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单击此处编辑母版标题样式,*,理学院,*,上一页,下一页,单击此处编辑母版标题样式,理学院,*,上一页,下一页,第一单元函数、极限、连续,1,1.1,函数,2,一、有关函数的四种性质,(,奇偶性、单调性、周期性、有界性,),例,1,求,解,是奇函数，,是奇函数，,3,因此,是奇函数。,于是,4,解,(B),不成立，反例,(C),不成立，反例,(D),不成立，反例,(A),成立。,A,5,证明,为奇函数，,6,二、有关复合函数,7,解,8,即,分析,函数,D,(,x,),的函数值是有理数,1,或,0,，,所以,1,9,解,令,则,因此,于是,所以,10,1.2 极限,11,一、数列与函数极限的存在准则,(1)夹逼准则； (2)单调有界收敛准则,分析,给定数列的奇数项子列单调增加有上界，偶数项子列单调减少有下界，因此两子列均收敛,.,对于这种数列仍可应用单调有界准则,.,12,解,首先易见,又计算可得,所以两子列均收敛，然后由递推式,13,两端取极限得,由此得到,14,解,因为,15,二、幂指函数,的极限,16,解,令,则,因此根据命题可得,故原式=1.,17,三、用洛必达法则与泰勒展开式计算极限,应用洛必达法则之前应注意:,(2),通过分解、变量的等价替换、析出可成为,常数的变量等整理和化简,以便于计算导数,;,(3)可重复上述步骤.,应用泰勒展开式时需注意分子与分母展开的阶数,为各自主部的阶数.,18,例,1,设函数,f,(,x,),有连续的二阶导数,，,且,解,因,因此利用命题的结论有,19,解,用,sin6,x,的泰勒展开式,知应选： C .,C,注,由于,f,(,x,),无可微条件,此题不能用洛必达法则,.,20,例,3,求,解,21,例,4,求,解,原式,=,22,解,原式,=,(应用洛必达法则),23,(应用洛必达法则),(,用积分中值定理,:,在,0,和,x,之间,),24,四、无穷小、无穷大量阶的比较,(1),当正整数,n,时,以下各无穷大数列的阶由低,到高排列为,:,(2),当实数,x,+,时，以下各无穷大量的阶由低,到高排列为：,25,(3),当,x,0,时，下列各无穷小量,(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4,例,1,设当,x,0,时,(1,-,cos,x,)ln(1+,x,2,),是比,x,sin,x,n,高阶的无穷小，而,x,sin,x,n,是比,高阶的无穷小，则正整数,n,等于( ),B,26,例,2,设,则当,x,0,时，,是,的 ( ).,(A),高阶无穷小,(B),低阶无穷小,(C),同阶但不等价的无穷小,(D),等价无穷小,解,C,27,五、有关两个重要公式,(1),(2),28,例,1,求,解,当,x,=0,时，原式,=1.,当,x,0,时，,原式,29,解,则拉格朗日中值定理，有,其中,介于,(,x,-,1),与,x,之间，那么,30,于是,则,2,c,=1,，,e,2c,=,e,即,31,解,例,3,求,32,33,注,：,2009,年全国决赛试题有类似题目,34,六、求分段函数的极限,例,1,求,解,35,七、用导数定义求极限,解,由题设可知,于是,36,解,原式,令,37,于是,原式=,0(,n,),所以原式=,38,八、用定积分定义求极限,公式：,(,函数,f,(,x,),连续,),例,1,求,分析,如果还想用夹逼定理中方法来考虑,而,39,由此可见，无法再用夹逼定理，,因此我们改用定积分定义来考虑。,解,40,例,2,求,解,因为,而,夹逼定理,41,例,3,求,解,原式,=,数列极限普通方法难有成效时，可考虑转化为定积分,42,九、求极限的反问题,解,由题设可知,1+,a,+,b,=0,再对极限用洛必达法则,因此,例,1,设,，求,a,和,b,.,43,解,先用冪指函数处理方法,再用导数定义,取,44,于是,因此,所以,再由,则,45,例,3,设函数,当,x,0,时的极限存在,求,a,的值,.,解,46,例,4,设函数,为了使函数,f,(,x,),在,x,=1,处连续且可导,a,b,应取什么值？,解,因为,所以要使函数在,x,=1,处连续,必须,a,+,b,=1,.,又因为当,a,+,b,=1,时,所以要使函数在,x,=1,处可导,必须,a,=2,此时,b,=1,.,47,十,.,曲线的渐近线,1.,水平渐近线,若,则曲线,有水平渐近线,若,则曲线,有垂直渐近线,2.,垂直渐近线,48,3.,斜渐近线,斜渐近线,若,49,例,1,曲线,渐近线的条数为,解,曲线有渐近线,x,=0,y,=0 ,y,=,x,.,(A)0 . (B)1 . (C)2 . (D)3 .,故正确答案为,D,.,50,1.,3,连续,51,1,、讨论具体函数或抽象函数的连续与间断。包括由连续性确定其中的参数，证明函数的连续性,.,2,、由函数的连续性讨论它的某些特性，如有界、零点、介值等,.,一、 问题分类：,52,二、 填空题,53,54,三、 计算及证明,55,56,57,58,1.4 综合习题讲解,59,一、 填空题,解,可得,所以,a,= 2.,60,解,所以,61,所以,62,解,f,f,(,x,) = 1.,解,原式,63,解,64,所以,k,1=1990,即,k,= 1991;,解,65,二、 计算题,1. 求下列极限,解,66,67,68,2. 求下列极限,按照等价无穷小代换,69,解,方法,1,：,70,71,方法,2,：,Taylor,展开,72,73,(3),解,74,(4),解,75,所以,解,又因为,(5),76,三、证明题,例,1,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,且,f,(,a,) ,b,试证在,(,a,b,),内至少存在一个,使,f,(,) =,.,证,假设,F,(,x,),=,f,(,x,),x,F,(,a,),=,f,(,a,),a, 0,则,于是由介值定理在,(,a,b,),内至少存在一个,使,f,(,) =,.,77,例,2,设,f,(,x,),g,(,x,),在,a,b,上连续,且,f,(,a,) ,g,(,b,),试证在,(,a,b,),内至少存在一个,使,f,(,) =,g,(,).,证,假设,F,(,x,),=,f,(,x,),g,(,x,),则,F,(,a,),=,f,(,a,),g,(,a,), 0,于是由介值定理在,(,a,b,),内至少存在一个,使,f,(,) =,g,(,).,78,例,3,证明方程,x,5,3,x,2 = 0,在,(1, 2),内至少有一个实根,.,证,令,F,(,x,) =,x,5,3,x,2 ,则,F,(1) =,4 0,所以在,(1, 2),内至少有一个,满足,F,(,) = 0.,79,所以存在,(,a,x,1,x,n,b,),，,使得,证,令,所以,例,4,设,f,(,x,),在,a,b,上连续,且,a,x,1,x,2, ,x,n,b,c,i,(,i,= 1, 2, 3, ,n,),为任意正数,则在,(,a,b,),内至少存在一个,使,80,解,因为,且,所以,得,a,= 1.,极限化为,得,b,=,4.,因此，,a,= 1,，,b,=,4.,四、历年部分竞赛真题、考研真题选讲,81,2,、,极限,分析,本题属基本题型，,直接用无穷小量的等价代换进行计算即可.,解,82,3,、,分析,本题为未定式极限的求解，,利用等价无穷小代换即可.,解,83,4,、,解,因为,而,sin,x,+cos,x,有界，故,84,.,5,、,求极限,解,85,6,极限,分析,重要极限的应用,解,因为,所以原式=,86,7.,计算,解,先求,87,证,因为,而,88,分下列情况讨论数列的单调性，,可得到数列单调有界：,求极限,：,得,A,= 4,(,A,=,3,舍去,).,89,9.,计算,分析,重要极限的应用,解,因为,所以原式=,2011,年决赛试题,90,10.,计算,分析,定积分的定义,解,2011,年决赛试题,91,
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