随机样本和统计量

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,它们都以随机现象的统计规律为研究对象.,数理统计与概率论是两个有密切联系的学科,但在研究问题的方法上有很大区别：,概率论 已知随机变量服从某分布,寻求分布的性质、 数字特征、及其应用;,数理统计 通过对实验数据的统计分析,寻找所服从的分布和数字特征, 从而推断整体的规律性.,数理统计的核心问题,由样本推断总体,第六章 样本及抽样分布,1,也就是说, 我们获得的只是局部观察资料.,因而从理论上讲，只要对随机现象进行足够多次观察，,但客观上,只允许我们对随机现象进行次数不多的观察试验，,被研究的随机现象的规律性一定能清楚地呈现出来.,数理统计就是,在概率论的基础上,研究怎样以,有效的方式,收集、整理和分析可,获的有限的,带有随机性的数据,资料,由于大量随机现象必然呈现出它的规律性.,对所考察问题的统计性规律,尽可能地,作出,精确而可靠的,推断或预测，,为采取一定的决策和行动提供依据和建议.,2,这部分内容的重点在于介绍数理统计的一些重要概念和典型的统计方法，它们是实际中最常用的知识.,学习统计无须把过多时间化在计算上, 应更有效地把时间用在基本概念、方法原理的正确理解上.,在数理统计中，不是对所研究的对象全体 ( 称为,总体,)进行观察，而是抽取其中的部分(称为,样本,)进行观察获得数据（,抽样,），并通过这些数据对总体进行推断.,数理统计方法具有“部分推断整体”的特征 .,3,总体中的每个元素,例如: 某工厂生产的灯泡寿命是一个总体,每个灯泡的寿命是一个个体;,某学校男生的身高的全体是一个总体,每个男生的身高是一个个体,一、总体、个体、随机样本,总体,研究对象全体元素组成的集合,所研究的对象的,某个(或某些)数量指标,的全体,它是一个随机变量.记为,X,.,X,的分布函数和数字特征称为总体的分布函数和数字特征.,个体:,6.1,随机样本和统计量,4,从总体中抽取一部分个体来进行观察或试验,称为,抽样,; 被抽出的部分个体称为总体的一个,样本,抽取样本的目的在于对总体的统计规律进行推断或估计, 故要求所抽取的样本能很好的反映总体的特性.最常用的是简单随机样本。,总体容量有限的称为,有限总体,称总体中所含个体的数目为,总体容量,总体容量无限的称为,无限总体,.,5,定义,:,设,X,1,X,2, . ,X,n,为来自总体,X,的样本,如果,X,1,X,2, . ,X,n,相互独立,且每一个都是与总体,X,有相同分布的随机变量, 则称,X,1,X,2, . ,X,n,为总体,X,的容量为,n,的,简单随机样本,简称为,随机样本,或,样本,其观察值,x,1,x,2, . ,x,n,称为,样本值.,6,它要求抽取的样本,X,1,X,2,X,n,满足下面两点:,2.代表性：,X,i,(,i,=1,2,n,),与所考察的总体,X,同分布.,1.独立性：,X,1,X,2, ,X,n,是相互独立的 随机变量,;,今后, 说到,“,X,1,X,n,是取自某总体的样本”,时, 若不特别说明, 就指简单随机样本.,简单随机样本是应用中最常见的情形,7,由定义知,若,X,1,X,2,.,X,n,为,X,的一个样本,X,的分布函数为,F,(,x,),则,X,1,X,2,.,X,n,的联合分布函数为:,若,X,的概率密度为,f,(,x,),则,X,1,X,2,.,X,n,的联合概率密度为:,8,求样本,(,X,1,X,2,X,3,)的 概率分布.,例1,设总体,X,B,(,1,p,), 即,P,(,X=x,),=,p,x,(1-,p,),1-,x,X,=,0, 1,.,设,X,1,X,2,X,3,为,X,的一个样本,解,x,i,=,0, 1;,i,= 1, 2, 3 .,(,X,1,X,2,X,3,)的分布列,P,(,X,1,=,x,1,X,2,=,x,2,X,3,=,x,3,),又,x,1,+,x,2,+,x,3,=0, 1, 2, 3 ,P,(,X,1,=,x,1,X,2,=,x,2,X,3,=,x,3,),k,= 0, 1, 2, 3 .,9,例2,解,10,11,二、频率直方图,这是一种根据样本观察值来近似地求总体的概率密度的图解法.,设总体,X,是一个连续型随机变量，样本观察值,x,1,x,2,x,n,找个区间包括这些观察值，再把区间分成若干部分.,12,三、经验分布函数,13,14,例如,估计一个物体的重量,重复,n,次称重,其结果依次记为,X,1,X,2,.,X,n,通常用样本的算术平均值 ,或其,它某个由样本计算出来的且看上去合理的量来估计重量,在获得了样本之后,下一步对样本进行统计分析, 即对样本进行加工、整理, 从中提取有用信息.一个有效的方法就是构造一些,样本的函数,通过,样本函数,把样本中所含的(某一方面)的信息集中起来.,四、统计量,15,定义,:,设,X,1,X,2,.,X,n,是总体,X,的一个样本,随机变量,g,(,X,1,X,2,.,X,n,)是,X,1,X,2,.,X,n,的一个,连续函数,且,g,中,不包含任何未知参数,则称,g,(,X,1,X,2,.,X,n,)为一个,统计量,统计量是样本的函数,它是一个随机变量,统计量的分布称为,抽样分布,设(,x,1,x,2, . ,x,n,)是样本(,X,1,X,2,.,X,n,)的样本值,则称,g,(,x,1,x,2, . ,x,n,)是,g,(,X,1,X,2,.,X,n,)的一个观察值.,这种不含任何未知参数、完全由样本决定的量称为统计量,16,例,是未知参数,若, ,已知,则为统计量,是一样本,是统计量, 其中,则,但,不是统计量.,17,C,例3 设总体,X,B,(2,p,),其中,p,为未知参数, (,X,1,X,2,X,3,)是取自总体,X,的样本,则_不是统计量,(A),X,1,+,X,2,(B) max,X,1,X,2,X,3,(C),X,3,+2,p,(D) (,X,2,X,1,),2,18,设,X,1,X,2,.,X,n,是总体,X,的一个样本,样本平均值,:,样本方差,:,样本标准差,:,常用统计量:,19,样本,k,阶(原点)矩,:,(,k,=1,2,),样本,k,阶中心矩,:,(,k,=1,2,),例如,20,样本平均值:,样本方差:,样本,k,阶中心矩:,样本,k,阶(原点)矩:,(,k,=1,2,),它们的观察值分别为:,21,由样本平均值和样本方差的表达式可得:,22,注,样本方差,与样本二阶中心矩 的不同,故,推导,关系式,1）,23,例4,从一批机器零件毛坯中随机地抽取10件, 测得其重量为(单位:,公斤):,210, 243, 185, 240, 215,228, 196, 235, 200, 199,求这组样本值的均值、方差、二阶原点矩与二阶中心矩.,解,令,24,则,25,例5,在总体 中,随机抽取一个容量,为36的样本,求样本均值 落在50.8到53.8,之间的概率.,解,故,26,1.标准正态分布,2.,2,分布,3.,t,分布,4.,F,分布,6.2,数理统计中常用的分布,正态总体是最常见的总体, 本节介绍,的几个抽样分布均对正态总体而言.,27,设,X,N,(0,1),对任给的, 0,z,0.05,=1,0.05,=0.95,P,X,1.64=0.9495,P,X,1.65=0.9505,z,0.05,(1.64+1.65)/2=1.645,公式:,(,z,)=1,常用,数字,29,设,X,i,N,(0,1) (,i,=1,2,.,n,), 且它们相互独立,则称随机变量,2,2,分布,定义,:,服从自由度为,n,的,2,分布,记为,2,2,(,n,),2,分布,最常用的是拟合优度检验,30,一般,其中，,在,x ,0,时收敛，称为,函数，具有性质,的密度函数,为,自由度为,n,的,31,1,0,设,Y,1,2,(,m,),Y,2,2,(,n,), 且,Y,1,Y,2,相互独立，,2,分布的基本性质,则,2,分布的可加性,Y,1,+,Y,2,= ?,2,0,若,Y,2,(,n,),则,=,n,= 2,n .,EY,DY,= 1,= 3,3,0,设,X,1,X,n,相互独立, 且都服从正态分布,N,(,2,),4,0,若,Y,2,分布,近似服从,N,(,0,1,),.,应用中心极限定理可得,则,则当,n,充分大时,32,o,2,(,n,),x,f,(,x,),设,2,2,(,n,),其密度函数为,f,(,x,),对于给定的正数,(0,1),称满足条件,的点,2,(,n,)为,2,(,n,)分布的上,分位点,2,分布的上,分位点,:,当,n,充分大时,33,例2 (练习九.五) 设,X,N,(,2,),(,X,1,X,2,.,X,16,)是取自总体,X,的样本,求概率:,解:,X,1,X,2,.,X,16,相互独立,且,34,0.950.01,=0.94,35,例3,设总体,的样本,为总体,X,试确定常数,c,使,cY,服从,分布.,解,故,因此,36,设,X,N,(0,1),Y,2,(,n,),且,X,与,Y,相互独立,则称随机变量,3,t,分布,定义,:,服从自由度为,n,的,t,分布,记为,T,t,(,n,),T,的密度函数为：,37,o t,f,(,t,),t,分布的上,分位点,:,设,T,t,(,n,),其密度函数为,f,(,t,),对于给定的正数,(0,45时,t,(,n,),z,39,且,X,N,(,2,1,),Y,i,N,(,0,4,),i,=,1, 2, 3, 4,设,X,Y,1,Y,2,Y,3,Y,4,相互独立,例4,令,解,X,-,2,N,(,0, 1,),i,= 1, 2, 3, 4 .,t,(,4,),即,Z,服从自由度为,4 的,t,分布.,求,Z,的分布.,由,t,分布的定义,Y,i,/,2,N,(,0,1,),40,题,设随机变量,X,与,Y,相互独立，,X N,(0,16),Y N,(0,9) ,X,1,X,2,X,9,与,Y,1,Y,2,Y,16,分别是取自,X,与,Y,的简单随机样本, 求,统计量,所服从的分布.,解,41,从而,42,t,分布用于在小样本场合下的正态分布(大样本场合下可以用正态分布来近似),有时候在信息不足的情况下,只能用,t,分布,比如在整体方差不知的情况下,对总体均值的估计和检验通常要用,t,统计量,43,记作,F,F,(,m,n,) .,由,F,分布的定义可见，若,F,F,(,m,n,)，,定义:,设随机变量,X,与,Y,独立，,所服从的分布为,第一自由度为,m ,第二自由度为,n,的,F,分布，,4、,F,分布,则,F,的概率密度为,则称统计量,其图形,参见172,F,分布多用于比例的估计和检验,44,o x,f,(,x,),F,分布的上,分位点,:,设,F,F,(,m,n,),其密度函数为,f,(,x,),对于给定的正数,(0,F,1,),= 0.,025 ,P,(,F,F,3,),= 0.,95 .,1/,F,F,(15, 24,),查附表7 知,统计三大分布的定义和基本性质在后面的学习中常用到, 要牢记！,47,1. 单个正态总体的抽样分布,2. 两个正态总体的抽样分布,6.3 抽样分布定理,48,设,X,1,X,2,.,X,n,是来自正态总体,N,(,2,)的样本,则,1.单个正态总体的抽样分布,定理:,(1),(2),与,S,2,相互独立,(3),(4),49,(1),为,n,个相互独立的正态,服从正态分布,=,随机变量的线性组合,50,(4),且它们相互独立,由,t,分布的定义,即,2,(,n,1),51,例1(练习九.二.(1) 设(,X,1,X,2,X,n,)是取,自总体,X,的样本, 是样本均值,如果总体,X,N,(,4),则样本容量,n,应取多大,才能使,解:,52,0.95,n,1536.64,n,1537,53,54,设总体,X,N,(,1,1,2,),总体,Y,N,(,2,2,2,).,X,1,X,2,.,是总体,X,的样本,Y,1,Y,2,.,是总体,Y,的样本,且这两个样本相互独立.则,2.两个正态总体的抽样分布,定理:,(1),(2),55,其中,称为混合样本方差,进一步,若,1,2,=,2,2,=,2,有,56,2,(,n,1,1),2,(,n,2,1),且它们相互独立,2,(,n,1,+,n,2,2),57,由,t,分布的定义,即,t,(,n,1,+,n,2,2,),t,(,n,1,+,n,2,2,),58,小结,理解总体、个体、样本和统计量的概,念,掌握样本均值和样本方差的计算及,基本性质,2. 掌握,2,分布、,t,分布、,F,分布,的定义,会,查表计算,3. 理解正态总体的某些统计量的分布,59,