高考数学创新题

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,聚焦高考数学创新题,高考数学创新题的特点和导向,湖北省教学研究室 周远方,研究高考数学创新题的意义和价值,高校要选拔具有创新潜质的人才，高考数学就必须重视对学生创新意识的考查，因此，设计创新题是选拔高素质人才的必然要求,.,认真研究创新题的特点，可以揣摩命题教师的设计意图，深刻领会“能力立意”的命题指导思想，准确把握,考试大纲,的要求，对搞好高中数学教学和复习备考是十分有益的,.,特别是一些令人津津乐道的优秀创新题，还可研究其独特的教学功能，既可作为教学的例题、练习题、测试题，更可用作研究性教学的问题加以开发,.,怎样研究高考数学创新题？,研究视角,试题背景,试题设问,试题评价,试题拓展,试题立意,试题解法,研究宗旨,深刻领会能力立意的命题指导思想,研究价值,对中学数学教学具有强力导向作用,考纲对考查创新意识是如何界定的？,对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段分析信息，综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立的思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题,.,创新意识是理性思维的高层次表现,.,对数学问题的“观察、猜测、抽象、概括、证明”，是发现问题和解决问题的重要途径，对数学知识的迁移、组合、融合的程度越高，显示出的创新意识也就越强,.,高考数学创新题是指从测量考生的发展性学力和创造性学力着手，突出能力考查的新颖问题,.,高考数学创新题的命题指向何在？,三是控制难度，,体现“新题不难、难题不怪”的特点,.,一是加强创新意识的考查，有利于实现选拔功能,.,二是深化课改，促进能力立意命题的实践和发展,.,以数学内容为基点，以基本的推理和思维要求为立足点，突出考查学生一般能力的表现，测量学生的学习能力,选材与立意,；,以多元化、多途径、开放式的设问背景，比较客观、全面地测量学生观察、试验、联想、猜测、归纳、类比、推广等思维活动的水平，激发学生探索精神和求异创新思维,背景与设问,；,以源于社会、源于生活的问题考查学生，有效地测量学生抽象、概括以及建立数学模型的能力，促使学生认识世界、把握问题的本质、筹划应对的策略,实际与应用,.,其一是对能力的成分和要求进行了必要的调整,.,其二是在命题实践上进行了新的尝试,.,其三是研究开发新的试题模式和考查方式,.,知识过程,探索型,解题方法,实验操作,立意,定义型,信息型,直观型,推理型,背景,分类往往交叉渗透,高考数学创新题有哪些常见类型？,条件开放,开放型,策略开放,设问,结论开放,条结双开放,展现学习成果,研究型,彰显课改理念,情境,体现数学交流,凸现数学思想,一是立意的鲜明性；,二是背景的深刻性；,三是情境的新颖性；,四是设问的巧妙性,.,高考数学创新题“新”在哪里？,立意是试题的考查目的，即以能力立意为中心，选择适当的考查内容，设计恰当的设问方式，把具有发展能力价值、富有发展潜力、再生性强的知识、方法、能力作为切入点，从测量考生的发展性学力和创造性学力着手突出能力考查,.,一般以基础知识、基本方法和数学思想为载体，其立意的角度很多，如考查基础知识的灵活性应用，考查数学思想方法，考查以数学思维能力为重点的各种能力，考查数学应用意识和探究意识，考查进一步学习高等数学的潜能等,.,一、,立意的鲜明性,立意的鲜明性,多考点想，少考点算,立意的鲜明性,多考点想，少考点算,（,2001,全国卷理科第,12,题）,如图，小圆圈表示网络,的结点，结点之间的连线表示它们有网线,相联,.,连线标注的数字表示该段网线单位时,间内可以通过的最大信息量,.,现从结点,A,向,结点,B,传递信息，信息可以分开沿不同的,路线同时传递,.,则单位时间内传递的最大信,息量为,A.26 B.24 C.20 D.19,二、,背景的深刻性,一是高等数学背景,.,高等数学的基本思想和方法是考查学生进一步学习的良好素材，很难在复习资料和模拟试题中找到，解答往往没有现成的方法可套，会使一些考生感到难以入手，从而使其具有很好的区分度和甄别功能,.,二是新课程改革背景,.,新课标卷突出能力立意命题与时俱进的特点，围绕对数学知识、理性思维、数学应用与创新和数学人文价值等四个方面的考查设计试题，开发了一些融知识、方法、思想、能力与素质于一体的背景新颖、内涵深刻、富有新意的创新题，真正考查出考生的学习潜能和个性品质,.,三是实际生活背景,.,在坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则下，近几年应用题的编拟更加重视语言简洁、准确，背景清新、近人，模型具体、简明，方法熟悉、简便，突出了对数学思想方法和实践能力的考查,.,背景的深刻性,高观点型,背景的深刻性,高观点型,立意要素,：,逆向推理与算法思想,背景的深刻性,实际应用型,试题背景：,“嫦娥一号”的轨道示意图,试题背景：,大纲版教材中相关素材,立意要素,：,选项的几何性质,试题研究,：,椭圆轨道的几何性质,试题研究,：,几何性质的拓展,P,Q,F,2008,年高考数学湖北卷选择题第,10,题考生选项比率分布,科类,答案,选 项 分 布 （,%,）,难度,区分度,A,B,C,D,空,文科,B,6.45,39.13,16.41,37.80,0.21,0.39,0.27,理科,B,3.69,55.74,6.18,34.28,0.11,0.56,0.33,从考生答卷的选项比率分布情况来看，本题非正确选项的选答率虽均属正常，但其中文科选择正确答案,B,的考生只占,39.13,，而误选答案,D,的考生高达,37.80,，两者十分接近；与文科相比，理科有超过半数以上的考生选择了正确答案,B,（占,55.74,），但误选答案,D,的考生仍占有,34.28,.,表明这部分考生对,式与式的识别存在着模棱两可的现象,.,若将原题中式与式的不等号互换一下，,这样两式正确，正确答案变成选,D,，会降低此题的难度,.,试题评价,：,统计数据说明,为了转播,2008,年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为,36000km.,已知地球半径约为,6400km,，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为,km.,（结果中保留反余弦的符号）,（,2009,年湖北卷理科第,13,题）,如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个,卫星的覆盖区域,.,卫星的覆盖区域图,背景的深刻性,实际应用型,【,原材料,】,我国为了转播,2008,北京奥运会,特地发射了电视卫星“中星九号”,它是一个地球同步卫星,定位在赤道上东经,92.2,度处（过东经,92.2,度的子午线大约通过哈密上空）,.,它的脚印（,footprint,）能够覆盖全国吗,?,（,遥望星空（一）、（二）,齐民友著,）,【,题,1,】,我国第一颗人造地球卫星的远地点距地面,2384km,，在这时约有多少千米上的人能看到这颗卫星？,（,立体几何,全一册,P96,习题第,10,题）,【,题,2,】,要使电视卫星的电波，能直射到点球表面的三分之一，卫星要发射到多高？,（,立体几何,全一册,P122,总复习参考题第,7,题）,试题背景：,相关素材,试题评价,：,数学应用与数据说明,题号,满分,最高分,最低分,平均分,难度,区分度,13,5,5,0,1.46,0.29,0.52,三、,情境的新颖性,情境是立意的材料与介质，情境与问题相伴，问题是情境的核心，情境因问题而存在,.,情境的新颖性是创新型试题的一个共同特点,.,情境新颖的试题，对广大考生而言是全新的、公平的，靠“解题套路”、“猜题押题”、“密卷宝典”和“题海战术”是难以奏效的,.,考生应对情境新颖的试题，一般需要具有自主学习的能力，即会搜集、提炼、加工信息，对阅读内容进行概括和理解，看清问题的本质，然后通过分析、演算、归纳、猜想、类比或论证等方法解决新的数学问题,.,情境的新颖性,学习迁移型,情境的新颖性,定义、直观、推理型,四、,设问的巧妙性,设问是试题的呈现形式,.,高考创新题往往通过巧妙设问、精心设置问题，常常暗含着命题教师很深的设计意图，通常是为考生从不同角度、运用不同思维方法求解问题预设了多种解题途径，提供了充分展示能力的空间,.,创新型的解答题，往往采用分步设问（如递进式、并列式、类比式、开放式等），或问与问之间相互独立，彼此并列，互不包含，互不影响，前一问做错，不影响后一问的正确解答；或问与问之间相互衔接、递进排列、拾级而上，使优秀考生能够脱颖而出,.,设问的巧妙性,课改导向型,请设计一个方案，包括：,指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；,用文字和公式写出计算,M,、,N,间的距离的步骤,.,【,例,5,】,（,2009,年海宁卷理科第,17,题）,如图，为了测量两山顶,M,、,N,间的距离，飞机沿水平方向在,A,、,B,两点进行测量，,A,、,B,、,M,、,N,在同一个铅垂平面内，飞机能够测量的数据有俯角和,A,、,B,间的距离,.,一缕陈年老窖深港飘香,闻香和畅饮皆回味悠长,立意的鲜明性,：考查算法思想和实践能力；,背景的实际性,：两个不可到达点的距离测量问题；,选材的文本性,：源于课本，活于课本，高于课本；,设问的开放性,：开放有度，解决方案灵活多样,.,试题评价,：,紧贴课改，彰显理念,问渠哪得清如许，唯有活水源头来,（人教,A,版必修,5,，,1.2,应用举例）,例,2,如图，,A,、,B,两点都在河的对岸（不可到达），请设计一种测量,A,、,B,两点间距离的方法,.,分析：,可计算出河的这一岸的一点,C,到对岸两点的距离，再测出,BCA,的大小，借助余弦定理可计算出,A,、,B,两点间距离,.,问渠哪得清如许，唯有活水源头来,（人教,A,版必修,5,，,1.2,应用举例复习参考题,A,组第,5,题）,如图，从气球,A,上测得正前方的河流的两岸,B,、,C,的俯角分别为,，,如果这时气球的高度是,h,，,求河流的宽度,BC,.,分析：,可计算出,AC,、,AB,和,BAC,的大小，借助余弦定理可计算出河流的宽度,BC,；设过点,A,的垂线与,BC,的延长线交于点,D,，则可算出,BD,和,CD,后，直接求出河流的宽度,BC,.,1,1,2,2,d,【,方案,1】,选择三角形,AMN,.,第一步：由正弦定理分别计算,AM,，,AN,；,第二步：由余弦定理计算,MN,.,【,方案,2】,选择三角形,BMN,.,第一步：由正弦定理分别计算,BM,，,BN,；,第二步：由余弦定理计算,MN,.,【,方案,3】,等积法,.,第一步：利于三角形面积公式分别计算,BM,，,BN,；,第二步：,由余弦定理计算,MN,.,一览庐山真面目，方知身在此山中,1,1,2,2,x,y,【,方案,6】,解析法,.,第一步：建系设点；,第二步：求出点,M,、,N,的坐标；,第三步：由距离公式求出,MN,.,【,方案,4】,构造直角三角形,.,第一步：作辅助线添辅助量；,第二步：由余弦定理计算,MN,.,设问的巧妙性,研究性学习型,值得提到的是，试题语言表述上有所缺陷，与评价标准形成矛盾,.,一是所举的两个例子是并列关系，并没有反映出“价值倾向”；,二是“,有意义,”（客观存在的、有研究价值）的涵义过于宽泛，指向性不够明确，改为“,有价值,”（涵盖价值高低之意）更有利于评价标准的制定，即根据问题提出的优劣、解决问题的难易、研究价值思维层次的高低等进行评价,.,为此，可将原题修改如下：,该题要求考生类比提出问题并解决问题，考核考生提出问题的思维水平和解决问题的策略方法，具有很好地甄别思维水平的功能，是上海对研究型问题考查的一种有益的尝试（五级评价标准）,.,试题研究,：,评价标准与改进建议,设问的巧妙性,研究性学习型,试题开发,：,再编制研究性学习问题,【,说明,】,由于两小题都是完全开放性问题，且没有给出具体评价的角度，因此，学生可从逆向问题的难度、价值大小以及与原问题的关联程度等角度进行评价,.,一是,立足基础、回归课本,着力,凸现新课改理念,改变“重教辅、轻教材”的教学倾向，挖掘教材的创新功能，提高教材的使用效率，突出“一个核心”,.,二是,优化知识的学习过程,有效改进课堂教学,改变“重方法和技巧、轻理解和体验”的做好，关注“两个过程”,.,三是强化数学的理解性学习,倡导为迁移而教,改变,“大容量、快节奏、高密度、超强度”的机械模仿训练，回归数学课堂教学本原意义,的 “三个理解”,.,四是全面培养思维能力,让,创新意识在课堂中流淌,改变,“重题型套路训练，轻创新意识培养”的老路，加大对“考纲”所要求的“五大数学能力”和“两种数学意识”的培养和提升,.,高考数学创新题的导向功能,高考数学创新题的评价问题,二是,PISA,（,Programme,for International Student Assessment,），即学生能力国际评价，是经济合作与发展组织（,OECD,）发展并组织实施的教育成效评价研究项目,.,主要测试,15,岁学生在数学、阅读和科学领域运用知识和技能解决现实问题的能力,.,其中，,PISA,对学生数学素养的六级评价框架是值得我们评价学生的探究性学习能力借鉴的,.,一是,SOLO,（,Structure of the Observed Learning,Outcom,，即“可观察的学习成果结构”）分类评价理论，是香港大学教育心理学教授比格斯（,J.B.Biggs,）倡导的一种学生学业评价方法,.,参见,数学教学,2008.9,和,数学通报,2009.7,只要课堂教学,“,准、实、活,”,，,高考创新就会,“,真、善、美,”,.,我相信，只要我们一起思考、共同研究，高考数学创新题定会像一缕强劲的东风，势必吹皱数学教学的一池春水，像一阵绵绵细雨，必将滋润课改之树植根的沃土,.,以上是我对高考数学创新题考查特点和导向功能的一些浅见和思考，不妥之处，敬请批评指正,.,当然，由于创新型试题的命制还处于摸索阶段，有很多不成熟之处，有很多技术性问题需要进一步探索和实践，特别是在考试实践不够充分，教学实践还没有完全到位，教与考严重脱节的情况下，如何测量与评价学生的创新能力是一个值得深入探讨的问题,.,谢谢大家!,让我们,一起思考，共同研究,！,不当之处，敬请批评指正,.,E-mail,：,zhyf1962,