椭圆双曲线抛物线

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第2讲 椭圆、双曲线、抛物线,1.圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质,1,2,2.椭圆中的最值,F,1,，,F,2,为椭圆 =1(,a,b,0)的左、右,焦点，,P,为椭圆的任意一点，,B,为短轴的一个端,点，,O,为坐标原点，则有,（1）|,OP,|,b,a,. (2)|,PF,1,|,a,-,c,a,+,c,.,（3）|,PF,1,| |,PF,2,|,b,2,a,2,.(4),F,1,PF,2,F,1,BF,2,.,（5） =,b,2,tan ( =,F,1,PF,2,).,（6）焦点弦以通径为最短.,3.双曲线中的最值,F,1,，,F,2,为双曲线 (,a,0,b,0)的左、,右焦点，,P,为双曲线上的任一点，,O,为坐标原点，,则有,3,（1）|,OP,|,a,.（2）|,PF,1,|,c,-,a,.,（3） ( =,F,1,PF,2,).,4.抛物线中的最值,点,P,为抛物线,y,2,=2,px,(,p,0)上的任一点，,F,为焦点，,则有:（1）|,PF,| .,（2）焦点弦,AB,以通径为最值，即|,AB,|2,p,.,（3）,A,（,m,n,）为一定点，则|,PA,|+|,PF,|有最小值.,5.双曲线的渐近线,（1）求法：令双曲线标准方程的左边为零，分解,因式可得.,4,（,2）用法：,可得 或 的值.,利用渐近线方程设所求双曲线的方程.,6.直线与圆锥曲线的位置关系,（1）相离；（2）相切；（3）相交.,特别地，当直线与双曲线的渐近线平行时，直,线与双曲线相交且只有一个公共点.,当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线,与抛物线相交且只有一个公共点.,5,一、圆锥曲线的定义、几何性质、标准方程,例1,如图所示，椭圆 上的点,M,与椭,圆右焦点,F,1,的连线,MF,1,与,x,轴垂,直，且,OM,（,O,是坐标原点）与椭,圆长轴和短轴端点的连线,AB,平行.,（1）求椭圆的离心率；,（2）,F,2,是椭圆的左焦点，,C,是椭圆上的任一点，证明：,F,1,CF,2,（3）过,F,1,且与,AB,垂直的直线交椭圆于,P,、,Q,，若,PF,2,Q,的面积是 ，求此时椭圆的方程.,6,思维启迪,（1）从,OM,AB,入手，寻找,a,，,b,，,c,的关,系式，进而求出离心率.,（2）在焦点三角形,F,1,CF,2,中，用余弦定理求出,cos,F,1,CF,2,再结合基本不等式.,（3）设,P,（,x,1,y,1,）、,Q,（,x,2,y,2,），则,用设而不求的思路求解.,（1）,解,设椭圆方程为 (,a,b,0)，则,，,7,（2）,证明,由椭圆定义得：|,F,1,C,|+|,F,2,C,|=2,a,，,cos,F,1,CF,2,=,=,= .,|,F,1,C,|,F,2,C,| =,a,2,，,cos,F,1,CF,2, ，,F,1,CF,2, .,（3）,解,设直线,PQ,的方程为,y,=- (,x,-,c,),即,y,=- (,x,-,c,).,8,代入椭圆方程消去,x,得： ,整理得：5,y,2,- -2,c,2,=0,y,1,+,y,2,= ,y,1,y,2,= .,（,y,1,-,y,2,）,2,= .,因此,a,2,=50,b,2,=25,所以椭圆方程为 .,探究提高,（1）求离心率，结合已知条件找到,a,b,c,的关系,式,；,（2）,C,为椭圆上的任意一点，,F,1,，,F,2,为左、右焦点，当,C,点是椭圆短轴的一个端点时，,F,1,CF,2,取得最大值.,9,变式训练1,已知圆,F,1,：,（,x,+1）,2,+,y,2,= ,圆,F,2,：,（,x,-1）,2,+,y,2,= ，动圆,M,与圆,F,1,、,F,2,都相切.,（1）求动圆圆心的轨迹,C,的方程；,（2）已知点,A,（-2，0），过点,F,2,作直线,l,与曲线,C,交于,P,，,Q,两点，求 的取值范围.,解,（1）设动圆圆心为,M,（,x,y,），圆,M,的半径为,r,则|,MF,1,|=,r,+ ，|,MF,2,|= -,r,，,|,MF,1,|+|,MF,2,|=4.,则动圆圆心,M,的轨迹,C,为以,F,1,（-1，0），,F,2,（1，0）,为焦点的椭圆.,a,=2,c,=1，,b,2,=3.,故轨迹,C,的方程为 .,10,(2),F,2,在曲线,C,内部，过,F,2,的直线与曲线,C,恒有两个公共点.,当,l,与,x,轴重合时，,P,或,Q,有一个与,A,重合，, .,当,l,x,轴时，,P,（ ），,Q,（ ）， , .,当,l,与,x,轴不重合也不垂直时，设,l,：,y,=,k,(,x,-1），,P,（,x,1,y,1,）,Q,(,x,2,y,2,),y,=,k,(,x,-1),由,整理，得,（4,k,2,+3）,x,2,-8,k,2,x,+4,k,2,-12=0,.,=144,k,2,+1440恒成立.,11,x,1,+,x,2,= ,x,1,x,2,= ., =（,x,1,+2,y,1,）（,x,2,+2,y,2,）,=(,x,1,+2)(,x,2,+2)+,y,1,y,2,=,x,1,x,2,+2(,x,1,+,x,2,)+4+,k,2,(,x,1,x,2,-,x,1,-,x,2,+1)=,=,k,2,0, 0,.,综上，,12,二、圆锥曲线中的定值与最值,例2,已知菱形,ABCD,的顶点,A,，,C,在椭圆,x,2,+3,y,2,=4,上，对角线,BD,所在直线的斜率为1.,（1）当直线,BD,过点（0，1）时，求直线,AC,的方程；,（2）当,ABC,=60时,求菱形,ABCD,面积的最大值.,思维启迪,（1）根据菱形的性质及条件求解.,（2）由题意表示出菱形的面积，然后利用函数或不,等式知识求解.,解,（1）由题意得直线,BD,的方程为,y,=,x,+1.,因为四边形,ABCD,为菱形，所以,AC,BD,.,于是可设直线,AC,的方程为,y,=-,x,+,n,.,x,2,+3,y,2,=4,由 得4,x,2,-6,nx,+3,n,2,-4=0,y,=-,x,+,n,.,13,因为,A,、,C,在椭圆上,所以=-12,n,2,+640，解得 .,设,A,，,C,两点坐标分别为(,x,1,y,1,),(,x,2,y,2,)，,则,x,1,+,x,2,= ,x,1,x,2,= ,y,1,=-,x,1,+,n,y,2,=-,x,2,+,n,.所以,y,1,+,y,2,= .,所以,AC,的中点坐标为 .,由四边形,ABCD,为菱形可知，,点 在直线,y,=,x,+1上，,所以 ,解得,n,=-2 .,所以直线,AC,的方程为,y,=-,x,-2,即,x,+,y,+2=0.,（2）因为四边形,ABCD,为菱形，且,ABC,=60,所以|,AB,|=|,BC,|=|,CA,|.,14,所以菱形,ABCD,的面积,S,= |,AC,|,2,.,由(1)可得|,AC,|,2,=(,x,1,-,x,2,),2,+(,y,1,-,y,2,),2,= ,所以 .,所以当,n,=0时,菱形,ABCD,的面积取得最大值 .,探究提高,解析几何中的最值问题涉及的知识面较广，解法灵活多样，但最常用的方法有以下几种：,利用函数，尤其是二次函数求最值；,利用三角函数，尤其是正、余弦函数的有界性求最值；,利用不等式，尤其是均值不等式求最值；,利用判别式求最值；,利用数形结合，尤其是切线的性质求最值.,15,变式训练2,（2009银川模拟） 已知椭圆 的离心率为 ，以右焦点,F,为圆心的圆过椭圆上的顶点,B,（0，,b,），且与直线,l,： 相切.,（1）求椭圆的方程；,（2）过该椭圆的右焦点的直线交椭圆于,M,、,N,两点，该椭圆,的左、右顶点分别为,A,1,、,A,2,，求证：直线,MA,1,与直线,NA,2,的斜,率平方的比值为定值.,（1）,解,设点,F,（,c,0），其中 .以右,焦点,F,为圆心的圆过椭圆上的顶点,B,（0，,b,），圆的半径为,r,= .由圆与直线,l,：,x,+ +3=0 相切，得,=,a,，又,a,=2,c,，,c,=1，,a,=2，,b,= .,16,椭圆方程为 .,（2）,证明,设,M,（,x,1,y,1,）,N,(,x,2,y,2,)，当直线,MN,的斜率不存在时，直线,MN,的方程为,x,=1,当直线,MN,的斜率存在时，设直线,MN,的方程为,y,=,k,(,x,-1)，将其代入 ，得(3+4,k,2,),x,2,-8,k,2,x,+4,k,2,12=0, ,x,1,+,x,2,= , .,17,而 ,将其代入上式，得,综上，知直线,MA,1,与直线,NA,2,的斜率平方的比值为,定值.,三、圆锥曲线中的参数范围问题,例3,在平面直角坐标系,xOy,中，经过点（0， ）,且斜率为,k,的直线,l,与椭圆 有两个不同,的交点,P,和,Q,.,（1）求,k,的取值范围；,18,（2）设椭圆与,x,轴正半轴、,y,轴正半轴的交点分别为,A,、,B,，是否存在常数,k,，使得向量 共线？,如果存在，求,k,值；如果不存在，请说明理由.,思维启迪,（1）将直线,l,的方程与椭圆方程联立转化为,关于,x,的一元二次方程，利用0求,k,的范围；（2）利,用共线的条件建立等式求出,k,值进行判断.,解,（1）由已知条件知直线,l,的方程为,y,=,kx,+ ,代入椭圆方程得 .,整理得,直线,l,与椭圆有两个不同的交点,P,和,Q,等价于,=,19,解得 .,即,k,的取值范围为 .,（2）设,P,（,x,1,，,y,1,），,Q,（,x,2,，,y,2,），,则 =（,x,1,+,x,2,，,y,1,+,y,2,），,由方程得,x,1,+,x,2,= ,又,y,1,+,y,2,=,k,(,x,1,+,x,2,)+ ,而,A,（ ，0），,B,（0，1）， =（ ，1）.,所以 共线等价于,x,1,+,x,2,= (,y,1,+,y,2,)，,将代入上式，解得,k,=.,由（1）知,k, ,故没有符合题意的常数,k,.,20,探究提高,直线与圆锥曲线位置关系的判断，有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，此类问题涉及根与系数的关系，设而不求、整体代入的技巧和方法.,变式训练3,如图，已知,直线,l,与抛物线,x,2,=4,y,相切于点,P,（2，1），,且与,x,轴交于点,A,，,O,为,坐标原点，定点,B,的坐标为（2，0）.,21,（1）若动点,M,满足 ，求点,M,的轨迹,C,；,（2）若过点,B,的直线,l,（斜率不等于零）与（1）中的轨迹,C,交于不同的两点,E,、,F,（,E,在,B,、,F,之间），试求,OBE,与,OBF,面积之比的取值范围.,解,（1）由,x,2,=4,y,得,y,=,x,2,y,=,x,.,直线,l,的斜率为,y,|,x,=2,=1.,故,l,的方程为,y,=,x,-1，点,A,坐标为（1，0）.,设,M,（,x,y,），则 =（1，0），,=（,x,-2,y,）,=(,x,-,1,y,),由 =0得,（,x,-2）+,y,0+ =0,整理，得 +,y,2,=1.,22,动点,M,的轨迹,C,为以原点是中心，焦点在,x,轴上，长轴长为 ，短轴长为2的椭圆.,（2）如图，由题意知直线,l,的斜率存在且不为零，,设,l,方程为,y,=,k,(,x,-2)(,k,0),将代入 +,y,2,=1，整,理，得（1+2,k,2,）,x,2,-8,k,2,x,+8,k,2,-2=0,x,1,+,x,2,= ,x,1,x,2,= 由此可,得 = ， = ,且0 1.由知（,x,1,-2）+(,x,2,-2)= ,(,x,1,-2)(,x,2,-2)=,x,1,x,2,-2(,x,1,+,x,2,)+4= .,23, ,即,k,2,= .,0,k,2, ,0 .,解得3- 3+ .,又0 1，3- 0)相交于,A,、,B,、,C,、,D,四个点.(1)求,r,的取值范围：,（2）当四边形,ABCD,的面积最,大时，求对角线,AC,、,BD,的交,点,P,的坐标.,解,（1）将,y,2,=,x,代入,（,x,-4）,2,+,y,2,=,r,2,并化简得,x,2,-7,x,+16-,r,2,=0.,E,与,M,有四个交点的充要条件是方程有两个不等的正根,x,1,、,x,2, =(-7),2,-4(16-,r,2,)0,由此得,x,1,+,x,2,=70,x,1,x,2,=16-,r,2,0.解得 ,r,2,0,27,所以,r,的取值范围是 .,（2）不妨设,E,与,M,的四个交点的坐标为,A,（,x,1, ）、,B,（,x,1, ）、,C,（,x,2,， ）、,D,（,x,2, ）.,则直线,AC,、,BD,的方程分别为,y,- = (,x-x,1,),y,+,= ,解得点,P,的坐标为（ ,0）,设,t,= ,由,t,= 及（1）知0,t, .,由于四边形,ABCD,为等腰梯形，因而其面积,S,=,则,S,2,=（,x,1,+,x,2,+2 ）(,x,1,+,x,2,),2,-4,x,1,x,2,.,将,x,1,+,x,2,=7, =,t,代入上式，并令,f,(,t,)=,S,2,28,求导数，,f,(,t,)=-2(2,t,+7)(6,t,-7).,令,f,(,t,)=0,解得,t,= ,t,= (舍去).,当0,t,0,当,t,= 时.,f,(,t,)=0;,当 ,t, 时，,f,(,t,)0)的焦点,F,，交抛物线于,A,、,29,B,两点，则有：（1）通径的长为2,p,.,(2)焦点弦公式：|,AB,|=,x,1,+,x,2,+,p,.,(3),x,1,x,2,= ,y,1,y,2,=-,p,2,.,(4)以焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切.,2.求轨迹方程的常用方法,（1）轨迹法：建系设动点.列几何等式.坐标代入得方程.化简方程.除去不合题意的点作答.,（2）待定系数法：已知曲线的类型，先设方程再求参数.,（3）代入法：当所求动点随已知曲线上动点的动而动时用此法.代入法的步骤：,30,设出两动点坐标（,x,y,）,(,x,0,y,0,).,结合已知找出,x,y,与,x,0,y,0,的关系，并用,x,y,表示,x,0,y,0,.,将,x,0,y,0,代入它满足的曲线方程，得到,x,y,的关系,式即为所求.,（4）定义法：结合几种曲线的定义，明确所求曲线,的类型，进而求得曲线的方程.,3.有关弦的中点问题,（1）通法,（2）点差法,点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的,斜率.点差法的步骤：,31,将两交点,A,（,x,1,y,1,）,B,(,x,2,y,2,)的坐标代入曲线的方,程.,作差消去常数项得到关于,x,1,+,x,2,x,1,-,x,2,y,1,+,y,2,y,1,-,y,2,的,关系式.,应用斜率公式及中点坐标公式求解.,4.解决直线与圆锥曲线问题的通法,（1）设方程及点的坐标.,（2）联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程.,（3）应用韦达定理及判别式.,（4）结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式,求解.,弦长公式：|AB|= .,32,一、选择题,1.（2009菏泽模拟）已知双曲线 (,a, )的两,条渐近线的夹角（两条相交直线所成的锐角或直角,为,，则双曲线的离心率为 （ ）,A.2 B.,C. D.,解析,双曲线的渐近线方程为,y,= .,若 =tan = ,则,a,=,c,= ,e,= .,若 ,则,a,= ，不符合要求.故选D.,D,33,2.(2009浙江文，6)已知椭圆 (,a,b,0)的左焦点为,F,，右顶点为,A,，点,B,在椭圆上,且,BF,x,轴,直线,AB,交,y,轴于点,P,，,若 则椭圆的离心率是 （ ）,A. B. C. D.,解析,如图，由于,BF,x,轴，,故,x,B,=-,c,y,B,= ,设,P,（0,t,）, ，,（-,a,t,）=2（-,c, -,t）,a,=2,c,., .,D,34,3.（2009山东文，10）设斜率为2的直线,l,过抛物线,y,2,=,ax,(,a,0)的焦点,F,，且和,y,轴交于点,A,，若,OAF,（,O,为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）,A.,y,2,=4,x,B.,y,2,=8,x,C.,y,2,=4,x,D.,y,2,=8,x,解析,y,2,=,ax,的焦点坐标为 ,过焦点且斜率为2的直线方程为,y,=2 ，令,x,=0得：,y,= . =4，,a,2,=64,a,=8.,B,35,4.椭圆,M,： (,a,b,0)的左、右焦点分别为,F,1,、,F,2,，,P,为椭圆,M,上任一点，且 的最大值的取值范围是,c,2,3,c,2,，其中,c,= ,则椭圆,M,的离心率,e,的取值范围是 ( ),A. B.,C. D.,解析,由,所以 的最大值为,=（,a,+,c,）（,a,-,c,），结合题意分析知,c,2,a,2,-,c,2,3,c,2,，求得离心率的取值范围是 ，故选B,B,36,5.,P,是双曲线 (,a,0,b,0)右支上的一点,F,1,、,F,2,分别为左、右焦点,且焦距为2,c,PF,1,F,2,的,内切圆的圆心的横坐标是 ( ),A.,a,B.,b,C.,c,D.,a,+,b,+,c,解析,设圆切,PF,1,、,PF,2,、,F,1,F,2,分别于,M,、,N,、,R,，,则由双曲线定义知|,PF,1,|-|,PF,2,|=2,a,，,即（|,PM,|+|,MF,1,|）-（|,PN,|+|,NF,2,|）=2,a,，,又|,PM,|=|,PN,|，故|,MF,1,|-|,NF,2,|=2,a,，,而|,MF,1,|=|,RF,1,|，|,NF,2,|=|,RF,2,|，,因此|,F,1,R,|-|,F,2,R,|=2,a,，,设,R,（0，,t,），则,t,+,c,-（,c,-,t,）=2,a,，,t,=,a,.,A,37,二、填空题,6.（2009湖南理，12）已知以双曲线,C,的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60，则双曲线,C,的离心率为 .,解析,双曲线中焦距比虚轴长，焦点处内角为60,又由双曲线性质得四边形为菱形., =tan 30= ,c,=,b,a,2,=,c,2,-,b,2,=2,b,2,a,=,b,.,e,= .,38,7.（2009聊城模拟）设双曲线 (,b,a,0)的半焦距为,c,，直线,l,过（,a,0）、(0,b,)两点.已知原点到直线,l,的距离为 ，则双曲线的离心率为 .,解析,直线,l,的方程为 ，即,bx,+,ay,-,ab,=0.,于是有 ,即,ab,= .,两边平方得16,a,2,b,2,=3,c,4,16,a,2,(,c,2,-,a,2,)=3,c,4,.,即3,c,4,-16,a,2,c,2,+16,a,4,=0,3,e,4,-16,e,2,+16=0.,解得,e,2,=4,或,e,2,= ,b,a,0, 1,e,2,= =1+ 2,故,e,2,=4,e,=2.,39,8.（2009南通模拟）已知抛物线,y,2,=-2,px,(,p,0)的焦点,F,恰好是椭圆 (,a,b,0)的左焦点，且两曲线的,公共点的连线过,F,，则该椭圆的离心率为 .,解析,由题意,F,（ ，0），设椭圆的右焦点为,M,，椭圆与抛物线的一个交点为,A,，则|,AF,|=,p,，|,FM,|=,p,，,|,AM,|=,p,，,椭圆长半轴长,a,= ,椭圆的半焦距,c,= ,椭圆的离心率,e,= .,40,三、解答题,9.（2009潍坊）已知椭圆的两个焦点分别为,F,1,（0， ），,F,2,（0， ），离心率为,e,= .,（1）求椭圆方程；,（2）一条不与坐标轴平行的直线,l,与椭圆交于不同,的两点,M,，,N,，且线段,MN,中点的横坐标为 ，求直,线,l,的倾斜角的取值范围.,解,（1）根据题意可设椭圆方程为,（,a,b,0）,其中,c,为半焦距,c,= ,e,= , ,a,=3,b,=1, .,41,（2）由题意知，直线的倾斜角不可能为0和 ,设直线方程为,y,=,kx,+,m,(,k,0).,y,=,kx,+,m,x,2,+ =1,(,k,2,+9),x,2,+2,kmx,+,m,2,-9=0,=4,k,2,m,2,-4(,k,2,+9)(,m,2,-9)0，即,k,2,-,m,2,+90,设,M,（,x,1,，,y,1,），,N,（,x,2,，,y,2,），,x,1,+,x,2,= ，,线段,MN,中点的横坐标为 ，, ，即,m,= ,把代入解得,k,2,3,即,k, 或,k,b,0),A,是椭圆,C,的短轴左顶点，过,A,点作斜率为-1的直线交椭圆于,B,点，点,P,（1，0），且,BP,y,轴，,APB,的面积为 .,（1）求椭圆,C,的方程；,（2）在直线,AB,上求一点,M,，使得,以椭圆,C,的焦点为焦点，且过,M,的,双曲线,E,的实轴最长，并求此双,曲线,E,的方程.,解,（1）,S,APB,=,AP,PB,= ，,又,PAB,=45，,AP,=,PB,，故,AP,=,BP,=3.,P,（1，0），,A,（-2，0），,B,（1，-3）.,b,=2，将,B,（1，-3）代入椭圆方程，,43,b,=2,得,解得,a,2,=12,所求椭圆的方程为 .,(2)设椭圆,C,的焦点为,F,1,，,F,2,，,则易知,F,1,（0， ），,F,2,（0， ），,直线,AB,的方程为,x,+,y,+2=0，因为,M,在双曲线,E,上，要使双曲线,E,的实轴最长，只需|,MF,1,|-|,MF,2,|最大，,F,1,（0， ）关于直线,AB,的对称点为,F,1,( -2,-2),直线,F,2,F,1,与直线,l,的交点为所求,M,44,F,2,F,1,的方程为,y,+(3+ ),x,- =0,y,+(3+ ),x,- =0,联立,得,M,（1，-3），,x,+,y,+2=0,又2,a,=|,MF,1,|-|,MF,2,|,=|,MF,1,|-|,MF,2,|,F,2,F,1,|,= ，,故,a,max,= ,b,= ,故所求双曲线的方程为 .,返回,45,