第三章珠 算 乘 法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,*,第三章 珠 算 乘 法,古代把被乘数称为“实数”，乘数称为“法数”，现在也沿用下来。乘数的首位数字叫“乘首”也叫“法首”，被乘数的首位数字叫“实首”。珠算乘法的种类很多，目前应用最普遍的有：前乘法、破头乘，留头乘，隔位乘、掉尾乘、扒皮乘、补数乘等。,第一节 乘法定位法,数的位数分为正位、零位和负位。,一个数有几位整数就叫“正几位”。,如：,3560,（正四位）、,35.6,（正二位,),纯小数小数点后边没有连续的“,0”,叫“零位”，如,0.56,0.308,等等,纯小数后边有几位连续的“,0”,就叫“负几位”，如,0.012,（负一位）、,0.0026,（负二位）,珠算计算因在算盘上没有固定的个位，又是用空档表示“,0”,，所以定位是很重要的。我国古老的算书就很强调：“凡算之法，先识其位”。,这里我们介绍三种便于掌握和较普遍应用的定位法，即“公式定位法”、“移档定位法”和“固定个位挡定位法”。,一、公式定位法,“公式定位法”，也叫通用定位法。,一般地讲,m,位的被乘数与,n,位的乘数相乘，乘积的位数有两种可能，一是（,m,n,）位；一是（,m,n,1,）位。在乘法运算时可归纳为三种情况：,1.,被乘数的首位数字与乘数的首位数字相乘要进位时，积的位数等于,m,n,（被乘数位数乘数位数），如：,605300,181,500,积首小，乘积的位数等于,m,n,（,3,位,3,位,6,位）；,0.040.008,0.00032,积首小，乘积的位数等于,m,n,，即：,1,（,2,）,3,（位）；,2.,被乘数的首位数字与乘数的首位数字相乘不进位时，一般地说，积的位数等于,m,n1,（被乘数位数乘数位数,1,）,如：,1545,675,（,2,位,2,位,1,位,3,位）；,3562.34,833.04,（,3,位,1,位,1,位,3,位）。,3.,被乘数的首位数字与乘数的首位数字相乘，虽然不进位，但后几位相乘加入仍然进位时，积的位数是,m,n,（被乘数乘数）,如：,4826,1,248,（,2,位,2,位,4,位）；,又如：,1,953,1250.512,1,000,000,（,7,位,0,位,7,位）。,二、移档定位法,“移档定位法”又叫前移档定位法，是根据乘数的位数定积的个位。,适用于算前定位。移档定位法最早见于南宋，它是在杨辉的,乘除通变算宝,被首次提出并说明的一种方法。,在不隔位乘法中移档定位法的定位法则可概括为：“正右、负左、零不动”。,即乘数是正几位，被乘数的个位自基准档起向右移几档，就是积的个位；乘数是,0,位，个位不变（被乘数的个位就是积的个位）；若乘数是负几位，则被乘数的个位自基准档起应向反方向即向左移几档，就是积的个位。,例：,3,428125,428,500,定位：被乘数,3428,布于算盘上，因为乘数,125,有三位整数 （即正三位），所以被乘数的个位向右移三档为积的个位。符号为被乘数的个位档；符号为积的个位档，如图所示。,三、固定个位档定位法,它也是一种算前定位法，又叫“固定点”定位法。具体方法：,（,1,）选算盘上适当的档位作为固定个位档，即是积数的个位；,（,2,）改变被乘数（实数）的落盘位数，即以实法两位数相加：,m,n,（如采用隔位乘法时，用,m,n,1,），所得位数作为实数的新的位数，以个位为准拨入盘内；,（,3,）运算完毕，其固定个位，即为积的个位。,3,42824,82,272,（本例用不隔位乘法）,（,1,）选算盘左起第六档为固定个位档，符号为被乘数的个位档。,（,2,）,m,n,，即,4,位,2,位,6,位将实数,3,428,改变为,342,800,，拨入盘内（从个位档左边第五档拨上实数首位，个位落在个位档上）如图,3.4,所示。,（,3,）运算结果，盘后数为,82,272,，原定个位，即为积的个位，故数值为,82,272,，如图所示。,第二节 基 本 乘 法,一、九九口诀,珠算传统乘法是利用乘法九九来进行乘法运算的，因为乘法九九是根据,1,9,九个数字分别乘以从,1,到,9,九个数字编制的，又叫“九九口诀”。九九口诀中每句由四个字组成，前面两个中文数字表示被乘数和乘数，后两个阿拉伯数字表示乘积。,二、珠算乘法的运算顺序和分类,由于珠算历史悠久，历年来产生和流行的乘法种类很多，已形成很多体系和尚未形成体系的许多算法。诸多算法中若按其运算顺序分类，可以分成两大类：“前乘法”和“后乘法”。,三、前乘法,前乘法，也叫巅乘或逆乘，运算时从被乘数、乘数的高位算起。,运算方法：用头乘法，即从被乘数的首位、二位、三位、,以至末位，逐位分别与乘数的首位，二位、三位、,至末位相乘，在被乘数的位置改变算珠，得出积数。,运算时乘数有几位有效数字，就从被乘数字前几档算起，因此，为了盯准档位，布数时，乘数有几位有效数字，就于算盘左端空几档布上被乘数，把乘数布入算盘右边或默记。,定位方法：适用于公式定位。,前乘法运算，乘积和被乘数容易混在一起发生错误。,故前乘法后来几乎被后乘法所代替。但珠算前乘法也有它的优点，由于它是从实、法两数的高位逐位算起，和读数一致，便于做“空盘前乘”，又当乘数末尾有效数字是“,1”,时，用前乘法运算，把被乘数本身可看成是被乘数乘于,1,的部分积，可减少运算手续，,四、后乘法,凡是从被乘数的末位数码起，同乘数首位至末位依次相乘的方法就叫后乘法。,后乘法按积的位置分为隔位乘法和不隔位乘法，后乘法中主要有破头乘法、留头乘法、掉尾乘法。,（一）破头乘法,破头乘法是将被乘数、乘数分别置于算盘左、右两端，然后从被乘数的末位数码起，同乘数首位至末位依次相乘，乘得的第一位积（首码积）可以将被乘数中实施乘的那个数破去变为积，也可以将首码积置在被乘数乘的那个数后，乘完本轮积后再将实施乘的那个数破去。因此破头乘法又分为隔位破头乘法和不隔位破头乘法。,（一）破头乘法,1,隔位破头乘法,此法又称为隔位后乘法、隔位头乘法，当前应用不广。隔位破头乘法的运算方法为：,（,1,）置数与定位。将被乘数置于算盘左端（一般从左起第一档拨入），默记乘数（或置入算盘右端）。运算完后，运用公式法定位。,（,2,）运算顺序。第一，用乘数的首位至末位依次与被乘数的末位至首位相乘。,（,3,）乘积的记法。乘数是第几位，乘积的十位数就放在被乘数本位右边第几档上，其个位数就在十位的右一档加上。,多位数乘一位数,【,例,】 4657,3,255,将被乘数置入算盘左端，默记乘数定积的个位。符号为被乘数的个位档，符号为积的个位档，用被乘数的末位数至首位同乘数依次相乘，由公式法定位：积首小位相加。积为：,3,255,，如图,多位数乘多位数,【,例,】 465789,366,885,将被乘数置入算盘左端，默记乘数，用被乘数的末位数“,5”,，同乘数首位至末位依次相乘，拨去被乘数的末尾数字,5,；用被乘数的十位数“,6”,，同乘数首位至末位依次相乘，乘毕拨去被乘数,6,；用被乘数的百位数“,4”,，同乘数首位至末位依次相乘，乘毕拨去被乘数,4,。运用公式法定位。积首小，位相加，积为,366,885,。,465789,366,885,2,不隔位破头乘法,一般我们称此法为破头乘法。在被乘数与乘数各位数码相乘时，因为一开始就要把被乘数的实施乘的那个数码变为首码积的起位（破本位），故称为不隔位破头乘法，也称为头乘法、变头乘、当头乘、仙人脱衣法等。具体运算方法为：,（,1,）置数与定位。将被乘数置于算盘左端（一般从左起第一档拨入），默记乘数（或置入算盘右端）。运算完后，运用盘上公式法定位。,（,2,）运算顺序。第一，用乘数的首位至末位依次与被乘数的末位至首位依次相乘。,（,3,）乘积的记法。乘数是第几位，乘积的个位数就拨在被乘数本档右边第几档上，积的十位数就在个位的左一档加上。,多位数乘一位数,【,例,】4657,3,255,（,1,）先在算盘左边第一档起拨被乘数,465,入盘，默记乘数,7,。,（,2,）用乘数,7,去乘被乘数末位,5,（一开始就要破本位），口诀“七五,35”,，把被乘数末位,5,改成乘积的十位数,3,，在右档加上个位数,5,。,（,3,）用乘数,7,去乘被乘数次末位,6,；首位,4,口诀“六七,42”,；“四七,28”,。用公式定位法定位，积为：,3255,如图,多位数乘多位数,【,例,】465789,366,885,将被乘数置入算盘左端，默记乘数，用被乘数的末位数“,5”,，同乘数首位至末位依次相乘，（一开始就要破本位），口诀“七五,35”,，把被乘数末位,5,改成乘积的十位数,3,，在右档加上个位数,5,；用被乘数的十位数,6,，同乘数首位至末位依次相乘；用被乘数的百位数,4,，同乘数首位至末位依次相乘运用公式法定位。积首小，位相加，积为,366,885.,465789,366,885,第三节 简 捷 乘 法,简捷乘法是适合某些特殊数字的算题，带有局限性的算法，即按算题的不同情况来选用不同的简捷算法。运用简捷乘法要掌握两个要点：一是选用哪种简捷算法最好；二是要创造条件，突破数字的限制，可以变换数字来适应简捷算法。,一、补数乘法（凑整乘法）,补数乘法是指两数相乘，有一个接近整数（乘数或被乘数头几位是,9,或,8,）时，可以利用整数或,1,的关系，用加减法来代替乘法，以简化运算过程，加快运算的速度。所以，此法又称为以加、减代乘法。,补数乘法的运算，必须弄清补数、齐数、强数和填数的概念。,补数：两个数字的和为,10,的乘方（,10,的,n,次幂）时，这两个数字互为补数。例如，,94,6,100,；就称,6,是,94,的补数，或称,94,是,6,的补数。齐数：一个数值与它的补数的和，称为这两个数值的齐数。例如，,94+6,100,，那么，,100,就称是,94,和,6,的齐数。,强数：一个数值的首位数加,1,，后边对准原数的档位计,0,，这个数值就称为该原数的强数。如,379,、,368,、,365,、,370,、,399,，它们的强数是,400,。,填数：强数与原数之差，称为填数。如,21,是,379,的填数。,补数乘法可分为“减补数乘法”和“加补数乘法”。,（一）减补数乘法,因为，乘数乘数的齐数,乘数的补数,所以，被乘数,乘数被乘数,乘数的齐数,被乘数,乘数的补数,由此可见，减补数乘法就是利用齐数和补数的相互关系把乘法变为减法的。运算时，先把被乘数扩大为乘数的齐数倍，然后从被乘数末位开始，逐个乘以乘数的补数，将各数的乘积在被乘数的下档位减去，其得数就是所求的积。,【,例,】 132989,130,548,（用移档定位法）,运算说明：先将乘数的补数,011,布于算盘的左边，被乘数,1 32,的个位向右移三档，为积的个位。,（,1,）在被乘数个位数,2,的下档减去,0112,（二倍），即,022,。,（,2,）在被乘数十位数,3,的下档减去,0113,（三倍），即,033,。,（,3,）在被乘数首位数,1,的下档减去,0111,，即,011,。得数,130,548,即为所求的积，如图,（二）加补数乘法,加补数乘法（又称零加整减补数法）是从减补数乘法引伸而来的。以加法为主、减法为辅的运算方法来替代乘法，更有利于运算上的简便。在运算时，先把被乘数扩大为乘数的齐数倍拨在算盘上，然后加上被乘数的填数与乘数的补数的乘积，最后减去被乘数的强数与乘数的补数的乘积，就得所求的积。,【,例,】 198736,145,728,（用移档定位法）,计算说明：将,736,（乘数的补数,264,）布于算盘的左边，被乘数,198,布于算盘的右边，被乘数个位向左移三档布于算盘的右边，为,198,000,。,（,1,）在被乘数末位数,8,的下档加,2264,；即加上被乘数填数（填,2,凑,10,）和乘数补数相乘的积，也就是,528,。,（,2,）被乘数的中间位数是,9,，无填数，下档不加补数。,（,3,）在被乘数首位数,1,的下档减,200264,，即减去被乘数强数和乘数补数相乘的积，也就是,52800,。盘上数字为,145,728,，就是所求的积。,198736,145,728,二、剥皮乘法（凑倍乘法）,剥皮乘法也叫凑倍乘法，它是以加减代替乘法的一种简捷法，过去称乘法为“迭皮”，称除法为“扒皮”或“剥皮”，后来把乘、除法统称为“剥皮法”。,“剥皮法”来自“金蝉脱壳法”。最早记录此法的书是明代吴敬的,九章详注比类算法大全,。它的原意是用作除法的。,二、剥皮乘法（凑倍乘法）,布数：乘数一般布于算盘右边，被乘数布于左边的适当位置，反之亦可。熟练者一般默记乘数。,定位方法：可用移档定位法和公式定位法。,运算方法：被乘数字是几，就在其下（右）档（或本档）变几倍乘数；现把十个数字的变积方法分别加以叙述。,（一）,1,、,5,、,10,三个数在变积乘法中的特殊性,（,1,）任意数乘,1,，其值不变。根据珠算乘法的定位方法，可以得出：,1,乘以任意乘数，可在下（右）档变乘数一次。,（,2,）在珠算上任意数向左移一档，数值扩大,10,倍。所以变积时在本档变乘数一次，就等于下档变乘数的,10,倍。,（,3,）,5,是,10,的半数，所以某数的,5,倍就是,10,倍的一半。当,5,乘以乘数，变积时可在本档变乘数一半，也等于在下档变乘数的,5,倍。一个数值的半数，遇到较为简单的数值可以直接看出。,（二）,1,9,九个数字分级变积法,任何数值都是由,0,和,1,9,十个数字组成的。而,0,在乘法运算中，是只计数值不做运算的。因此，只要掌握住,1,9,九个数字的变积方法，在不同档位上变积，就可以做乘法运算了。,在变积乘法中，数值的一倍数、五倍数、十倍数是比较容易看出或求得的。当遇到其他倍数时，可以把,1,9,九个数字与,1,、,5,、,10,的接近程度分为三级；,1,、,2,、,3,接近,1,为低级数字；,4,、,5,、,6,、,7,接近,5,为中级数字；,8,、,9,接近,10,为高级数字。变积时，分别按,1,、,5,、,10,的变积特点求积,.,【,例,3.16】 23141,9,471,（用移档定位法）,计算说明：先布数定位，将乘数,41,布于算盘左边或默记，被乘数布于右边；积的个位应在被乘数个位右面两档。符号为被乘数的个位档 ；符号为积的个位档。,被乘数个位数,141,，下档变,41,一次；,被乘数十位数,341,，原应下档变,41,的三倍，因有增位，从本档变,123,；最后以被乘数百位数,241,，下档变,41,的二倍。原数变为,9,471,，就是所求的积如图,三、省乘法,省乘法亦称省略乘法，截尾乘法。,它是根据计算结果要求的合理精确度，用四舍五入法删掉乘数与被乘数中某些位数上的数字，运用近似计算的方法，省略一些计算过程，并对积数的尾数加以适当处理，用以提高计算效率的一种计算方法。,省略乘法把计算截至在不影响精确度的档次上，其计算方法和步骤如下：,第一步：先把被乘数拨入算盘上，用截位公式求所需要的位数码。截取公式,m,n,精确度保险系数,1,位。截留位码后，其末位定为压尾档（又称截止档）。,第二步：将截取后的被乘数，从它的末位数起，最好用破头乘法与乘数相乘。各位相乘的积，一律加到截止档为止，以下各档都省去不乘。,第三步：截止档下档的数，若满,5,时，应在截止档上多拨入,1,（即四舍五入）。,【,例,】8.3267253.62851,30.21,（准确到,0.01,）,（,1,）先用截取公式求出位数码：,m,n,精确度保险系数,1,位,5,位，按固定个位档法拨被乘数入盘，记住小数点保留两位，再加保险系数,1,位，末位看做压尾档，计算时算到压尾档为止。符号为被乘数的压尾档；符号为积的个位档。如图,1.,（,2,）被乘数末位,7,乘以乘数首位,3,，“七三,21”,，压尾档下一位,1,舍去，乘数,3,以下的数可不再乘了，盘面数为,83,262,，如图,2.,（,3,）被乘数的第二位,6,乘以乘数,3,、,6,即可，“六三,18”,，“六六,36”,，压尾档下一位,6,进上来，盘面数为,83,224,，如图,3,所示。,（,4,）被乘数倒数第三位,2,乘以乘数,3,、,6,、,2,即可，“二三,06”,、“二六,12”,、“二二,04”,，压尾档下一位数,4,舍去，盘面数为,83,096,，如图,4,所示。,（,5,）被乘数倒数第四位,3,乘以乘数,3,、,6,、,2,、,8,即可，“三三,09”,、“三六,18”,、“三二,06”,，“三八,24”,，压尾档下一位,4,舍去，盘面数为,81184,，如图,5,所示。,（,6,）被乘数首位,8,乘以乘数,3,、,6,、,2,、,8,、,5,即可，“八三,24”,、“八二,16”,、“八六,48”,、“八二,16”,、“八八,64”,、“八五,40”,，得积数为,30,212,，最后得数为,30.21,，如图,6,所示。,四、小数乘法,小数乘法的计算方法完全和整数乘法一样，所不同的是积数的定位。例如：,0.0337.8,，它和,3378,的算法一样，但积的小数点位置不同。前一题积数得,0.2574,，后一题积数得,2,574,，具体详见本章第二节“积的定位”。,五、“,0”,的乘法,（,1,）如乘数中间有“,0”,计算容易错位，则可调做被乘数，“,0”,不用计算，越过一位即可。如：,266308,改为,308266,；或一数扩大同时一数缩小，（,2662,）,（,3082,）避免出现了“,0”,，改为,532154,进行计算。,（,2,）如乘数和被乘数中间都有“,0”,，则遇“,0”,占一位，隔空档计算。,六、连乘,连乘移档定位法：被乘数整数位数乘数整数位数乘法布数位数，按布数位数用挨位乘法（即不隔位乘法）连乘，即在布数位数的个位档，得出积的个位档。（如用隔位乘法，则每乘一次都要将被乘数向右移后一位计算，公式计算中，再加乘的次数）积的个位档可假定利用算盘上第六档固定作为定位点，或用手指临时定点。,七、因数交换法,在乘法中，被乘数和乘数的位置相互交换所得的乘积不变，叫做“乘法交换律”。根据这条定律，凡是两个数相乘，其中任何一个数都可以作为被乘数或乘数，乘数和被乘数都叫做乘积的因数。在珠算操作时，为了运算方便，可以把两个因数交换位置，叫“因数交换法”。因数交换，可按下列情况确定：,（,1,）把中间带,0,的因数作为被乘数，计算时不用计算，超过一位即可，较为简捷；反之，如果把它作为乘数，必须跳位计算，容易串位出差错。,（,2,）以有效数字少的因数作为被乘数，计算时连贯性强，用后乘法则可减少加积次数和减少拨去被乘数的次数，较为简捷。,（,3,）以一个包含,1,或,9,的因素作为被乘数，因为,1,或,9,可分别用简捷法的“定身乘”和“补数乘”，使运算方便。,八、定身乘法,“定身”就是原位不动，它和普通计算省去乘数,1,不参加运算的意思相同。,第一种情况：,1,在首位，第二位不是,0,。,【,例,3.21】 7816,7810,786,780,468,1248,第二种情况：,1,在首位，第二位是,0,。,【,例,3.22】 36106,36100,366,3,600,216,3,816,凡首位不是,1,，可用“求一法”取得之。如,2,或,3,乘以,5,；,4,除,4,或乘,25,；,5,，,6,，,7,，,8,等都乘以,2,就可使首位是,1,。计算时，一个因数扩大几倍，另一个因数必须缩小几倍。,第三种情况：,1,在末位。,【,例,3.23】 2641,(2640),(261),1,040,26,1,066,