概率论 二重积分的计算(二)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,3.2,二重积分的计算,二重积分的计算,（一）在直角坐标系中,（,累次积分,）,或,y,x,d,c,X,-,型,Y,-,型,复习,y,x,a,b,例,计算,其中,x,y,o,因此,针对不同形状的积分区域,D,以及被积函数,的特点,选择,不同的坐标系,来计算二重,积分是一个重要的问题,.,3.2,二重积分的计算,解,二、二重积分在极坐标下的计算,极轴,X,极点,O,r,x,y,如果选取以直角坐标系的原点,O,为极点，,以,x,轴为极轴，,原点,O,x,轴,二重积分在极坐标下的计算,用以极点,O,为中心的,一族同心圆,1.,利用极坐标系计算二重积分,设过极点,O,的射线与积分区域,D,的边界曲线的交点,不多于两点，,把区域,D,分成,n,个小区域，,在极坐标系下，,以及从极点,出发的,一族射线,在直角坐标系下,在极坐标系下,极坐标系下的面积微元,则,得,故,面积微元为,这样二重积分在极坐标系下的表达式为,二重积分在极坐标下的计算,直角坐标系下与极坐标系下二重积分的,转换公式,如何计算极坐标系下的二重积分？,化为二次积分或累次积分来计算,二重积分在极坐标系下的表达式为,二重积分在极坐标下的计算,在极坐标系下化二重积分为二次积分或累次积分，,同样要解决下面两个问题：,（,2,）确定积分的上、下限,（,1,）选择积分次序,化为二次积分或累次积分来计算,二重积分在极坐标下的计算,2.,极坐标系下化二重积分为二次积分,(1),若极点,O,在区域,D,之外,则有,(2),极点,O,在区域,D,的边界线上,则有,x,o,x,o,D,D,（,只研究,先对,r,后对,的积分次序）,下面根据极点,O,与区域,D,的位置分三种情况讨论,型区域,(3),若极点,O,在区域,D,的内部,则有,x,o,D,o,特殊地,D,D,:,二重积分在极坐标下的计算,x,或被积函数为,f,(,x,2,+,y,2,),、,利用极坐标计算二重积分积分特征,利用极坐标常能简化计算,.,如果积分区域,D,为,圆,、,半圆,、,圆环,、,扇形域,等,，,等形式，,要点与步骤,:,用直角坐标系计算繁锁或不能计算的可以用极坐标计算,;,(2),画区域图,列出,型区域,写成极坐标下的二次积分,.,二重积分在极坐标下的计算,3.,极坐标下二重积分计算的基本步骤,(1),将直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分,.,将,代入被积函数,将区域,D,的边界曲线换为极坐标系下的表达式，确定相应的,积分限,.,将面积元素,d,x,d,y,换为,.,(2),将极坐标系下的,二重积分,转化为,二次积分,.,(3),计算,二次积分,.,则,例,1,计算,其中,解,故,注,：由于 的原函数不是初等函数,故本题无法用直角坐标计算,.,x,y,o,在极坐标系下,二重积分在极坐标下的计算,x,y,例,2,二重积分在极坐标下的计算,解,例,3,计算积分,积分域是圆环，,x,y,o,解,D,：,二重积分在极坐标下的计算,(,例,3.14),例,4,二重积分在极坐标下的计算,解,例,5,计算二重积分,其中区域,D,为由,x,=0,及,x,2,+,y,2,=2,y,围成的第一象限内的区域,.,解,D,的边界曲线为,x,2,+,y,2,=2,y,，,此时,D,可以表示为,x,y,o,其极坐标表达式,二重积分在极坐标下的计算,解,故,例,6,二重积分在极坐标下的计算,解,因为被积函数为偶函数,例,7,求广义积分,所以，不能直接用一元函数的广义积分计算。,(,泊松积分,例,3.19,）,又因为被积函数 的原函数不是初等函数,二重积分在极坐标下的计算,D,令,利用极坐标计算,H,，,令,利用极坐标计算,H,，,所以,D,正态分布,当积分区域由,直线,和,除圆以外的其它曲线,围成时，,一般说来，当积分区域为,圆形、扇形、环形区域，,选取,适当的坐标系,对计算二重积分的计算是至关重要的,.,而被积函数中含有,项时,选择坐标系,选择积分次序,二重积分计算过程,通常选择在,直角坐标系,下计算,.,下的计算方法往往比较简便,.,二重积分计算方法总结：,化为累次积分,计算累次积分,二重积分可在两种坐标系下计算,.,采用,极坐标系,二重积分在极坐标下的计算,由区域的对称性和,函数的奇偶性可得,o,x,y,D,二重积分在极坐标下的计算,解,例,7,o,x,y,1,1,D,解,二重积分在极坐标下的计算,例,3.173.18,不作要求,例,8,二、二重积分在极坐标系中的计算,一、二重积分在直角坐标系中计算,小结,选择积分次序,选择积分限,化为累次积分,作业：,P153,3.2 12(1)(2) 13(2)(3),下次课内容,3.3,二重积分的应用,二、二重积分在极坐标系下的计算,一、二重积分在直角坐标系下的计算,复习,选择积分次序,选择积分限,化为累次积分,二重积分的计算,（极点,O,在区域,D,的外部）,（极点,O,在区域,D,的边界上）,（,极点,O,在区域,D,的内部）,只研究,先对,r,后对,的积分次序,x,o,D,x,o,D,x,o,D,