第五章贝赛尔函数

,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,西安理工大学应用数学系,西安理工大学应用数学系,第五章 贝赛尔（,Bessel,）函数,特殊函数之一,1 Bessel,方程的导出,5.1,Bessel,方程及,Bessel,函数,引例：设有半径为,R,的圆形薄盘，上、下两面绝热，圆盘边界上的温度始终保持为零度，且初始温度分布已知，求圆盘内的瞬时温度分布规律。,该问题的数学模型为：,用分离变量法求解。令,代入方程得,考虑到边界条件，有,转化到极坐标系，问题变成,亥姆霍兹方程,再用分离变量法,第二个方程变形为,令代入方程得,求解固有值问题,得固有值及固有函数分别为,将代入方程得,再由边界条件知，,故有下列固有值问题,又,只要能够求解该固有值问题，本节提出的热传导问题就解决了。下面先研究该固有值问题中的方程。,称为阶,Bessel,方程,一般的有,v,阶,Bessel,方程,2. Bessel,函数,Bessel,方程的解,用广义幂级数法求解该方程。由常微分方程理论，设方程的解为,于是,各阶导数为,代入,Bessel,方程，整理，得,于是由幂级数展式的唯一性，有,不妨取,其中是一个任意常数，为了简化，取,注：,是一个广义函数：,注：,的性质：,当,v,是正整数,n,时,回到原问题,这时,这样就得到了,Bessel,方程的一个特解,记为，即,称为,v,阶第一类,Bessel,函数（级数）。,称为,-v,阶第一类,Bessel,函数（级数）。,当时可得,Bessel,方程的另一个解，即,由幂级数收敛性判定知，这两个级数在实数域内均绝对收敛。,若构造,Bessel,方程的通解如何得到呢？,情形,：当,v,不是整数时， 与 线性无关，于是,Bessel,方程的通解为,则称为,第二类,Bessel,函数，,而与线性无关，故通解又可写成,情形,：当,v,是正整数,n,（包括零）时， 与 线性相关，于是需找到与线性无关的函数，才能得到,Bessel,方程的通解。,定义,即可满足要求。,此时,下面说明与的线性相关性：,由于当,而当，于是有,故与的线性相关。,例,1,验证是方程的解。,分析：满足,Bessel,方程,证明：因,代入方程，得,例,2,：,证明,的解为,性质,1,有界性,性质,2,奇偶性,5.2,贝塞尔函数的性质,当,v,为正整数,n,时,性质,3,递推性,推导：,于是得递推公式：,推导：,于是得递推公式：,例 求下列微积分,同理有递推公式：,性质 半奇数阶的贝塞尔函数,1,固有值问题的解,5.1,问题的继续,5.3,正整数阶,Bessel,函数的性质及应用,上节要解决的固有值问题,经前面讨论之后，可得方程的通解为,2 Bessel,函数的零点,由如上几个函数零点的布局结构，可推知,有无穷多个单重实零点，并关于原点对称分布，故,有无穷多个正零点，记为,与的零点是相间分布的，且,即的最小正零点比的小。,即图形随着趋于,以为周期的函数。,这时,故固有值为,固有函数系为,在前面的介绍中，故有函数系均正交，此处如何？, 固有函数系的正交性,证明略。,结论：,n,阶,Bessel,函数系在上带权正交，即,且,结论：若在内分段连续，且则必能展成如下形式的级数,其中,Fourier-Bessel,级数,Fourier-Bessel,级数,Fourier-Bessel,系数,例,4,：,将,1,在,区间内展成,的级数形式,解：设,由正交性知,而,所以,例,5,：,将,x,在,0,x,2,区间内展成,的级数形式,解：设,由正交性知,而,所以,Bessel,函数的应用,例求解下列热传导问题,用分离变量法。令，代入方程，得,均匀圆盘的热传导，无热源,边界温度为零,初始温度与角度无关，于是内部温度分布也与角度无关,方程通解为,固有函数为,可归纳出固有值问题：,于是固有值为,阶,Bessel,方程,另一方程解为,由叠加原理有,由初值条件知,此时,经计算得,故原问题的解为,