第七章 小波变换和多分辨率处理

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,第七章 小波变换和多分辨率处理,张 萍,电子科技大学 光电信息学院,E-mail: pingzh,参考,资料,教材：,Rafael C. Gonzalez, etc,，,Digital Image Processing (Third Edition),，电子工业出版社，,2010,参考书籍：,（美）多布著，李建平译，,小波十讲,，国防工业出版社 ，,2011,孙延奎著，,小波变换与图像、图形处理技术,，清华大学出版社，,2012,朱希安，曹林编著，,小波分析及其在数字图像处理中的应用,，电子工业出版社，,2012,“,小波,”,（,wavelet),就是一种,“,尺度,”,很小的波动，并具有时间和频率特性。,时间,A,时间,B,什么是小波？,小波函数必须满足以下两个,条件：,小波必须是振荡的；,小波的振幅只能在一个很短的一段区间上非零，即是局部化的。如：,图,1,小波例,1,图,2,小波例,2,小波变换具有良好的局部时频聚焦特性，而被称为,“,数学显微镜,”,。,小波分析是纯数学、应用数学和工程技术的完美结合。从数学来说是大半个世纪,“,调和分析,”,的结晶（包括傅里叶分析、函数空间等）。,小波变换是20世纪最辉煌科学成就之一。在,信号处理、图像处理、模式识别、语音识别、量子物理、地震勘探,、,流体力学、电磁场、,CT,成象、机器视觉、故障诊断、分形、数值计算,等已有重大突破。,小波分析发展简史,时间,标志性事件,人物,1822,Fourier,变换，,在频域的定位最准确，无任何时域定位能力,。如：,函数，时域定位完全准确，频域无任何定位能力。,Fourier,1910,提出规范正交基,。,Harr,1946,Gabor,变换,(,STFT),，,窗函数的大小和形状与时间和频率无关而保持固定不变。不构成正交基,。,Gabor,1984,提出,连续小波,变换。,Morlet,1985,提出离散,小波,变换。,Meyer,Daubecies,1986,Meyer,证明了不可能存在时域频域同时具有正则性的正交小波基，证明了小波的自正交性。,Meyer,1987,统一了多分辨率分析和小波变换，给出了快速算法,。,Mallat,1988,Daubecies,在,NSF,的小波专题研讨会进行了讲座,。,Daubecies,Inrid Daubechies,于,1988,年最先揭示了小波变换和滤波器组,(filter banks),之间的内在关系，使离散小波分析变成为现实。,Ronald Coifman,和,Victor Wickerhauser,等著名科学家在把小波理论引入到工程应用方面做出了极其重要贡献。,在信号处理领域中，自从,Inrid Daubechies,完善了小波变换的数学理论和,Stephane Mallat,构造了小波分解和重构的快速算法后，小波变换在各个工程领域中得到了广泛的应用，典型的如语音信号处理、医学信号处理、图像信息处理等。,小波理论与工程应用,傅里叶变换与小波变换,傅里叶变换,的基础函数是正弦函数。,小波变换,基于一些小型波，称为,小波,，,具有变化的频率和,有限的持续时间。,傅里叶变换与小波变换,傅里叶变换,反映的是图像的整体特征，其频域分析,具有很好的局部性，但,空间,(,时间,),域,上没有局部化功能,。,与傅里叶变换相比,，,小波变换,是空间,(,时间,),和频率的局部变换，它通过伸缩平移运算对信号逐步进行多尺度细化，最终达到高频处时间细分，低频处频率细分，能自动适应时频信号分析的要求，从而可聚焦到信号的任意细节,。,小波变换,是基于具有变化的频率和有限持续时间的小型波进行的。它是多分辨率理论的分析基础。,多分辨率理论,将多种学科的技术有效地统一在一起，其优势很明显,某种分辨率下所无法发现的特性在另一种分辨率下将很容易被发现。,本章将从多分辨率的角度解释小波变换。,主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,主要内容,背景,图象金字塔,子带编码,哈尔变换,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,1.,背景,物体的尺寸很小或者对比度不高的时候，通常采用较高的分辨率观察。,物体尺寸很大或者对比度很强，只需要较低的分辨率。,物体尺寸有大有小，强弱对比度同时存在，则适合用,不同的分辨率,对其进行研究。,从数学观点看，图像是一个亮度的二维矩阵，边界和强烈变化的区域局部直方图统计特性不同。,无法对整个图象定义一个简单的统计模型。,一幅自然图像及其直方图的局部变化,1.,背景,(1),图像金字塔,以多分辨率来解释图像的一种简单有效的结构。一幅图像的金字塔是一系列以金字塔形状排列的分辨率逐步降低的图像集合。,金字塔的底部是带处理图像的高分辨率表示，而顶部是低分辨率的近似。当向金字塔的上层移动时，尺寸和分辨率就降低。,基础级,J,的大小为,NN,（,J=log,2,N,）,顶点级,0,的大小为,11,第,j,级的大小为,2,j,2,j,（,0,j,J,）,共有,J+1,级，但是通常我们截短到,P,1,级，其中,1, PJ,J-1,级近似输出用来建立近似值金字塔；作为金字塔基级的原始图像和它的,P,级减少的分辨率近似都能直接获取并调整；,J,级的预测残差输出用于建立预测残差金字塔；近似值和预测残差金字塔都通过迭代计算获得。,金字塔方框图,(1),图像金字塔,(1),图像金字塔迭代算法,初始化，原始图象大小,2,J,2,J,，,j,J,j-1,级，以,2,为步长进行,子抽样,，,计算输入图像减少的分辨率近似值,j-1,级近似值，生成子抽样金字塔。,对,j-1,级近似值进行,步长为,2,的内插,，并进行过滤，生成与输入图像等分辨率的预测图像。,计算输入图像和预测图像之间的差异，产生预测残差金字塔。,重复,2,、,3,、,4,步骤。,图象的高斯近似值金字塔，分辨率分别为：,512,512,，,256,256,，,128,128,，,64,64,。,金字塔的分辨率越低，伴随的细节越少,;,低分辨率图像用于分析大的结构或图像的整体内容，高分辨率图像用于分析单个物体的特性。,相应拉普拉斯预测残差金字塔，分辨率分别为：,512,512,，,256,256,，,128,128,，,64,64,。,从低级开始通过内插和滤波获得高级高斯金字塔的预测残差图象。,(1),图像金字塔,两种图像金字塔和它的统计特性。（,a,）高斯金字塔（近似），（,b,）拉普拉斯金字塔（预测残差）,(a),(b),子带编码也是多分辨率相关的重要图像技术,在子带编码中，一幅图像被分解为一系列限带分量的几何，称为,子带,。,子带可以重组在一起无失真地重建原始图象。,每个子带通过对输入进行带通滤波而得到。,子带带宽小于原始图像带宽，子带可以进行无信息损失的抽样,原始图象的重建可以通过内插、滤波、和叠加单个子带来完成,(2),子带编码,系统输入是一个一维的带限时间离散信号,x(n),分析滤波器,h,0,(n),和,h,1,(n),是半波数字滤波器，理想传输函数,H,0,H,1,如下图所示。,H,0,低通滤波，输出,x(n),的,近似值,H,1,高通滤波，输出,x(n),的,高频或细节部分,综合滤波器,g,0,(n),和,g,1,(n),为重构的结果,(2),子带编码,（,a,）一维子带编码和解码的两频带滤波器组，,（,b,）频谱分离特性,(a),(b),序列,x(n),的,Z,变换,时域以,2,为因子的抽样对应到,Z,域,同样，以,2,为因子的内插对应的变换为,X(n),先抽样再内插得到,(2),子带编码,系统输出,滤波,h,0,(n),的输出,整理,第二项含有,z,，代表了抽样,-,内插过程带来的,混叠,(2),子带编码,对于输入的无失真重建，假定下列条件：,矩阵表达,消除混叠,消除幅度失真,&,(2),子带编码,分析调制矩阵,证明分析滤波器和综合滤波器,双正交,24,由,性质，以及奇次方相互抵消,(2),子带编码,将,H,0,和,G,0,表示成,G,1,和,H,1,的函数,(2),子带编码,满足该条件的滤波器组称为具有双正交性,分析滤波器和综合滤波器满足上述条件，所以具有双正交性,(2),子带编码,(,正交镜像滤波器,),(,共轭正交滤波器,),完美重建滤波器族,一维滤波器用于图像处理的二维可分离滤波器,可分离滤波器首先应用于某一维（如水平方向），在应用于另一维（如垂直方向）,a(m,n), d,V,(m,n), d,H,(m,n),和,d,D,(m,n),分别表示近似值、垂直细节、水平细节和图象的对角线细节子带,(2),子带编码,4,个,8,抽头,Daubechies,正交滤波器的冲激响应。,(2),子带编码,低通滤波器,h,0,(n),的系数为：,-0.010 597 40,，,0.032 883 01,，,0.030 841 38,，,-0.187 034 81,，,-0.027 983 76,，,0.630 880 76,，,0.714 846 57,，,0.230 377 81,。,其余正交滤波器参数可以通过公式计算获得。,a d,H,d,V,d,D,(2),子带编码,花瓶的,4,频段子带编码,花瓶图像从,512,512,到,256,256,子带的近似子带,a,、水平子带,d,H,，垂直子带,d,V,和对角线子带,d,D,d,H,和,d,V,有混叠是由于对可分辨窗口进行抽样造成的，可以通过综合滤波器重建时消除。,它的基函数是最普遍也最简单的正交小波。,哈尔变换本身对称、可分离，矩阵表示：,T,=,HFH,T,F,是,N,N,图象矩阵，,H,是,N,N,变换矩阵，,T,是,N,N,变换的结果,哈尔基函数,(3),哈尔变换,N,N,哈尔变换矩阵第,i,行包含元素,h,i,(z),，其中,z = 0/N, 1/N, (N-1)/N,。,例如，,N=4,时，,k,p,q,的值如右：,则，,4,4,变换矩阵,H,4,2,2,变换矩阵,H,2,(3),哈尔变换,k,p,q,0,1,2,3,0,0,1,1,0,1,1,2,离散小波变换的哈尔函数,6464,128128,256256,图示为哈尔基函数对图像的多分辨率分解，,离散小波变换包含了与原始图像相同的像素数,其局部统计数据相对稳定，并且容易给出模型。,大多数数据接近,0,，可以进行大量的压缩；,原始图象的粗和细分辨近似可以从中提取子图象进行重建,。,主要内容,背景,多分辨率展开,序列展开,尺度函数,小波函数,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,2.,多分辨率展开,图像金字塔、子带编码和哈尔变换，在数学理论多分辨率分析中扮演了重要角色。,在,多分辨率分析,( MRA ),中，尺度函数被用于建立某一函数或图像的一系列近似值，相邻两近似值之间的近似度相差,2,倍。,被称为小波的附加函数用于对相邻近似值之间的差异进行编码。,信号或函数可以分解为一系列展开函数的线性组合,其中，,k,是有限或无限和的整数下标，,k,是具有实数值的展开系数，,k,(x),是具有实数值的展开函数,如果展开方式唯一，则任何指定的,f(x),只有一个,k,序列与之相对应,k,(x),称为,基函数,展开序列,k,(x),称为可表示这一类函数的,基,。,(1),序列展开,可展开的函数组成了一个函数空间，被称为展开集合的闭合跨度,系数,k,可以通过内积得到,(1),序列展开,由于展开集合的正交性，计算有,3,种形式,情况,1,：,如果展开函数构成了,V,的一个正交基,基与它的对偶相等， 则,系数由基函数和原函数的内积来计算,(1),序列展开,由于展开集合的正交性，计算有,3,种形式,情况,2,：,若展开函数本身不正交，而是,V,的正交基,基函数及其对偶函数为双正交，即,系数由下式计算,(1),序列展开,情况,3,：,如果展开集合对,V,来说不是函数基，但是符合线性,展开，那么它是一个跨度集合，对于任一,f,(,x,),V,有一个以上,k,集合。展开函数及其对偶称为,超完备,或冗余,。它们组成了一个框架，其中：,对于某些,A,0,，,B,，及所有,f,(,x,),V,。若,A,=,B,(1),序列展开,考虑整数平移和实数二值尺度、平方可积函数,(x),组成的可展开函数集合,k,决定了,j,k,(x),在,x,轴的位置,j,决定了,j,k,(x),的宽度,2,j/2,控制其高度或幅度,j,k,(x),的形状随着,j,发生变化，,(x),被称为,尺度函数,通过选择适当的,(x),，,j,k,(x),可以决定跨度,L,2,(R),，所有可量度的平方可积函数的集合,.,(2),尺度函数,定义代表任何,j,，,k,上的跨度,子空间,增大,j,，用于表示子空间函数的,j,k,(x),范围变窄,增加,j,将增加,V,j,的大小，将允许具有变化较小的变量和较细节函数包含在子空间中,举例说明哈尔尺度函数,(2),尺度函数,单位高度单位宽度的尺度函数,当,j=1,时与,j=0,相反，展开函数更窄更密集,对于左下角的函数,将,0,，,0,(x),分解作为,V,1,展开函数的和，可以得到,从数学角度看，,V,0,是,V,1,的一个子空间，记做,举例：哈尔尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件,MRA,要求,1,：,尺度函数对其积分变换是正交的,在哈尔函数的情况下，因为无论什么时候只要尺度函数的值是,1,，其积分变换就是,0,，所以二者的乘积是,0,。哈尔函数是紧支撑的，即，除被称为支撑区的有限区间外，函数值都为,0,。事实上，其支撑区是,1,，半开区间,0,1),外的支撑区的值是,0,。必须注意，当尺度函数的支撑区大于,1,时。积分变换正交的要求将很难满足。,(2),尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件,MRA,要求,2,：,由低尺度函数跨越的子空间在低尺度处嵌套在由高尺度跨越的子空间内。,(2),尺度函数,V,2,V,1,V,0,子空间,：,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件,MRA,要求,3,：,唯一包含在所有,V,j,中的函数是,f(x)=0,如果考虑可能的最粗糙的展开函数,(,即,j=-),，惟一可表达的函数就是没有信息的函数，即，,(2),尺度函数,简单尺度函数遵循多分辨率的四个基本条件,MRA,要求,4,：,任何函数都可以以任意精度表示,虽然在任意粗糙的分辨率下展开一个特定,f(x),是几乎不可能的，但所有可度量的、平方可积函数都可以用极限,j,表示，即，,在这些条件下，子空间,V,j,的展开函数可以被表述为子空间,V,j+1,的展开函数的加权和。,(2),尺度函数,被称为尺度函数系数； 为尺度矢量,任意子空间的展开函数都可以从它们自身的双倍分辨率拷贝中得到，即从相邻较高分辨率的空间中得到。对引用子空间,V,0,的选择是任意的。,多分辨率分析的基础，称为,改善等式、,MBR,等式或扩张等式,(2),尺度函数,哈尔尺度函数系数,附加的简化产生了,Haar,尺度和小波函数是不连续和紧支撑的，在支撑的有限区域外是,0.,举例：哈尔尺度函数系数,给定满足,MRA,要求的尺度函数，能够定义小波函数,(x),(,与它的积分变换及其二进制尺度,),，跨越了相邻两个尺度子空间,V,j,和,V,j+1,的差异。,(3),小波函数,用尺度函数可得,如果,f(x)=W,j,尺度函数与小波函数的关系,表示空间并集,V,j+1,中,Vj,的正交补集是,W,j,，,V,j,中所有成员对于,W,j,中的所有成员都正交,(3),小波函数,所有可量度的、平方可积函数空间表示为：,任何小波函数可以表示为平移的双倍分辨率尺度函数的加权和,被称为小波函数系数； 为小波向量,利用小波跨越的正交补集空间、积分小波变换是正交的条件，可得,(3),小波函数,哈尔小波函数系数,哈尔尺度向量定义,相应的小波向量,哈尔小波函数,举例：哈尔小波函数系数,W,1,比,W,0,窄，可以标志更细微的细节；,函数展开,这里,V,0,尺度函数的近似,W,0,小波函数,举例：哈尔小波函数系数,尺度函数,(Scaling function,phi,),父小波函数；,近似空间（低频）；,小波函数,(Wavelet function,psi,),母小波函数；,细节空间（高频）,主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,小波序列展开,离散小波变换,连续小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,j,0,是任意开始尺度,近似值或尺度系数,细节或小波系数,第一个和式是,f(x),在尺度,j,0,上近似,第二个和式是在较高尺度,j,j,0,更细分辨率的小波函数,(1),小波序列展开,定义小波序列展开,展开系数计算：,3.,一维小波变换,举例：哈尔小波序列展开,举例：哈尔小波序列展开,如果待展开函数是一个数字序列，得到的系数就称为,离散小波变换,(DWT),对于,j,j,0,通常令,j,0,0,且,M,是,2,的幂,(M=2,J,),注意：,序列展开中的积分变成了,求和,对于双正交函数要用,对偶函数,代替,近似系数,细节系数,(2),离散小波变换,考虑,4,点离散函数：,f(0)=1, f(1)=4, f(2)=-3,和,f(3)=0,M=4, J=2,对于,x=0, 1, 2, 3, j=0, 1,求和,举例：一维离散小波函数,考虑,4,点离散函数：,f(0)=1, f(1)=4, f(2)=-3,和,f(3)=0,重构原始函数,举例：一维离散小波函数,Morlet,小波,举例：一维离散小波函数,Mexihat,小波,连续平方可积函数,f(x),的,连续小波变换,(CWT,),s,和,分别为尺度和变换参数,当满足条件 反连续小波变换,其中 是 的傅里叶变换,(2),连续小波变换,DWT,和,CWT,的相似性,连续变换参数,取代了积分变换参数,连续尺度参数,s,与二进制尺度参数,2,j,相反。,连续尺度参数,s,出现在分母上，小波尺度和通常意义上的频率定义相反,0 s 1,时，扩大或展开,CWT,开始展开,j,0,=-,，消除了尺度函数间的明显关联，函数只包括小波项,和,DWT,相似，,CWT,可以被看成是一组变换系数 ，它给出,f(x),与基函数集 的相似性。,在连续情况下，两个集合都是无穷的,(2),连续小波变换,墨西哥草帽小波,左图函数的傅里叶变换，解释了尺度化的小波和傅里叶频段之间的联系，频谱中的两个显著频段,(,峰值,),对应函数的两个类高斯扰动,函数根据墨西哥草帽小波完成的,CWT,的一部分,(1,s,10,且, ,100),它同时给出了时域和频域的信息。如：,当,s=1,变换在,=,10,时达到最大值,变换绝对值 用黑白之间的灰度级显示,主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,FWT,是实现,DWT,的高效计算，利用相邻尺度,DWT,系数之间的关系，采用类似的两段子带编码方案，也称为,Mallat,人字型算法。,从多分辨率等式开始,尺度向量,h,可以被看成是用来将 展开成尺度为,j+1,的尺度函数和的,“,权,”,4.,快速小波变换,FWT,4.,快速小波变换,FWT,注意：,DWT,在尺度,j,的细节系数是尺度在,j+1,是近似值系数的函数,类似的可以得到,尺度为,j,的近似值 和细节系数 可以通过尺度为,j+1,的近似系数 和时域反转的尺度与小波向量,的卷积，而后对结果进行亚取样来计算,4.,快速小波变换,FWT,一个,FWT,分析滤波器族,有,h,0,(n) = h,(-n),且,h,0,(n) = h,(-n),其中，卷积在,n=2k,时进行计算，在非负偶数时刻计算卷积与以,2,为步长进行过滤和抽样的效果相同,4.,快速小波变换,FWT,FWT,分析滤波器可以迭代产生多阶结构。,如果以高于奈奎斯特频率的采样率进行采样，该样值是该分辨率的尺度系数的良好近似，可以作为起始的高分辨率尺度系数的输入，即，无须小波系数。,二阶两尺度,FWT,分析滤波器以及其频率分离特性,4.,快速小波变换,FWT,例：计算一维小波变换,离散函数,f(n)=1,4,-3,0,，计算基于哈尔尺度和小波函数的变换。使用小波向量,例：计算一维小波变换,离散函数,f(n)=1,4,-3,0,，计算基于哈尔尺度和小波函数的变换。使用小波向量,哈尔尺度和小波向量计算序列,1,4,-3,0,的二尺度快速小波变换,通过近似值,W,(j,k),和,W,(j,k),细节系数重建,f(x),的高效反变换，称为快速小波反变换,(FWT,-1,),使用正变换中所用的尺度和小波向量以及第,j,级近似值和细节系数来生成第,j,1,级的近似值系数,完备重建要求,对于,i=0,1, g,i,(n) = h,i,(-n),即：分析滤波器和综合滤波器在时域中是相互反转的,对于双正交分析,/,综合滤波器，不是彼此时域反转的,4.,快速小波变换,FWT,FWT,1,的综合滤波器族,FWT,1,迭代：二阶或两尺度,FWT,1,的综合滤波器族,W,up,代表步长为,2,内插,例：计算一维小波反变换,首先对,0,级近似值和细节系数进行内插，产生,1,0,和,4,0,与滤波器,g,0,(n),和,g,1,(n),卷积结果相加产生,W,(1,n),，得到一级近似值的重建,迭代运算，重建,f(x),用哈尔尺度和小波向量计算序列 的两尺度快速小波反变换,快速小波变换与,FFT,的比较,运算复杂性,对于,FWT,，长度为,M=2,J,的序列的,FWT,的运算次数是,O(,M),阶，即：,浮点乘法和加法,(,使用滤波器族,),的次数与序列的长度存在这线性关系,FFT,需要,O(,M,log,M),阶,变换的基函数,傅里叶的基函数,(,正弦函数,),保证了,FFT,的存在,FWT,的存在取决于使用的小波函数的尺度函数是否存在，以及尺度函数和相应的小波函数的正交,/,双正交性,表达函数时，时间和频率通常被作为不同的域来处理，它们之间存在这不可分割的关系,例如，要得到时域有价值的信息，就要忍受频域模糊，反之亦燃,-,海森伯测不准原理,块不重叠是正交基函数的特点,FWT,和,FFT,的比较,标准时域基给出时间发生的时刻，没有频域信息,正弦基给出时间发生的频率但是没有时间分辨率,FWT,时间和频率分辨率是变化的,低频：块短而宽，即有较好的频率分辨率，对应较差的时间分辨率,高频：块窄而高，即有较高的时间分辨率，频率分辨率下降,取样数据,FFT,基函数,FWT,基函数,时间一频率块,主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,二维乘积可分离的尺度函数,二维可分离方向敏感小波,定义尺度和平移基函数,沿列方向变化,沿行方向变化,沿对角线方向变化,5.,二维小波变换,M,N,的函数,f(x, y),的离散小波变换,同一维,DFT,一样， 定义了尺度在,j,0,的,f(x, y),的近似， 系数对于,j,j,0,附加了水平，垂直对角线方向的细节,离散反小波变换,5.,二维小波变换,二维,DWT,可以用数字滤波器和抽样来实现,先取,f(x,y),的行的一维,FWT,再用结果列的一维,FWT,5.,二维小波变换,图,7.22,二维快速小波变换。（,a,）分析滤波器族,二维,DWT,可以用数字滤波器和抽样来实现,5.,二维小波变换,图,7.22,二维快速小波变换。 （,b,）分解结果,两尺度分解结果,综合滤波器，重建过程和一维相似,每一次迭代,4,尺度,j,的近似和细节图象用两个一维滤波器内插和卷积,5.,二维小波变换,图,7.22,二维快速小波变换。 （,c,）综合滤波器族,四阶对称小波,a,b,分解滤波器,c,d,重建滤波器,e,一维小波函数,f,一维尺度函数,a b,c d,e f,低通重建滤波,g,0,(n)=h,(n),的系数对于,0,n,7,：,0.0322,，,-0.0992,，,0.2979,，,0.8037,，,0.4976,，,-0.0296,，,-0.0758,5.,二维小波变换,例：计算二维小波变换,四阶对称小波,三个二维小波之一,H,(x,y),5.,二维小波变换,3,尺度,FWT,a,b,c,d,a,图,:,由计算机产生的,128X128,基于滤波器分解的一个序列,b-d,图：对称小波滤波器分解结果,前面分析的小波族称为,“,对称小波,”,（,symlet,）,它们不完全对称，但具有最小不对称性和最高消失矩数,DWT,尺度和小波函数表现为低通和高通滤波器特性，大多数基于傅里叶滤波器的技术和小波部分是等价的,小波 的第,k,阶矩是 。,0,阶矩影响小波函数和尺度函数的平滑性以及多项式表示它们的能力。一个,N,阶对称小波有,N,个消失矩,5.,二维小波变换,小波在图像处理中的用途，如在傅里叶域,那样，基本方法是：,计算一幅图像的二维小波变换,修改变换,计算反变换,5.,二维小波变换,例：基于小波的边缘提取,a b,c d,a,图消除了最低尺度近似分量，再进行反变换得到,b,图，效果是强调和突出了图象的边缘,c,图将水平细节也置为,0,，反变换得到重建图象,d,，可以孤立出垂直边缘。,图,7.25,改进的边缘检测,DWT,。（,a,）（,c,）选择的 删去系数的两尺度分解，（,b,）（,d,）相应的重建,例：基于小波的去除噪声,基于小波的图象去噪的过程,选择分解用的一个小波,(,例如：哈尔对称小波,),和级别数或尺度,P,。,计算噪声图象的,FWT,门限化细节系数,从尺度,J-1,到,J-P,选择应用一个门限处理细节系数,硬门限实现，元素绝对值低于门限值则置,0,软门限实现，元素绝对值低于门限值则置,0,，并且标定非,0,的系数接近,0,，去除了硬门限固有的门限处的不连续性,基于原始的近似系数，在,J-P,级执行小波重建，并对,J-1,到,J-P,级改进细节系数,对噪声去除改进,DWT,a,图：人体头部带噪声,MRI,图象,b,图显示了门限化细节系数后的重建图像,4,阶对称小波,2,尺度（,P,2,）,全局门限,94.909 3,c,图：最高分辨率细节置,0,的重建图像,e,图：两个分解级别的细节被置,0,后的,DWT,重建,d,图：在,c,图重建时移去的信息,包含了原图象大多数噪声和某些边缘信息,f,图：在,e,图重建时移去的信息,a b,c d,e f,例：基于小波的去除噪声,主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,快速小波变换将一个函数分解为一系列与对数相关的频段,低频被组成窄频段,高频被组成宽频段,想要较大的控制时频平面的一部分，,FWT,必须有更灵活的分解,小波包,产生过程的代价是,FWT,计算复杂度增加，从,O(,M,),到,O(,M,log,M,),6.,小波包,考虑两阶的滤波器族，分解过程用二叉树表示,根节点被赋予最高的尺度近似系数，它是函数自身的取样,叶子继承变换的近似细节和系数细节的输出,两尺度,FWT,分析族的一个系数数和分析数,6.,小波包,三尺度,FWT,分析族、分析数和相应的频谱,三尺度,FWT,分析滤波框图,分解空间树,谱分离特性,6.,小波包,分析树提供了多尺度小波变换的紧凑有效的方法,比对应的滤波器和基于子取样的方框图更容易画，并占有较少的空间,相对容易定位有效分解,三阶分析数提供了三种展开选择,6.,小波包,分析树还是表示小波包的有效机理,从,3,阶,FWT,分析树到,3,阶小波包树,A,表示近似滤波,D,表示细节滤波,3,阶小波包树几乎是,3,阶,FWT,的有效分解数目的,3,倍,6.,小波包,注意：平均分布的频带是完全小波包分解的特征。,分析树的滤波器组,谱分离特性,随着扩展的增加，基于包的变换改进了对被分解函数的频谱分割的控制，代价是复杂度增加,滤波器组将 分解成,输出，反复迭代生成,P,尺度变换,第一次迭代得到,为适应二维输入特性，就要有单个小波子空间,对应系数,子空间分析树,6.,小波包,三尺度、全小波包分解树（部分）,6.,小波包,例：二维小波包分解,指纹扫描图象,三尺度、全小波包分解为,64,片,上图中被分解子图象构成,8,8,阵列的子带,为了达到压缩的目的，,64,片分解达到某种程度优化的可能性相对较低,选择一种更加合理的分解方式,附加代价函数,测量二维函数,f,的熵或信息量,利用代价函数将接近,0,值的数目最大化,优化算法必须使用附加代价函数使分解树的叶子节点所付出的代价最小：,熵最小的节点具有更多接近,0,的数值，导致更大的压缩,例：二维小波包分解,构造最小熵的有效算法,对于分析树的每个节点，从根节点开始逐层构造树，直到叶子节点,计算节点的熵和此节点的,4,个子节点的熵,对于二维小波包分解，父节点是一个近似值或细节系数的二维阵列，子节点是经过滤波的近似值是水平、垂直、和对角线方向上的细节,如果子节点的联合熵小于父节点的熵，就将这些子节点包括到分析树中，否则去掉这些子节点，只保留父节点,用上述算法修剪小波包树，根据计算最优树的大致框架设计处理程序。,例：二维小波包分解,最佳小波包分解结果及最佳小波包分析树,105,图中没有被进一步分离的子图象比较平滑，由具有中间灰度值的象素构成。,近似值子图象已被标定，以灰度,128,表示,0,值系数，这些子图象几乎不包含任何信息。,这些子图象的分割不会增加图象总体熵。,Cohen-Daubechies-Feauveau,双正交小波族,滤波器族的尺度和小波函数是对称的并且具有相近的长度,双小波及尺度函数,6.,小波包,Cohen-Daubechies-Feauveau,双正交小波族,107,分解滤波器,重构滤波器,0,n,17,时，低通滤波器系数,h,0,(n):,0, 0.001 9, -0.001 9, -0.017, 0.011 9, 0.049 7,-0.077 3, -0.094 1, 0.420 8, 0.825 9, 0.420 8, -0.094 1, -0.0773, 0.049 7, 0.011 9,-0.017, -0.001 9, 0.001 0,高通滤波器系数,h,1,(n):,0, 0, 0, 0.0144 4, -0.014 5, -0.078 7, 0.040 4, 0.417 8, -0.758 9, 0.417 8, 0.040 4, -0.078 7, -0.014 5, 0.014 4, 0, 0, 0, 0,g,0,(n) = (-1),n+1,h,1,(n),和,g,1,(n)=(-1),n,h,0,(n),小 结,小波变换是强有力的时频分析工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的。已成功应用于很多领域，如信号处理、图像处理、模式识别等。,小波变换的一个重要性质是它在时域和频域均具有很好的局部化特征，它能够提供目标信号各个频率子段的频率信息。这种信息对于信号分类是非常有用的。,小波变换一个信号为一个小波级数，这样一个信号可由小波系数来刻画。,小波变换的应用,信号稀疏表示与重构；,信号、图像去噪；,图像边缘检测、目标检测；,数据融合、图像融合；,特征提取、模式识别；,红外图像背景抑制、目标识别等。,小 结,超小波,(,Beyond Wavelet,),分析技术,Curvelet,曲波,Ridgelet,脊波,Bandelet,带波,Beamlet,束波,小线波,Wedgelet,楔波,Surfacelet,面小波,Directionlet,方向波,Contourlet,轮廓波,Shearlet,剪切波,多尺度几何分析,.,本章主要内容,背景,多分辨率展开,一维小波变换,快速小波变换,二维小波变换,小波包,本章要求及作业,本章要求：,1.,熟悉小波分析理论及技术,;,2.,掌握如何应用小波分析技术应用在数字图像上的基本方法。,本章作业,1.,书后：,7.2, 7.9, 7.21,2.,课后编程：,(1),任意选择一幅图像，实现该图像的,Haar,小波的两层子带分解，显示分解图像。然后进行重构，显示重构图像。,END,