5 内积空间与希尔伯特空间(讲稿)

机动 目录 上页 下页 返回 结束,第,34,页,第五章 内积空间与希尔伯特,空间,内积空间与,希尔伯特空间,内积空间,+,完备性,希尔伯特空间,欧氏空间,线性空间,+,内积,内积,空间,元素的长度（范数）,两向量夹角与正交,内积空间特点,：,1,内积与内积空间,一、内积空间与希尔伯特空间的概念,定义,1,设,H,是数域,K,上的线性空间,，定义函数,:,H,H,K,使得：对,x,y,z,H,K,满足,则称,为数域,K,中,x,与,y,的内积,而称定义了内积的空间,H,为内积空间。,注,：,1),当数域,K,为实数域时，称,H,为实的内积空间；,当数域,K,为复数域,C,时，则称,H,为复的内积空间。,2,由内积诱导的范数及由内积诱导的距离,定义,2 (1),范数,称为由内积诱导的范数。,(2),距离函数,称为由内积诱导的距离。,(2),内积与由内积诱导的范数的等式关系：,(3),由内积诱导的范数满足范数公理,内积空间按照由内积导出的范数,是线性赋范空间。但反之不然,注,:,(1),内积与由内积诱导的范数的三角不等式关系,许瓦兹不等式,3,线性赋范空间成为内积空间（范数是由内积导出的范数）的充分必要条件,定理,1,线性赋范空间,X,是内积空间,x,yX,有,|,x+y,|,2,+ |,x,-,y,|,2,=2|,x,|,2,+ 2|,y,|,2,(,平行四边形公式或中线公式,),定义,3,设,H,是内积空间，若,H,按照由内积诱导的范数成为,Banach,空间，则称,H,是希尔伯特空间。,4,希尔伯特空间,例,1,n,维欧氏空间,R,n,按照内积,是内积空间。,R,n,中由内积导出的距离为,R,n,按照由内积导出的范数,因而是,Hilbert,空间。,是,Banach,空间，,l,2,按照由内积导出的范数,是,Banach,空间，因而是,Hilbert,空间。,l,2,中由内积导出的距离为,例,2,l,2,空间按照内积,是内积空间。,(,许瓦兹不等式,),例,3,L,2,a,b,空间按照内积,是内积空间。,L,2,a,b,按照由内积导出的范数,是,Banach,空间，因而是,Hilbert,空间。,L,2,a,b,中由内积导出的距离为,C,a,b,中范数不满足平行四边形公式，,例,4,C,a,b,按照范数,是线性赋范空间，,但,C,a,b,不是内积空间,.,证 取,x,=,1,y,=(,t-a,)/(,b-a,),C,a,b,|,x,|=,1, |,y,|=,1,|,x+y,|=,max,|,1,+(,t-a,)/(,b-a,)|=,2, |,x-y,|=,max,|,1,-(,t-a,)/(,b-a,)|=,1,|,x+y,|,2,+|,x-y,|,2,=54=2(|,x,|,2,+|,y,|,2,),因而不是由内积导出的范数,C,a,b,不是内积空间,5,内积空间中的极限,证,x,n,x,|,x,n,-x,| ,0,y,n,y,|,y,n,-y,| ,0,|,-, |,-,| +|,-,|,|,x,n,-x,| |,y,n,| + |,x,|,|,y,n,-y,|,0,(,n,),定义,4,（极限）设,X,是内积空间，,x,n,X,x,X,及,y,X,定理,2,设,H,是希尔伯特空间，则,H,中的内积,是,x,y,的连续函数,即,x,n,、,y,n,H,x, y,H,若,x,n,x,y,n,y,则,.,注,：距离函数、范数、内积都是连续函数,（线性运算对内积的连续性）,6,内积空间的完备化,定义,5,(,内积空间的同构,),设,X,Y,是同一数域,K,上的内积空间，若存在映射,T: X,Y,保持线性运算和内积不变,即,x,y,X, ,K,有,(1),T,(,x+y,)=,Tx+Ty, (2) =,则称内积空间,X,与,Y,同构,而称,T,为内积空间,X,到,Y,的同构映射。,定理,3,设,X,是内积空间，则必存在一个,Hilbert,空间,H,，使,X,与,H,的稠密子空间同构，而且在同构意义下，满足上述条件的,Hilbert,空间是唯一的。,二、内积空间中的正交分解与投影定理,在解析几何中，有向量正交和向量投影的概念，而且两个向量正交的充分必要条件是它们的内积等于,0,，而向量,x,在空间中坐标平面上的正交投影向量,x,0,是将向量的起点移到坐标原点，过向量的终点做平面的垂线所得的垂足与原点之间的有向线段而得到的。且有,x=x,0,+x,1,其中,x,1,该坐标平面。这时称,x=x,0,+x,1,为,x,关于做表面的正交分解。,下面将把正交分解和正交投影的概念与推广到一般的内积空间中。其中的投影定理是一个理论和应用上都极其重要的定理，利用投影定理可以将内积空间分解成两个字空间的正交和。这是内积看所特有的性质，这个定理在一般的巴拿赫空间中并不成立（因为巴拿赫空间中没有正交性的概念）。在实际应用中，投影定理还常被用来判定最佳逼近的存在性和唯一性。,x,0,x,1,x,1,正交的概念,定义,5,(,正交,),设,H,是内积空间,x,y,H,M,N,H,.,(1),x,y, ,=0,;,(2),x,M,y,M,都有, =,0,;,(3),M,N,xM,，,yN,都有,=0,.,定理,4,(,勾股定理,),设,H,是内积空间,若,x,y,H,且,x,y,则,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,注,:,1,）,在一般的内积空间中，若,x,y,，,则有,勾股定理,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,成立，但反之不然。,事实上，,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,+2,Re,(,x,y,),2）,在实内积空间中，,x,y,|,x+y,|,2,=|,x,|,2,+|,y,|,2,，,即,勾股定理,成立,定义,6,(,正交补,),设,H,是内积空间,M,H,称集合,M,=,x,|,x,y, ,y,M,为,M,在,H,中的正交补。,注,：正交补的性质：,是,H,的闭线性子空间，即,H,的,完备子空间,.,事实上，,x, y,M,及,z,M,有,=,0,=0,=,+, =,0,M,M,为,H,线性子空间,x,n,L,x,n,x,z,M,=,lim,=,0,x,M,M,为,H,的闭子空间,定义,10,(,正交分解与正交投影,),设,H,是内积空间，,M,H,是线性子空间，,x,H,如果存在,x,0,M, x,1,M,使得,x = x,0,+x,1,（1）,则称,x,0,为,x,在,M,上的正交投影，而称,(,1,),式为,x,关于,M,的,正交分解,。,2,正交分解与正交投影,定理,14,(,投影定理,),设,M,是希尔伯特空间,H,的闭线性子空间,则对,x,H,在,M,中存在唯一的正交投影,x,0,使得,x,=,x,0,+,x,1,(,其中,x,1,M,).,y,n,M,使得,|,y,n,-x,|,d,(,n,),(,下确界定义,),证,x,H,令,x,到,M,的距离,M,是,H,的线性子空间,y,m,y,n,M,有,0,|,y,m,-y,n,|,2,= |(,y,m,-x,)+(,x-y,n,)|,2,= |(,y,m,-x,)+(,x-y,n,)|,2,+|(,y,m,-x,)-(,x-y,n,)|,2,-|(,y,m,-x,)-(,x-y,n,)|,2,= 2|,y,m,-x,|,2,+2|,x-y,n,|,2,-|(,y,m,+,y,n,)-2,x,|,2,(,平行四边形公式,), 2|,y,m,-x,|,2,+2|,x-y,n,|,2,-4,d,2,0 (,m,n,),2),证明,x,n,在,M,中收敛,1),证明,y,n,是基本列,M,是,Hilbert,空间的闭线性子空间,M,是完备的,x,0,M,使,y,n,x,0,|,y,n,-x,|,x,0,-,x,|,(,n,),x,n,是基本列,3),证明,x,0,是,x,在,M,中的正交投影,记,x,1,=,x-x,0, ,z,M,z, ,C,x,0,+,z,M,特取,4),证明,x,0,是唯一的，从而上述正交分解式也是唯一的,设 是,x,在,M,上的两个正交投影，则,注,：,1),由定理的证明过程易知,只要,M,是,H,的完备子空间,而,H,本身不完备,定理结论也成立,.,从而上述正交分解式也唯一,.,2),设,e,n,是内积空间,H,的标准正交系,x,H, ,c,k,=,则,即对任何数组,1,2,n,有,是,x,在内积空间,H,上的正交投影,2,正交投影的应用,最佳逼近问题,(1),最佳逼近问题的一般提法,:,设,H,是,Hilbert,空间,x, x,1, x,2, , x,n,H,要求寻找出,n,个数,1,2,n,使得,即要求出,使得,|,x-x,0,|,最小。,(2),最佳逼近问题的几何解释：,记,M,=span,x,1,x,2, ,x,n,H,则,表示,x,到,M,上某点的距离,表示,x,到,M,的最短距离,表示,x,在,M,上的正交投影,最佳逼近问题实际上就是求正交投影的问题,(2),最佳逼近问题的求解步骤：,设,x,n,M,线性无关，记,M,=span,x,1,x,2, ,x,n,H,唯一的,x,0,:,使得,|,x-x,0,|=,inf,|,x-y,|,且对,y,M,有,=0, =,0,(,x,k,M,k =,1,2,n,),= (,x,k,M,k =,1,2,n,),M,是,H,的闭线性子空间,三、内积空间中的正交系与傅立叶级数,1,正交系的概念,在解析几何中，向量,i, j, k,起着坐标架的作用,他们两两正交,R,3,中一切向量,x,都能由他们线性表示：,x=x,1,i+x,2,j+x,3,k,。这是解析几何的基础。,R,3,中的向量正交概念 一般内积空间中的向量正交概念,定义,7,(,正交集与标准正交系,),设,H,是内积空间,M,H,(1),如果对,x,y,M, xy,都有,=,0,，,则称,M,是,H,中的正交系。,(2),设,e,n,H,若,则称,e,n,是,H,中的标准正交系。,2,正交的性质,例如,(,1),i, j, k,是,R,3,中的标准正交系。,是,L,2,-,中的标准正交系。,(3),e,1,=(,1,0,0,0,0,),e,2,=(,0,1,0,0,0,),e,n,=(,0,0,0,1,0,),定理,4,(,勾股定理,的推广,),设,H,是内积空间，若,x,1,x,2,.,x,n,H,是正交系,，则,|,x,1,+,x,2,+,x,n,|,2,=|,x,1,|,2,+ |,x,2,|,2,+|,x,n,|,2,(2),是,l,2,中的标准正交系。,定理,7,设,H,是内积空间，若,M,=,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正交系,则,e,1,e,2,e,n,是线性独立系，即,e,1,e,2,.,e,n,中的任何有限组是线性无关的。,证,n,令,1,e,1,+,n,e,n,=,0, =,0,j, =,j,=,0,e,1,e,n,线性无关,e,1,e,n,是线性独立系。,定理,8,(,Gram-Schmidt,正交化定理,),设,H,是内积空间,x,1,x,2,.,x,n,H,是,H,中任一个线性独立系,则可将其进行标准正交化，得到一个标准正交系。,定理,8,设,H,是内积空间，,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正交系，,记,M,n,=span,e,1,e,n,.,即为,x,在,M,n,上的正交投影。,(2),若,则,（最佳逼近定理）,(3),(1),若,则,y,M,n,x,n,-y,M,n,x-x,n,x,n,-y,证,(1) = =,i, =,i,(2),显然,x,n,=,e,1,+,e,n,M,n,= =,(,i,=,1,2,n,),x-x,n,M,n,x-x,n,e,1,e,n,两两正交,且,x-x,n,x,n,.,=,0,(,i=,1,2,n,).,|,x,n,|,2,=|,e,1,+,e,n,|,2,=|,e,1,|,2,+|,e,n,|,2,=|,2,+|,2,|,x,|,2,=|(,x-x,n,)+,x,n,|,2,=|,x-x,n,|,2,+|,x,n,|,2,|,x-x,n,|,2,= |,x,|,2,- |,x,n,|,2,|,x-y,|,2,=|(,x-x,n,)+(,x,n,-y,) |,2,=|,x-x,n,|,2,+|,x,n,-y,|,2,|,x-x,n,|,2,定理,9,(,贝塞尔,(,Bessel,),不等式,),设,H,是内积空间,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正交系，则,x,H,有,证,由定理,8,有,x,n,=,e,1,+,e,n,x,H,|,x,|,2,=|,x,-,x,n,|,2,+|,x,n,|,2,|,x,n,|,2,=|,x,|,2,-|,x,-,x,n,|,2,|,x,|,2, |,2,+|,2,|,x,|,2, |,2,+|,2,+|,x,|,2,(,n,),推论,设,H,是内积空间,e,1,e,2,.,e,n,H,是标准正交系,则,x,H,有,证,根据定理,9,，级数,|,2,收敛 ,3,内积空间中的傅立叶级数,定义,8,(,Fourier,级数,),设,H,是内积空间,e,n, (,n,=,1,2,),是,H,中的标准正交系,x,H,则称,c,n,= (,n,=,1,2,),为,x,关于,e,n,的,Fourier,系数,而称,为,x,关于,e,n,的,Fourier,级数。记作,注：,1),x,H, x,的,Fourier,系数,c,n,=(,n,=,1,2,),满足,Bessel,不等式,2),微积分学中的,Fourier,级数是,L,2,a,b,上元素,x,关于标准正交系,的,Fourier,级数。,3),x,H, x,的,Fourier,系数,c,n,= (,n,=,1,2,),是平方可和的， 即,c,n,l,2,.,问题,：,由定理,8,可知，对,xH,及任何,n,x,n,=,e,1,+,e,n,到,x,的距离最小，那么当,n,时，,x,n,是否收敛于,x,呢？,即,x,的,Fourier,级数,e,1,+,e,n,+,是否收敛于,x,？或者说,x,能否展开成傅立叶级数？,4,内积空间中的傅立叶级数的收敛性,定理,11,(,Fourier,级数收敛的充要条件,),设,e,n,是内积空间,H,的标准正交系,xH,则,x,关于,e,n,的,Fourier,级数收敛于,x,的充要条件是成立巴塞弗,(,Parseval,),等式：,证 由定理,8,知,若,x,X,取,x,n,=,e,1,+,e,n,则,x-x,n,x,n,且,问题：,对于,n,维欧氏空间而言，如果基向量的个数小于,n,则空间中的一些向量就无法用这些基向量线性表示。这时可以认为基向量没有选“完全”。此时不能保证,Parseval,等式成立，而只有,Bessel,不等式成立。只有基向量的个数等于,n,时，才能认为基向量是“完全”的。,对于一般的无限维内积空间，也只有当基选完全时，才能保证,Parseval,等式成立，从而使得空间中的任何元素都能由这组完全的基线性表示，其傅立叶级数才能收敛于自身，或者说，,H,中的任何元素都可以展开成傅立叶级数。那么，如何确认其基向量是完全的呢？为此引入下面的定义：,定义,9 (,完全的标准正交系,),设,H,是内积空间，,e,n, (,n,=,1,2,),是,H,中的标准正交系，如果在,H,中不再存在于所有,e,n,(,n,=,1,2,),都正交的非零元素，即如果,x,H,x,e,n,(,n,=,1,2,),必有,x,=,则称,e,n,是,H,中的完全标准正交系。,是,L,2,-,中的完全标准正交系。,（2）,勒让德,(,Legendre,),多项式表示的正交系,例如,，（1）,三角函数系,是,L,2,-,1,1,中的完全标准正交系。,(4),x,H,Parseval,等式成立。,定理,12,(,正交系完全的充要条件,),设,e,n,是希尔伯特空间,H,的标准正交系,则下列四个命题是等价的：,(3) ,x,H, x,关于,e,n,的,Fourier,级数收敛于,x,即,x,可以展开成,关于,e,n,的,Fourier,级数,:,(1) ,e,n,是,H,中的完全标准正交系；,五、可分希尔伯特空间,根据前面的讨论，,L,2,-,上的确存在至多可列的完全标准正交系。事实上，这个结论与可分的希尔伯特空间也是成立的。,定理,15,(,H,可分的充要条件,完全标准正交系的存在性,),H,是可分的希尔伯特空间,H,有至多可列的完全标准正交系,e,n,.,定理,16,(,可分希尔伯特空间的同构性,),(1),任意有限维可分的希尔伯特空间必与,R,n,同构；,(2),任意无限维可分的希尔伯特空间必与,l,2,同构。,证,H,是可分,存在,H,的完全标准正交系,e,1,e,2,e,n,或,e,1,e,2,e,n,.,作映像,:,HR,n,（,或,l,2,）,(,x,)=(,)（,或,(,x,)=(,) ）,是一一,映像且,保持线性运算和内积不变，即,H,与,R,n,(,或,l,2,）,同构,注,:,(1),欧式空间,R,n,任可以看作是有限维可分的希尔伯特空间的模型；,(2),l,2,空间可以看作是无限维可分的希尔伯特空间的模型。,(3),对可分的希尔伯特空间的研究可以转化为对,R,n,或,l,2,的研究，要研究某可分的希尔伯特空间中的函数，只要研究该函数的傅立叶系数就够了。,