小学数学知识讲座空间及图形统计及概率

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,小学数学知识讲座 空间与图形、统计与概率,一、课程标准的要求：,标准将以往的“几何”拓广为“空间与图形“，它加强和削弱了哪些内容呢？,第一：强调内容的现实背景，联系学生的生活经验。以第一学段为例，其内容不仅,包括常见的几何图形，而且还有现实世界的二维、三维图形及其相关问题。,第二：增强了图形的变换，位置的确定，视图等内容。,三个学段的要求如下：,第一学段：感受平移、旋转、对称现象。,第二学段：进一步学习图形的变换。,第三学段：注重联系生活实际学习平移、旋转、对称等图形变换的基本性质，欣赏,并体验变换在现实生活中的广泛应用。,第三：加强几何建模以及探究过程，强调几何直觉，培养空间观念。,标准注重学生经历从实际背景中抽象出数学模型，从现实的生活空间中抽象出,几何图形的过程，注重探究图形性质及其变化规律的过程。比如，在第一、第二学,段中注重引导学生通过观察、操作、有条理地思考和推理，交流等活动，从多种角,度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的几何直觉和空间观念；第,三阶段继续通过观察、操作、图形变换、展开与折叠、图案欣赏与设计等各种形式,的活动引导学生借助图形直观，通过归纳、类比等方式探究图形的性质，进一步认,识图形及其性质，丰富集合的活动经验和良好体验，发展空间观念。,第一二学段，削弱了单纯的平面图形周长、面积、体积等计算，这是因为这两个学,段是发展学生空间观念的良机，而单纯的几何计算并不能有效地发展学生的空间观,念，因而标准把这类计算融入几何直观和反应空间观念的问题之中。第三学段,削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明,减少定理的数量.,统计与概率,一、强调与注意的方面:,标准将统计与概率作为义务教育阶段数学课程的四个学习领域之一,主要有两个原因:,现代社会要求每一合格公民必须具备一定的收集、描述、分析数据的能力，这种能力要从小培养。,随机现象是这部分内容的一个重要研究对象，从随机现象中去寻找规律，这对学生来说是一种全新的观念。不仅给以后的学习带来方便，而且能使学生所学的数学更加贴近现实。,二、各学段实施时要注意的问题,第二部分 有关空间与图形基础知识 一、线、角和距离1.直线、线段、射线,名称,图形,意 义,区 别,联 系,直,线,不定义，应理解为是直的线，无头无尾,每条直线都可向两边无限延伸；不能量出其长,它们都是直的；射线、线段都是直线的一部分；线段也可以看成是射线的一部分,线,段,直线上两点间的一段。这两点称为线段的端点,线段不能向两端无限延长；有两个端点；可以量出其长度,射,线,直线上一点一旁的部分。这一点 称为射线的端点。射线向一端无限延伸,射线可以向一个端点无限延长，有一个端点；不能量出其长度,角的概 念,从一点引出两条射线，就组成一个角。点叫角的顶点，两条射线叫角的边。角的大小取决于两条边叉开的大小，与边的长短没有关系。,量角器量角,先把量角器的圆心与角的顶点重合，再把量角器的0度线与角的一边重合，看角的另一边落在量角器的哪一条刻度线上，读出读数,角的类型,图 形,意 义,度 数,直 角,90度的角,n=90度,锐 角,小于90度的角,0度n90度,钝 角,大于90度小于180度的角,90度n180度,平 角,角的两边成一条直线的角,n=180度,周 角,一条射线绕它的端点旋转一周所成的角,n=360度,位 置 关 系,图 形,意 义,性 质,垂 直,两条直线相交成直角时，叫做两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线。交点叫垂足,两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，那么其他三个角也是直角,平 行,在同一平面内两条不相交的直线叫平行线,平行线不论画多长都不会相交,4 . 距 离,名 称,图 形,意 义,性 质,两点间的距离,连接两点的线段的长叫这两点间的距离,连接两点的线中，线段最短,点到直线的距离,从直线外一点向这条直线画垂线，这点到垂足间的线段长叫点到直线的距离,从直线外一点，分别向这条直线画垂线和斜线段，垂线段最短,两条平行直线的距离,平行线间的垂直线段的长，叫做这两条平行线间的距离,平行线间的距离处处相等,平面图形,三角形的分类,分类方式,类 型,按角分,锐角三角形,三个角都为锐角,直角三角形,有一个角为直角,钝角三角形,有一个角为钝角,按边分,不等边三角形,三条边都不相等,等腰三角形,只有两条边相等,等边三角形,三条边都相等,一般,四边形,两边对边分别平行 有一个角是直角,长方形,邻边相等,正方形,只有一组对边平行,两腰相等,一角为直角,3.几种简单平面图形的特征、周长和面积,定义,周长：平面图形各边长的总和；,面积：平面图形的大小,名称,图形,特征,周长C和面积S,正方形,四条边都相等四个角都是直角,C=4a,S=aa,长方形,两对边相等四个角都是直角,C=2（a+b）,S=ab,平行四边形,两组对边分别平行而且相等,S=ah,菱形,四条边相等两条对角线互相垂直,S=ah2,名称,图形,特征,周长C和面积S,三角形,a-底,h-高,三条边和三个角内角和为180度任意两边的和大于第三边,S=ah2,梯形,a-上底b-下底,h-高 m-中位线,只有一组对边平行,S=（a+b）h2,=mh,圆,同圆中所有半径和直径都相等，直径是半径的2倍,C=2r=d,S=r,扇形,三、简单几何体,名称,表面展开图及说明,长方形表面展开图中，前面和后面、上面和下面、左面和右面面积相等,正方体的六个面是全等的正方形,圆柱的侧面展开图为长方形，长是圆柱底面圆的周长，宽是圆柱的高,圆锥的侧面展开图为一扇形，扇形的半径为圆锥的母线，扇形的弧长为圆锥的底面圆的周长,2.简单几何体的特征、表面积与体积,定义,表面积：物体表面各个面的总面积；,体积：物体所占空间的大小叫体积,容积：容器所能容纳物体的体积叫容积,名称,图形,特 征,表（侧）面积S,体积V,长方形,6个面都是长方形、相对的两个面面积相等；12条棱，相对棱长相等；8个顶点,S=2（ab+ah+bh）,V=abh,正方形,6个面都是相等的正方形；12条棱长相等，8个顶点,S=aa6,V=aaa,圆柱,上下两个面叫底面是相等的两圆，两底面的距离叫高,S =ch,V=sh,圆锥,圆锥的底面是圆从顶点到底面圆心的距离叫高,V=sh3,四、图形位置与变换,位置,相对位置包括上、下、左右、前后。通常我们把从正面（前面）、右面、上面三个方位看到的物体的图形画成平面图，叫这个物体的三视图，并且把三个不同位置的图分别叫主、侧和俯视图,方向,东、南、西、北、东北、西北、东南、西南。,地图方向为上北、下南、左西右东。,西北,东北,东南,西南,2.图形变换,名称,意 义,生活实例,平移,平面内将图形沿某个方向移动一定距离的图形运动叫平移。它只是位置发生了变化其大小和形状没变，平移后的位置由平移的方向和距离确定,电梯上下移动,旋转,平面内将图形绕一定点按某个方向转动一个角度的图形运动叫旋转。定点叫旋转中心，转动的角叫旋转角。旋转后物体的方向发生改变，形状和大小不变。旋转由旋转的中心、方向和角度确定。,钟摆的运动；方向盘的转动,对称,对称图形沿着一条直线（对称轴）对折后，直线两旁的部分能够重合,蝴蝶的形状；对称的剪纸图案,缩放,按一定比例放大或缩小，缩放以后的图形与原图形相似,绘制地图,3.平面对称图形,对称图形,等腰三角形,等边三角形,长方形,菱形,等腰梯形,正方形,圆,对称轴,1条,3条,2条,2条,1条,4条,无数条,第三部分 统计与概率一、统计表1.统计表的意义 和结构2.单式统计表和复式统计表3.统计表的制作步骤二、统计图1.统计图的意义及类型2.统计图的特征3.统计图的 制作步骤,三、统计特征量,名称,意 义,举 例,平均数,一般是算术平均数,求几个数的 平均数就是用这几个数的和除以这些数的个数,中位数,把一组数按其大小次序排序,以排在正中间位置上的那一个数叫这组的中位数当数的个数为技术时,取正中间的一个为中位数；当为偶数时，取正中间的两个数，它们的平均数就是中位数,一次考试，6名同学的成绩从高到低依次为：54，58，63，67，72，97，这组数的中位数是（63+67）2,众数,在一组数据中，出现次数最多的数叫这组数的众数。,一个单位16名职工的月工资如下：,月工资：600 800 1000,1人 2人 6人,1200 1500,4人 3人众数为1000,比较,平均数较稳定可靠，波动性比中位数小，但计算较繁，受极端数据影响较大；中位数可靠性较小，但不受极端数据影响，计算简便，众数作代表数的可靠性也较小，但计算简便，不受极端数据影响，在需找出频繁出现的数时常用众数,四、事件与可能性1.事件,事件分类,意 义,举例,确定性,事件,必然事件,在一定条件下必然要发生的事件,从装有10个红球的袋中摸到一个红球,不可能事件,在一定条件下不可能发生的事件,在正常气压下，水加热到80度会沸腾,不确定性事件,在一定的条件下可能发生，也可能不发生的事件叫不确定事件（或偶然事件）,下周三本地下雨,2.简单事件发生的可能性,意义,不确定事件是否发生虽然不能事先确定，但它的发生是有规律可循的，事件发生的可能性是有大小,可能性的大小,实验统计,如对一批油菜籽进行统计，结果发芽率为90%，即说明一粒油菜籽这个事件发生的可能性为90%,分析计算,对于一些简单事件也可以通过一次试验中可能出现的结果分析来计算可能性：先考虑一共有几种情况，再考虑要求的事件有几种，两者相除，就得到了出现每种情况的可能性。如：一个正方体的六个面上分别有数字1，2，3，4，5，6，掷一次每一个数字出现的可能性相同，因此出现6的可能性为1/6,三、考点范围：1.几何基础； 数学的主要研究对象有两个：一个是数，另一个是形；小学阶段以研究图形的大小，其中尤其以研究平面图形的面积，立体图形的表面积和体积为主要任务，但对几何基础知识也必须有一定的认识和了解；其中包括直线、射线、线段的认识；三角形的认识，三角形内角和以及四边形的内角和；特殊三角形（直角、等腰、等腰直角三角形）的认识几何图形周长的意义及计算等。 这一部分内容的基础知识，主要在于对一些基本概念的准确理解和掌握，要善于将复杂问题化整为零，分解为一个个的基本问题或起变式，利用基础知识加以解决。,例1:如图在直线上有A、B、C、D四个点，图中有几条直线？几条射线？几条线段？ 分析：一条直线上如果有两点在另一条直线上，那么这两条直线是同一条直线，直线是可以向两边无限延长的，它无端点。如果两条射线的端点相同，而方向不同，这两条射线是不同的；如果两条射线的方向相同，但端点不同，这两条射线也是不同的。只有端点相同并且方向也相同的射线，才识同一条射线。 如果两条线段的端点相同，那么这两条线段是同一线段，如果两条线段有一个端点不同，这两条线段也是不同线段。所以图中有一条直线即直线AD有8条射线，即以A、B、C、D每个点为端点，分别向左右个有两条射线，图中线段共有6条：AB、BC、CD、AC、BD、AD。,A B C D,1.求下面平行四边形ABCD的周长 （单位：CM）2.如下图,已知角1=15度,角2=35度，求角3的大小3.一个大圆内有三个大小不等的小圆如图，这些小圆的圆心在大圆的 同 一条直径上，它们之间都相切，大圆的周长是10 求这三个小圆的周长。4.有7根直径都是2分米的圆柱形木棒，想用一根绳子把它们捆成一捆，最短需要多少米的绳子？（打结的长不计）,9,6,4,1,2,3,5.如图，B、C、D依次是线段AE上三点，若AE=15，BD=6，求图中以A、B、C、D、E这5个点为端点的所有线段长度的和 分析：计算线段的条数要做到不重不漏，在图中共有10条线段，为了求出这10条的长就要把这些线段都用AE、BD表示出来,2.基本的面积计算面积计算是小学几何知识的重要内容，而利用面积公式计算又是面积计算的基础。直接利用面积公式计算面积一般是比较简单的问题，只需要熟悉一些基本的面积公式和它们所适用的各种常规图形能就可以了，这是考查的一部分内容。 例1：一个直角三角形的一个锐角为45度，最长的边长是14求这个三角形 的面积。分析:过C点作CD的AB高,那么CD=AD=AB1/2所以三角形的面积=CDAB2 练习：1.如下图，求四边形ABCD的面积是多少？,2.把一个正方形的一边减少20%，相邻的一边增加2，得到一个长方形，这个长方形与原来的正方形面积相等，求原正方形的面积。3.如图，直角三角形ABC内有 一个正方形BDEF，AB=3，BC=4，AC=5，EG垂直于EG，且EG=0.3，求正方形BDEF的面积,3、等积变换当两个图形的面积相等时，如果知道一个图形的面积，那么与之面积相等的图形的面积当然也就知道了，这就是等积变换。这一方法的基本出发点，包括以下几类常用的等积图形。1.等底等高的两个三角形（或平行四边形、长方形等）的面积相等。2.如果两个具有同一公共顶点的三角形满足该顶点所对的边在同一直线上且长度相等，那么这两个三角形的面积相等3.如果一个三角形的某一边被一边分成n等份那么顺次连接这些等份点与该边所对应顶点的几个三角形面积相等4.平行四边形（或长方形、正方形）的对角线将其图形分成两个等面积的三角形5.夹在两条平行直线间的两个三角形（或两个平行四边形）的饿底边相等，那么这两个三角形（或平行四边形）的面积相等基本方法：1.将待求图形分割成几个部分分别寻找与已知图形间的等积关系2.待求图形与已知图形间无直接关系而需通过其他图形过度，有时还需多次过度3.图形没有等积形，适当添加辅助线后出现等积形，再用以上方法求积例1：如下图在梯形ABCD中对角线 AC与BD相交于E，且CE=2AE，若梯形ABCD的面积为540平方米，求三角形ABE面积 分析：要求三角形ABE的面积，就必须找出它与梯形的关系，从而就要找出三角形AEF，DEC，BCE与ABE的关系。练习(1)：已知下图中平行四边形的底AB是15，高7，M是AB的中点，求阴影的面积？,（2）如下图，已知小正方形的边长为3，大正方形的边长适当，求三角形面积。,4、分数法求面积 在分数应用题中，我们利用某个单位“1”的分率与对应量来求出这个单位“1”，借用了这一思路，在几何图形中可利用对应量与对应分率的关系求出作为单位“1”的图形的面积，这是利用分数应用题的解题思路解决图形的求积问题的一种思路。 基本方法：1、当两个三角形的高相等时，它们的面积比等于底边之比，由此 得出两图形的面积比。 2、两个平行四边形（包括长、正方形）的底边相等时，它们的面 积比等于高的比。 利用以上的基本关系以及比例和分数的运算求出已知图形占待求图形面积的比例关系或分数关系，从而借助分数应用题中对应量除以对应分率的方法求出图形的面积。 例1：如图，大，小圆重叠部分的面积是大圆的1/8，是小圆的1/6，求大圆与小圆面积的比是多少？ 分析：,练习：1.平行四边形ABCD的面积为120，F为BC的中点，四边形EFGH的面积为9，求三块阴影的面积之和。 2.已知正方形的ABCD的边长为4，AE=2/5AB，G是 DE与AC的交点求三角形GCD的面积。,5、应用面积比解应用题:在应用面积比解应用题时首先要掌握以下基本原理:1、等底等高的三角形或平行四边形面积相等。2、如果两个长方形的长或宽相等。那么它们面积之比等于它们的宽或长之比。3、如果两个三角形或平行四边形的底或高相等，那么它们的面积比等于它们的高或底的比。 例1：如下图每个四边形是平行四边形,其中三个平行四边形面积分别是10，15，24，那 么 阴影的面积是多少？ 分析：因为面积为10与面积为24的两个平行四边形的底相等，那么它们高的比就是面积的比，所以阴影的面积与面积 为15的也是12：5例2：如下图，已知平行四边形的面积为7.2平方厘米.E为BC中点,图中阴影部分的面积是多少? 分析:因为SADE:SCDE=S阴: SOEC 又因为SADE:SCDE=2 所以S阴=7.21/42/3=1.2厘米.,24,10,15,练习：1.如下图，正方形ABCD的面积为120平方厘米 ，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是多少？,6.分割法求面积： 图形的面积计算常会遇到一些不规则的图形，称为组合图形。这些图形的面积没有现成的公式直接去计算，但通过观察发现它们可以分割成几个部分，这些部分均为规则图形，又可以直接运用面积公式进行计算。例1；如下图，两个正方形的边长分别为1和2，求图中阴影的面积。分析：连BG，把阴影的面积分成两个三角形就可以求得。练习：1.已知长方形长与宽的比是3：2，AC为长边的1/3，D为宽的中点，三角形ABC的面积为28，求四边形BCDF面积。 2. 如图，角1=15度，圆周长为75.36，平行四边形的面积是144，求阴影的面积。,7.割补法求面积：区别分割法，它是在分割组合图形的基础上，再将分割后的部分加以拼接以构成基本的规则图形，需要学生有一定的观察能力，是较难的饿一种方法。基本方法： 例1：如图，边长为4的正方形由三个长方形合并而成，中间一个长方形的宽是2，求三块阴影的面积？分析：把这三块阴影拼成一个三角形ABC练习：1.三个圆的周长都是25.12，图中阴影部分的面积是多少？ 2.如图，把长方形ABCD 绕顶点A向右旋转90度，求CD边扫过的阴影部分的面积。,8.重叠法求面积：重叠法是一种较为特殊的饿方法，其方法如下：如图，A，B为两圆，它们的公共部分即A，B的重叠部分，记为AB，那么由A，B所盖部分的面积为S=S + S - S 是一种特殊的方法，叫重叠法。,A与B,例1：如图是由6个相等的圆连环组成，每相邻两个圆重叠部分的面积是17/6，占每个圆面积的1/6，求这个图形的总面积。分析：先求每个圆的面积 ，再求总面积=6S-5S练习:如图，两个半径相等的圆A与圆B相交,三角形BCD是等腰直角三角形，面积是60，ABCD是平行四边形，求阴影的面积。,阴影,9、立体图形的表面积:考点要求: 立体图形表面积各部分的面积之和称为立体图形的表面积.这一类问题是培养或考察学生对空间图形的想象能力,要求能准确分辨出一个画在平面上的 空间图形或一个文字描述的空间图形的具体情况,并能分辨出各个表面的具体图形,从而计算出其表面积。 例1：一个正方体的木块。表面积为96平方厘米，如果把它锯成体积相等的8个小正方体的木块，那么每个小正方体木块的表面积是多少？分析：每个正方体的每个面为：966=16平方厘米 由于四个小正方体的小面恰好拼成大正方体的一个大面，所以每个小面为：164=4平方厘米 故每个小正方体的表面积为：64=24平方厘米例2：有1000个体积为平方厘米的小立方体合在一起成为一个边长为10平方厘米的大立方体，表面积涂油漆后再分为原来的小立方体，这些小立方体中至少有一面被油漆涂过的数目是多少？分析：大正方体的表面积被涂油漆后。得到的小正方体可以分为四类：1、一面涂过的；2、两面涂过的；3、三面涂过的；4、六面无油漆。完全没有被涂过的小立方体，都在中间888的立方体中，所以至少一面涂油漆有：1000-888=488个,10、立体图形的体积：考点指要： 立体图形的体积计算存在着规则图形和不规则图形的计算。 对于不规则的图形的体积计算应用分割、拼接、割补等于平面图形面积相类似的方法。例1：求下面图形的体积分析：运用补形法，将两个同样大小的几何体截几对接粘在一起形成一个圆柱，这么其体积为圆柱体积的一半。 例2：一个长方体木块长为30厘米，宽为20厘米，高为25厘米，先在这个木块上截一个尽量大的正方体，在用剩下的木块截出一个体积尽量大的圆柱体，这个圆柱体的体积是多少？ 分析：先切最大的正方体边长为20厘米，剩下的部分只能是：底面直径为20厘米，高为10厘米，体积为（20/2）（20/20）3.1410=3140立方厘米。,例3：唐老鸭用一个圆锥体容器装满了2000克油，米老鼠趁唐老鸭不在，在容器的正中间咬了一个洞，然后开始偷油，一直偷到油面与小洞平齐为止。如下图，问：米老鼠共偷油多少克？ 分析：小圆锥表示剩下的油，大圆锥表示原来的油。 大小圆锥的体积比即可。,统计与概率的考点范围:1.会求一些简单事件发生的可能性2.能设计一个方案，符合指定的要求3.能把统计与概率同所学的数学知识结合运用基本方法：求概率的这类问题往往借助枚举和其他计数原理进行分类、计数，然后根据总数，求出概率。例1：从一只装有5个红球、5个黑球的袋子里摸出一个球，这10个球除了颜色外完全相同，摸到红球的可能性是多少？例2：要在一只口袋中装入若干个形状与大小完全相同的球，使得从袋中摸到一个红球的可能性为1/5可以怎样放球？例3：小红和小明参加一种有奖游戏，每人中奖可能性为50%，求两人中至少一人中奖的可能性为百分之几？ 分析：用枚举方法知道可能出现四种情况，其中有三种是至少一人中奖的所以中奖的可能性是75%,练习：1.小华有双式样相同的袜子，其中两双为兰色，两双为白色。这8双袜子散放在一起，小华不看而取，一次取一次， 小华必须去几次，才能保证取得同样颜色的一双袜子？ 他连取两次，这时取得一双兰色袜子的可能性是多少？ 2.有一种防空导弹每枚击中敌机的可能性为80%，现要求组成确保命中率 超过95%的战斗小组，问：每个小组每次必须同时发射几枚这样的导弹？ 3.甲乙两人进行围棋比赛，规定：采用7局4胜制（既谁先胜四局就算获胜），现在前三盘统计如下：甲胜第一和第二盘，乙胜第三盘，照这样下去请算出本次比赛甲乙获胜的可能性各为百分之几？,例4：小华9点从A地步行出发，途中经过C地，在A地与B地之间往返（如下图所示）返回的速度是去时速度的2倍，在B地停留了30分钟，那么到达B地时是几时几分？小华在返回的途中，11点通过的地点距离A地3000米，那么返回时每分钟行多少米？分析: 从图知:去时9点50分路过c地返回时10点50分路过c地，这之间有60分钟其中30分钟在B地停留，又返回时间是去时的一半 所以去时时间从C地到B地用：30 （2+1） 2=20 那么到B地是10时10分 去时共用70分，从B地返回到A共用35分 从A地出发到返回A地共用135分，即返回 A地时刻是11时15分，由于返回时11 点离A地还有3000米，所以速度是200米,时刻,点,点分,点分,练习：下图表示从A站到B站的特快车和普通车时间与距离的关系。普通车出发7分钟后，特快车从A站出发追上了停在途中的普通车后，继续行驶到B地。特快车从A站出发经过多长时间到达B站？另外，普通车在特快车到达B站后的5分钟也随之到达，那么普通车在途中停车多少分钟？,特快车,普通车,13,18,42,（千米）,