季度,4.77,6.38,7.46,10.34,8.48,10.39,二季度,6.16,8.06,6.37,10.45,8.15,10.48,三季度,5.04,9.64,8.46,9.54,9.43,12.23,四季度,5.13,6.83,8.89,8.27,9.67,10.98,某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,2,时间序列的概念,系统预测中讨论的时间序列，一般是某,随机过程,的一个样本。通过对其分析研究，,找出动态过程的特性、最佳的数学模型、估计模型参数，并检验利用数学模型进行统计预测的精度,，是时间序列分析的内容。,年份,1990,1991,1992,1993,1994,1995,一季度,4.77,6.38,7.46,10.34,8.48,10.39,二季度,6.16,8.06,6.37,10.45,8.15,10.48,三季度,5.04,9.64,8.46,9.54,9.43,12.23,四季度,5.13,6.83,8.89,8.27,9.67,10.98,某市六年来汽车货运量（亿吨公里）,3,时间序列的概念,某市六年来汽车货运量,4,时间序列特征：,趋势性,T,：总体上持续上升或下降的总变化趋势，其间的变动幅度可能有时不等。,季节性,S,：以一年为周期，四个季节呈某种周期性，各季节出现波峰和波谷的规律类似。,周期性,C,：决定于系统内部因素的周期性变化规律，又分短周期、中周期、长周期等几种。,不规则性,I,：包括突然性和随机性变动两种。,时间序列的概念,任一时间序列可表示为几种变动的不同组合的总结果，且可表示为：,加法模型：,Y=T+S+C+I,乘法模型：,Y=TSCI,5,时间序列的概念,某市六年来汽车货运量时间序列分解,趋势项,周期项,随机项,6,时间序列特征的识别,设时间序列,x,1,x,2,x,n,，,K,个,自相关系数,：,其中,时间序列的概念,7,(1),时,间序列的随机性识别,自相关系数法：如所有自相关系数都近似为零，表明该时间序列完全由随机数组成。,若计算较多（,20,）的自相关系数，,r,k,k,=1,2,20,，当,则有,95%,的置信度认为所有,r,k,与,0,无显著差异，因而认为该时间序列具有随机性特征。,时间序列的概念,8,(1),时,间序列的随机性识别,Box,和,Pierce,方法：计算,m,个自相关系数,r,1, r,2, , r,m,(m6, n4m),，构造统计量,Q,为,取一定显著性水平,，则当 时， 诸,r,k,(k = 1,2, m),与零无显著差异，时间序列有随机性，否则为非随机性,。,时间序列的概念,9,时间序列的概念,例：,10,(2),时,间序列的平稳性识别,即检验平稳序列的以下特性：,随机过程的数学期望和方差取常数,相关函数仅与时间间隔有关，与时间起点无关,统计检验,：所有,r,k,与,0,均无显著差异（置信度,95%,内），或统计量 的关系满足，也可认为该序列具有平稳性。,时间序列的概念,11,(3),时间序列的趋势性识别,单调趋势,的识别：计数方法,设时间序列,x,1,x,2,x,n,，每出现一次,x,j,x,i,(j,i),定义为,x,i,的一个逆序。,x,i,的逆序数为,x,i,的出现逆序的总数。于是，时间序列的逆序总数为,于是，统计量,近似成立。其中,时间序列的概念,12,(3),时间序列的趋势性识别,如果 ，则可认为“序列无趋势”，否则认为有趋势（,0.05,的显著水平上）。,有趋势的条件下：,如,A,很大，表明时间序列有上升趋势；,如,A,很小，表明时间序列有下降趋势。,复杂趋势,的识别：数据分成若干段，分段用上法识别,时间序列的概念,13,(4),时间序列的周期性识别,一般而言，,r,k,序列与原序列会具有相同的周期性规律。基于自相关系数，序列的峰、谷处有,其余的,r,k,大多仍然满足,时间序列的概念,14,根据时序变动的方向和程度进行外延和类推，用以预测下一时期或以后若干时期可能达到的水平。,平滑预测法,包括,移动平均法,和,指数平滑法,两种，其具体是把时间序列作为随机变量，运用算术平均和加权平均的方法做未来趋势的预测。这样得到的趋势线比实际数据点的连线要平滑一些，故称平滑预测法。,趋势外推预测法,根据预测对象历史发展的统计资料，拟合成预先指定的某种时间函数，并用它来描述预测目标的发展趋势。,时间序列分析预测方法,15,（,1,）移动平均法,设时序为,x,1,，,x,2,，,，,x,n,，,对其中连续,N (,n),个数据点进行算术平均，得,t,时点的移动平均值，记为,M,t,，有,当用移动平均法进行超前一个周期预测时，采用移动平均值作为预测值 ，则有,平滑预测法,移动平均法,16,例,1,现有某商场,16,月份的销售额资料如下表所,示，试用,N=5,来进行移动平均，并预测,7,月和,8,月的销售额。,月份,1 2 3 4 5 6,销售额（万元）,33 34 35 37 38 40,平滑预测法,移动平均法,17,移动平均法方法简单，但它,一般只对发展变化比较平坦，增长趋势不明显，并且与以往远时期的状况联系不多的时序有效,。,平滑预测法,移动平均法,18,平滑预测法,指数平滑法,一次指数平滑法,为平滑系数,，,S,t,(1),为,t,时刻的一次指数平滑值。,（,2,）指数平滑法,只能预测一期，不能预测多期。,19,二次指数平滑法,预测公式,t,为预测起点，,T,为预测步长。,平滑预测法,指数平滑法,20,三次指数平滑,预测公式,平滑预测法,指数平滑法,21,平滑系数,的物理意义：,描述对过程变化的反应速度,： 越大（接近,1,），表示重视近期数据的作用，对过程变化反应越快；,也描述预测系统对随机误差的修匀能力,：越小（接近,0,），表示重视离现时更远的历史数据的作用，修匀（滤波）能力越强，但对过程变化的反映越迟钝。,平滑预测法,指数平滑法,22,平滑系数,的,选择：,如对初始值有疑问，准确性差，,宜取较大值，以体现近期数据作用，降低初值影响；,如外部环境变化较快，则数据可能变化较大，,值宜取大一些，以跟踪过程变化（如取,0.30.5,）；,如原始资料较缺乏，或历史资料的参考价值小， 值宜取大一些；,如时序虽然具有不规则变动，但长期趋势较稳定 （如接近某一稳定常数）或变化甚小，,值应较小（,0.050.2,）。,平滑预测法,指数平滑法,23,值的最后确定，一般是选择不同的,，通过对预测结果的评价来实现的。评价原则：,（,1,）对不同的,计算,平均绝对误差,选择,MAE,最小的,值。,（,2,）,历史数据检验,。即对每个，用离现时较远的历史数据建立预测模型，去“预测”离现时较近的历史数据（事后预测），看符合程度如何？从中选取一个符合得好的。,（,3,）对不同所得模型的预测结果，,专家评估,。,根据经验，一般取,=0.010.3,平滑预测法,指数平滑法,24,初始值,S,0,(1),确定,：,（,1,）当时序原始数据样本较多，,值较大时，可取,S,0,(1),=x,1,，,S,0,(2),=,S,0,(1),，,S,0,(3,）,=,S,0,(2),。,（,2,）当数据点不够多，初始值对预测精度影响较大时，可取开始几个观测值的算术平均值作为,S,0,(1),。,平滑预测法,指数平滑法,25,例,2,已知某城市公共交通过去,20,日的实际客运量的,统计数据如下表所示，当取,=0.3,时，试计算一次、二次指,数平滑值，并预测今后第,10,日时的客运量。,平滑预测法,指数平滑法,26,周期数 客运量,x,t,S,t,(1),S,t,(2),t,（,日） （万人次）,(,=0.3) (=0.3),0,1,2,3,4,5,.,17,18,19,20,50,52,47,51,59,69,76,75,80,50,50,50.6,49.52,49.96,49.67,64.23,67.76,69.93,72.95,50,50,50.18,49.98,49.98,49.88,59.28,61.79,64.23,66.85,平滑预测法,指数平滑法,27,解：,平滑预测法,指数平滑法,28,平滑预测法,指数平滑法,29,滞后偏差,数据点连线,一,次,平,滑,二次平滑,10,20,20,40,60,80,X,t,（万人次）,t,（,日）,平滑预测法,指数平滑法,30,假定目前处在周期20，对周期30进行预测,平滑预测法,指数平滑法,31,两点假设：,预测对象的发展趋势不变；,预测对象的发展过程是渐变，而不是突变。,两个问题：,找到合适的趋势拟合曲线方程,确定趋势曲线方程中的参数,趋势外推预测法,32,1,、常用趋势曲线,（,1,）多项式函数,趋势外推预测法,33,1,、常用趋势曲线,（,2,）指数函数,例如：,人口或生物种群繁殖生长,质变前的发展速度,新产品成长期的销量,趋势外推预测法,34,（,3,）生长曲线（,S,形曲线）,Logistic,曲线（皮尔曲线）,拐点：,趋势外推预测法,极限：,t,，,y,t,K,35,（,3,）生长曲线（,S,形曲线）,龚伯茨（,Gompartz,）曲线,拐点：,趋势外推预测法,极限：,t,，,y,t,K,36,（,4,）其它曲线,趋势外推预测法,37,2,、趋势预测模型的选择,研究五个问题：,时间特征,：单调增或减，有趋势或周期变化，有极限或无极限，渐变或跳跃变化。,极值特征,：有否极大或极小值，极值点是否稳定，可达还是渐进。,曲线形状,：是否有拐点，是否对称。,发展阶段,：对象发展过程在时间上是否有明显限制。,发展速度,：预测对象未来发展速度是等速或变速，速度和加速度的变化特点等。,趋势外推预测法,38,3,、模型参数的识别,（,1,）最小二乘法,时间序列样本数据,(t,1,y,1,),，,(t,2,y,2,),，,，,(,t,n,y,n,),若选定趋势曲线为：,则拟合目标是使误差的平方和最小，即：,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,39,例,3,：某省谷物产量历史数据如下表所示，要求预测今后,10,年的产量。,年份,1964,1965,1966,1967,1968,1969,1970,1971,1972,期数,t,-8,-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,产量,y,t,54.1,35.4,56.6,46.6,46.7,52.1,56.1,44.8,68.3,年份,1973,1974,1975,1976,1977,1978,1979,1980,期数,t,1,2,3,4,5,6,7,8,产量,y,t,36.3,75.0,57.2,69.0,55.5,73.3,64.1,60.0,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,40,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,41,解：采用趋势线模型,求解系数时本有：,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,由于取中间点,(1972,年,),时间坐标为,0,，可简化为,42,预测模型：,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,预测值为：,43,最小二乘法适于能通过取对数等手段,转化为多项式,函数的曲线，如指数曲线：,趋势外推预测法,参数识别的最小二乘法,44,3,、模型参数的识别,（,2,）三段和值法,，求参数,K,a,b,。,把,n,个样本点等分为,3,组，每组,r,个数据，,趋势外推预测法,参数识别的三段和值法,45,令,三段和值法还适于修正指数曲线和,Gompartz,曲线的参数估计，具体公式见教材。,趋势外推预测法,参数识别的三段和值法,46,3,、模型参数的识别,（,3,）三点法,同样考虑对,Logistic,曲线的拟合，在时间序列中等间距任取三点,0,1,2,，且,T =,1,-,0,=,2,-,1,。假设这三点,(,0,y,0,),(,1,y,1,), (,2,y,2,),恰在,Logistic,曲线上，则：,趋势外推预测法,参数识别的三点法,47,解得：,趋势外推预测法,参数识别的三点法,48,例,4,：浏阳县历年总人口（单位：万人）演变情况如下表所示，要求预测,1990,年和,2000,年该县人口。,年份,1949,1950,1951,1952,1953,1954,1955,1956,1957,总人口,77.5,77.8,78.2,78.2,79.2,80.1,81.2,82.2,84.1,年份,1958,1959,1960,1961,1962,1963,1964,1965,1966,总人口,82.3,82.5,82.1,82,82.9,83.6,84.4,86,88.5,年份,1967,1968,1969,1970,1971,1972,1973,1974,1975,总人口,91.3,94.7,97.5,99.3,101.1,102.6,106.9,106.6,108.5,年份,1976,1977,1978,1979,1980,1981,1982,总人口,109.9,111,112.1,112.9,114.1,115.8,117.7,趋势外推预测法,49,例：浏阳县历年总人口（,19491982,）原始数据散点图,趋势外推预测法,50,例：浏阳县历年总人口预测曲线及原始数据线对比,趋势外推预测法,51,时间序列分析预测,(,惯性原理,),平滑预测法,移动平均法：适于发展变化较平坦，趋势不明显，且与以往时期的状况联系不大的时间序列。,指数平滑法：趋势不明显，与以往时期的状况有一定联系。平滑系数,的选择影响很大。,趋势外推预测法：适于时间序列的发展有一个较明显趋势，趋势不变且发展过程是渐变而非突变。,小结,52,举例说明什么是时间序列。,举例说明时间序列的特征，并简述其识别方法。,简述移动平均法、指数平滑法和趋势外推预测法的适用范围。,思考题,53,