确定临界荷载的能量法

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,13.3,确定临界荷载的能量法,一、能量法及临界状态的能量特征,临界状态的能量特征,其一,，从,能量守恒原理,出发，有,（应变能增量等于荷载功增量），由此导出铁木辛柯能量法。,其二,，从,势能驻值原理,出发，有总势能,（以原始平衡位置为参考状态），由此导出瑞利里兹能量法。,二、能量守恒原理和铁木辛柯能量法,在位于凹面内,稳定平衡情况,下，其势能,E,P,最小。当,受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将升高，从而势能增加，即,D,E,P,0,在位于凸面上,不稳定平衡情况,下，其势能,E,P,最大。当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时，小球重心将下降，从而势能减小，即,D,E,P,0,在处于平面上,随遇平衡情况,下，其势能,E,P,为常量。使小球偏离原平衡位置，将不会引起势能改变，即,D,E,P,0,弹性中心压杆，若由于某种外因使压杆发生横向弯曲，杆件的应变能将会增加,(,增加了弯曲应变能,),，杆件的荷载势能将会减小,整个体系的势能的增量为,体系处于,随遇平衡状态,时，势能的增量恒等于零,即,D,E,P,0,铁木辛柯能量法,1,、有限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）,用能量法重解上节图,13-6,所示刚性中心压杆的临界荷载。,第一，假设失稳形式，,如图实线所示，位移参数为,q,。,第二，根据临界状态的能量特征,建立临界状态平衡方程,荷载功的增量为,此即,临界状态平衡方程,。这是一个以,q,为未知量的齐次方程。,能量法以下的步骤与静力法完全相同,能量法计算临界荷载，按以下步骤进行：,1),假定失稳形式。,2),根据能量特征,。,3),由位移有非零解的条件，建立稳定方程。,4),解稳定方程，求特征荷载值。,5),由最小特征荷载值，确定临界荷载。,建立临界状态方程（即以能量形式表示的临界状态平衡方程）,【,例,13-4】,试用能量法重解上节例,13-1,图,13-7a,所示具有两个自由度体系的临界荷载。,（,1,）假设失稳形式，如图所示。,根据,建立临界状态能量方程：,荷载功的增量为,又弹性支座的应变能增量为,能量法以下的计算步骤与静力法完全相同,2,、无限自由度体系的稳定（铁木辛柯法）,现以图示弹性中心压杆为例,取压杆直线平衡位置作为参考状态。假设失稳形式，如图实线所示，,y,(,x,),为满足位移边界条件的任一可能位移状态。,取微段,d,x,进行分析，微段两端点竖向位移的差值为,按泰勒级数展开,略去高阶微量，则可改写为,荷载功的增量,临界荷载的计算公式为,1),假设失稳形式,y,(,x,),。,2),计算,y,(,x,),和,3),代入铁木辛柯能量法公式（,13-6,），计算临界荷载,用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载，可采用以下计算步骤：,【,例,13-5】,试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载。,假设变形曲线为二次抛物线,引入边界条件,误差为,21.6%,假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线，即,x,=0,x,=,l,处的几何边界条件,仍能满足,误差仅为,0.13%,假设变形曲线为正弦曲线,同样能满足几何边界条件。变形曲线只含一个位移参数,a,，即作为单自由度体系看待,用静力法所得精确结果完全相同。这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致,第一，用能量法求临界荷载，须,事先假定屈曲时的变形曲线,，得到的是对应的,近似解,。,第二，用能量法求解临界荷载的,关键是,：假定的变形曲线,y,(,x,),必须合适，应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算。为此，所假设的变形曲线最好能同时满足,几何边界条件,（支座处的挠度,D,和转角,q,）与,静力边界条件,（支座处的弯矩,M,和剪力,F,Q,），,至少应使几何边界条件得到满足,；同时，所假设的变形曲线必须便于积分运算。,第三，,用能量法求得的临界荷载都大于精确值,。假设的变形形式与实际变形不一致。相当于在压杆中加入了某些附加约束，提高了压杆的刚度。,通过以上算例，可以指出以下几点：,三、势能驻值原理和瑞利里兹能量法,势能驻值原理,可表述为：在弹性体系的所有几何可能位移状态中，其真实的位移状态使总势能为驻值，即总势能的一阶变分,极大、极小或始终保持不变,由此得到的驻值条件等价于平衡条件,仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性，因为体系的平衡状态有,稳定的,、,不稳定,的和,随遇平衡,三种，要最终判别平衡状态究竟属于哪一种，还必须对总势能作进一步研究。,研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的,二阶变分析,1,、有限自由度体系的稳定（瑞利法）,设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态。假设失稳形式如实线所示，位移参数为,q,。,其总势能为,弹簧的应变能,荷载势能,体系总势能,第一，当,体系处于稳定平衡状态时，其势能必为最小,。因此，体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时，相应体系的总势能,E,P,就由正定过渡到非正定,。,第二，当体系处于,随遇平衡状态,，即如以初始平衡位置作为参考状态，则,必有总势能 恒为,0,2,、无限自由度体系的稳定,(,瑞利,-,李兹法,),图示为一弹性中心压杆。设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态，则对任一几何可能位移，它的总势能为,体系在临界状态时其总势能恒为,0,U,和,D,均与所取体系几何可能位移有关。对弹性杆而言，其几何可能位移可有无限个，因此，满足式的,F,P,值就不止一个,设弹性杆的任一个几何可能位移用,y,(,x,),表示，若只考虑弯曲变形的影响，则有,在求解比较复杂的问题时，上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件，其形状也很难与实际情况完全一致。因此，常采用下面介绍的李兹法，采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线，即,是满足位移边界条件的已知函数，,a,i,是待定的参数，共有,n,个。这样，无限自由度体系被近似地看成具有,n,个自由度的体系。,求,F,P,极小值，其极小条件为,即为临界状态的能量方程,是对于待定系数,n,个线性齐次方程,有非零解的条件是，其系数行列式应为零。于是得稳定方程,n,次代数方程，可求出,n,个根，由其中的最小根可确定临界荷载。,假设失稳形式,计算稳定方程的系数,建立稳定方程,解稳定方程，由方程解中取荷载最小值，作为最接近精确解的临界荷载的近似解,【,例,13-6】,试用瑞利李兹能量法求图示下端固定、上端铰支等截面压杆的临界荷载。,(1),假设失稳形式：设取变形曲线为两项形式：,(2),计算稳定方程的系数,(3),建立稳定方程,(4),解稳定方程，其中最小特征荷载即为所求临界荷载,误差为,3.61%,