条件概率课堂讲解

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,概率论,第三讲 条件概率与事件的独立性,本讲要点,1.,理解条件概率的概念,2.,理解事件独立性的概念,3.,理解伯努利定理,4.,应用上述概念与定理解决简单问题,条件概率,在事件,B,发生的条件下求事件,A,发生的概率就称为,条件概率,，记作,P,(,A,|,B,).,一般地,P,(,A,|,B,),P,(,A,),例：,掷一颗均匀骰子，,A,=,掷出2点，,B,=,掷出偶数点,问假设事先知道抛出的是偶数点则事件,A,发生的概率,掷骰子,分析：已知事件,B,发生，此时试验所有可能结果就变少了,，即样本空间减缩了,P,(,A,|,B,),即在新的样本空间下求,A,发生的概率,P,(,A,)=3/10,，,又如，,10,件产品中有,7,件正品，,3,件次品，,7,件正品中有,3,件一等品，,4,件二等品,.,现从这,10,件中任取一件，记,B,=,取到正品,A,=,取到一等,品，,P,(,A,|,B),若事件,B,已发生,则样本空间发生变化， 则事件,A,在新的样本空间中概率就是,设,A,、,B,是两个事件，且,P,(,A,),0,则称,(1),条件概率的定义,为在,事件,B,发生,的条件下,事件,A,的条件概率,.,例 子,1.,某地区一年内刮风的概率是,下雨的概率是 ，既刮风又下雨的概率是 求,:,(1),在刮风的条件下，下雨的概率,.,(2),在下雨的条件下，刮风的概率,.,分析：设,A=,刮风, B=,下雨,由条件概率的定义得到：,课 堂 练 习,某人有一笔资金，他投入基金的概率是,0.6,，购买股票的概率是,0.3,，两项都投资的概率是,0.2.,（,1,）已知他已投入基金，再购买股票的概率有多大？,（,2,）已知他已购买股票，再投入基金的概率有多大？,条件概率的性质,(,自行验证,),课后证明,假设 证明：,乘 法 公 式,由条件概率公式可以推出,我们把上面的式子称为乘法公式,.,利用乘法公式可以计算两个事件同时发生的概率,乘法公式可以推广：,假设有,n,个事件 ，（,n2,）,且,一场精彩的足球赛将要举行, 5,个,球迷好不容易才搞到一张入场券,.,大家都想去,只好用抽签的方法来解决,.,入场,券,5,张同样的卡片,只有一张上写有“入场券”,其余的什么也没写,.,将它们放在一起,让,5,个人依次抽取,.,“先抽的人当然要比后抽的人抽到的机会大。”,大家不必争先恐后，你们一个一个,按次序来，谁抽到入场券的机会都,一样大,.”,我们用,A,i,表示“第,i,个人抽到入场券”,i,1,2,3,4,5.,显然,，,P,(,A,1,)=1/5,，,P,( ),4/5,第,1,个人抽到入场券的概率是,1/5.,也就是说，,则 表示“第,i,个人未抽到入场券”,因为若第,2,个人抽到,了入场券，第,1,个人,肯定没抽到,.,也就是要想第,2,个人抽到入场券，必须第,1,个人未抽到，,由于,由乘法公式,P,(,A,2,)= (4/5)(1/4)= 1/5,计算得：,这就是有关抽签顺序问题的解答,.,同理，第,3,个人要抽到“,入场券,”，必须第,1,、第,2,个人都没有抽到,.,因此,(4/5)(3/4)(1/3)=1/5,继续做下去就会发现,每个人抽到“,入场券,” 的概率都是,1/5.,抽签原理问题,.,通常成为,即,P,(,A,|,B,)=,P,(,A,),显然事件,B,的,发生,并不影响事件,A,发生的概率,这时称事件,A,、,B,独立,.,事件的独立性,A,=,第二次掷出,6,点,，,B,=,第一次掷出,6,点,，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,定 义,如果事件,A,B,的发生不相互影响，则称事件,A,B,相互独立,.,若,A,B,相互独立，则有,定理：,A,B,相互独立,例,从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记,A,=,抽到,K,B,=,抽到的牌是黑色的,可见,P,(,AB,)=,P,(,A,),P,(,B,),由于,P,(,A,)=4/52=1/13,故 事件,A,、,B,独立,.,问事件,A,、,B,是否独立？,解,P(,AB,)=2/52=1/26.,P,(,B,)=26/52=1/2,由于,“,甲命中,”,并不影响,“,乙命中,”,的概率，故认为,A,、,B,独立,.,甲、乙两人向同一目标射击,记,A,=,甲命中,B,=,乙命中,，,A,与,B,是否独立？,例如,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率）,思 考,事件,A,与,B,互不相容与,A,和,B,相互独立是一回事吗？如图事件,A,与,B,相互独立吗？,结论：若,A,与,B,独立，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,、,B,不互不相容,若,A,、,B,互不相容，且,P,(,A,)0,P,(,B,)0,则,A,与,B,不独立,推 广,若 相互独立，则有如下的公式成立,例：,三人独立地去破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为,1/5,，,1/3,，,1/4,，问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少？,解,将三人编号为,1,，,2,，,3,，,所求为,记,A,i,=,第,i,个人破译出密码,i,=1 , 2 , 3,已知,P,(,A,1,)=1/5 ,P,(,A,2,)=1/3 ,P,(,A,3,)=1/4,1,2,=1-1-,P,(,A,1,)1-,P,(,A,2,)1-,P,(,A,3,),3,小结,这一讲，我们介绍了条件概率的概念，给出了计算两个或多个事件同时发生的概率的乘法公式，并且介绍了事件的独立性，他们在计算概率时经常使用，需要牢固掌握,.,谢谢！国庆愉快！,