第九讲 回归旋转设计分析方法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第九讲 回归旋转设计分析方法,REGRESSION ROTATABLE DESIGN,回归旋转设计是在回归正交设计的基础上发展而来的。但后者的预测值的方差很大程度上依赖于试验点在因子空间的位置。由于误差的干扰，试验不能根据预测值直接寻找最优区域。若使用二次设计具有旋转性，便能使与试验中心点距离相等的试验点上的预测值方差相等。将有助于克服回归正交设计的不足。故此，本讲着重讨论二次回归旋转设计及分析。,第一节,二次通用旋转设计的方法,一、试验点的确定,二次旋转设计也是一种组合设计（为克服试验规模过于庞大，在因素空间中选择,n,类具有不同特点的点，把它们适当组合起来而形成试验计划）。它的试验处理数目,N,由三部分组成，即：,N=m,c,+2,P,+m,0,（91）,其中：,m,c,为所选用正交表中的全试验数；,p,为试验因素的个数；,m,0,为各因素零水平组成的中心试验点的重复数。,N,个试验点是分布在三个半径不相等的球面上。其中,m,c,个点分布在半径,p,c,=,的球面上；,2,p,个点分布在半径,p,=,的球面上；,m,0,个点集中在半径,p,0,=0,的球面上。因此，它满足了旋转性和非退化性。,有关,m,0,的重复次数，二次旋转组合设计对,m,0,的选择是自由的，即使中心点的试验一次也不做，也不会影响旋转性，但中心点附近区域往往是我们所关心的区域，而且中心点重复试验能给出回归方程在中心点的拟合情况。所以，中心点,m,0,的重复试验是很有必要的。,m,0,因,p,不同而不同。现将通用旋转设计的一些有关参数列于表91，供设计时查用。,表,9,1,二次通用旋转设计的参数表,因素个数（,p）,N m,c,2p m,0,2,3,4,5（1/2实施）,6（1/2实施）,7（1/2实施）,8（1/2实施）,8（1/4实施）,13 4 4 5 1.44,20 8 6 6 1.682,31 16 8 7 2.000,32 16 10 6 2.000,53 32 12 9 2.378,92 64 14 14 2.828,165 128 16 21 3.364,93 64 16 13 2.828,表91中,值可按下式计算,(9,2),式中：,p,为因素个数；,i,为实施情况，当试验全实施时,i=0，1/2,实施时,i=1；1/4,实施时,i=2。,二、二次旋转计划的安排,设为研究的因素有,p,个，分别以,Z,1,、,Z,2,、,、,Zp,表示，每因素的上水平为,Z,i2,，,下水平为,Z,i1,，,零水平为,Z,i0,，,变动区间（,i,）,为：,其中,r,值可按,p,的个数及实施情况查表91或按92式计算，然后编制因素水平的编码表92。,表,9,2,因素水平的编码表,x,ia,Z,1,Z,2,Z,p,1,0,1,Z,12,Z,10,+,1,Z,10,Z,10,1,Z,11,Z,22,Z,20,+,2,Z,20,Z,20,2,Z,21,Z,P0,+,P,Z,P0,Z,P0,p,Z,P1,Z,p2,第二节 二次通用旋转设计的结果分析,一、回归系数的计算,在二次通用旋转设计中，回归系数按下列各式计算：,式中各常数,e,，,k,，,E,，,F,，,G,等按下式计算：,（,9,6,）,式中的,N,，,m,c,，,p,，,r,值均按,p,的个数查表,9,1,所得，如,p=2,时，查表,9,1,，得,N=13,，,m,c,=4,，,r=1.414,，,代入（,9,6,）式得：,e = 4+2(1.414),2,= 8,f = 4+2(1.414),4,=11.995,H = 2(1.414),4,1311.995+（2-1）13428,2,=639.094,为方便见，一些常用的数据列于表93中，以供查用。,表,9,3,二次通用旋转组合设计的一些常数,2,3,4,5（1/2实施）,5,6（1/2实施）,7（1/2实施）,0.20000 0.1000 0.1437 0.0187 8.000,0.1663 0.0568 0.0694 0.0069 13.656,0.1428 0.00357 0.0350 0.0037 24.000,0.1591 0.0341 0.0341 0.0028 24.000,0.0988 0.0191 0.0180 0.0015 43.314,0.01108 0.0187 0.0168 0.0012 43.314,0.0703 0.0098 0.0083 0.0005 80.000,因素个数,P,K,E,F G e,二、回归方程的显著性检验,设二次通用旋转设计,N,个组合的试验结果为,Y,1,，,Y,2,，,Y,n,，,则它们的总平方和与自由度为：,剩余平方和与自由度为：,(9,8,）,回归平方和与自由度为：,（,9,9,）,误差平方和与自由度为：,（,9,10,）,失拟平方和与自由度为：,检验时先对失拟均方进行显著性检验，即：,（,9,11,）,（,9,12,）,若不显著，可对回归方程进行显著性检验；若,F,值显著或极显著，则要进一步考察原因，改变二次回归模型，说明存在着不可忽略因素的影响。,对回归方程进行显著性检验，即：,（,9,13,）,三、回归系数的显著性检验,可采用,t,测验，即：,（914）,若 不显著（,9-12,）可用 代 （,9-14,）,第三节 二次通用旋转设计的实例分析,一、编制编码表安排试验,有一个三因素的试验，各个因素的水平编码如表,9,4,，由表,9,1,查得,=1.628,，,于是，表,9,4,中的变动区间,i,为：,1,=,2,=,3,=,Z,1,（+1）=Z,10,+,1,=55+15=70,Z,1,（-1）=Z,10,-,1,=55-15=40,Z,2,（+1）=Z,20,+,2,=70+305=100,Z,2,（-1）=Z,20,-,2,=70-305=40,Z,3,（+1）=Z,30,+,3,=150+89=239,Z,3,（-1）=Z,30,-,3,=150-89=61,因素,Z,1,Z,2,Z,3,+,+1,0,-1,-,80 120 300,70 100 239,55 70 150,40 40 61,30 20 0,i,15 30 89,x,ia,按通用旋转设计，查表,9,1,，三个因素的处理组合,N=20,，,其中,m,c,=8,，,2p=6,，,m,0,=6,，,于是可得表,9-5,的,20,个处理组合，其中：,表,9,4,三个因素水平编码表,处理1为：,x,1,=70， x,2,=100， x,3,=239,处理2为：,x,1,=70， x,2,=100， x,3,=61, ,处理10为：,x,1,=30 ，x,2,=70， x,3,=150,处理,15,-,20,为：,x,1,=55,，,x,2,=70,，,x,3,=150,经试验后，把试验结果列于表9-5中的最后一列（,y）。,表,9-5,三因素二次通用旋转设计结果,二、试验结果分析,（一）由表（,9-3,）中查得有关常数代入（,9-5,）式计算各回归系数,于是得到回归方程为：,（二）回归方程的显著性检验，依公式可得下列各平方和及自由度。,SS,失,=,SS,Q,SS,e,=13.9743.108=10.866,df,T,=N1=201=19,df,Q,=N,=2010=10,df,U,= 1=9,dfe,=m,0,1=61=5,df,失,=20106+1=5,对失拟均方进行显著性检验依,查,F,值表，,F,0.05(5，5),=5.05，p0.05，,说明不存在其它有影响的因素，故可作方差分析。,表9-6 回归结果的方差分析,F,检验结果表明：二次回归方程与实际情况拟合很好，可用来预测，试验误差方差的估计值为：,，相关指数,R,2,=3693.676/3707.65=0.9962,。,（三）回归系数的显著性检验,查,t,值表，,t,0.05(10),=2.228,，,t,0.01(10),=3.169,，,故最优回归方程为：,由于在计算过程中对,x,1,、,x,2,、,x,3,的水平进行了标准化处理，故,x,1,、,x,2,、,x,3,应该分别用（,x,1,55,）,/15,、（,x,2,70,）,/30,、（,x,3,150,）,/89,取代。整理后的最优回归方程为：,该最优回归方程的估测误差为：,S,y,。,e,=,，,相关指数,R,2,=3704.9045/3707.65=0.9993,。,说明用该回归方程估测,y,的准确性极高。,