能带理论课件

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,1,能带理论,小组成员：周丽芬,马娟娟,李鹏飞,一、能带理论的三个基本假设,二,、近自由电子近似模型（一维）,三,、紧束缚近似模型,2,晶体是由大量电子及原子核组成的,多粒子系统,，但,晶体的许多电子过程仅与外层电子有关,，因此，可以将晶体看作由外层的价电子及离子实（由内部电子与核构成）组成的系统。,系统的哈密顿算包括：电子的动能算符、离子的动能算符、电子与电子的相互作用算符、离子与离子的相互作用算符以及电子与离子的相互作用算符等，变量数就高达,10,22,10,24,（或更高）的数量级。无法求解薛定谔方程，为此做了三个基本假设，将,多粒子,问题简化为,单电子,在周期场中运动的问题。能带理论的这三个基本假设是：,一、能带理论的,三个基本假设,3,(1),绝热近似,： 由于离子质量远大于电子质量，在讨论电子问题时，可以认为离子是固定在瞬时的位置上，称玻恩,奥本哈莫近似或绝热近似。通过绝热近拟，把一个多粒子体系问题简化为一个,多电子体系,。,(2),单电子近似,:,多电子体系仍然是一个很大的体系，需要进一步简化。认为一个电子在离子实和其他电子所形成的势场中运动，称为哈特里,福克自洽场近似，也称为单电子近似。单电子近似把一个多电子问题转化为一个单元电子问题。把相互作用的电子系统简化为无相互作用的电子系统。,(3),周期场近似,:,所有电子及离子实产生的等效势场都具有晶格周期性，这个近似称为周期场近似。,采用这些假设后晶体中的电子状态问题简化成,一个电子在周期性势场中的运动问题,。,4,能带理论的出发点,：,固体中的电子不再束缚于个别的原子，而是在整个固体中的运动，称为,共有电子,。,能带理论是,单电子近似的理论,：把每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动,。,周期性微扰,：,原子实偏离平衡位置对共有化电子运动状态的影响看成,微扰,。对于理想晶体，,原子,实,规则排列具有周期性,，即其等效势场也具有周期性。,电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动,。,5,二、近,自由电子近,似,（,Nearly,Free,Electron,）,模,型,在周期场中，若电子的势能随位置的变化（起伏）比较小，而电子的平均动能要比其势能的绝对值大得多时，电子,的运动就几乎是自由的。因此，,我们可以把自由电子看成是,它的零级近似，而将周期场的影响看成小的微扰来求解。,（也称为,弱周期场近似）,。势场,V,(,x,),可用平均势 代替，,周期起伏 看作微扰处理,。,6,其中 是归一化因子，,L,=,Na,晶体长度、,N,原胞数、,a,晶格常数（原子间距）。在周期性边界条件下，,k,的取值为：,1,、零级近似的波动方程,：,其,解是恒定场,中自由电子的解,（零级近似中，电子被看成是,自由粒子，能量本征值,作为,k,的函数具有抛物线形式,）：,7,零级近似,(,自由粒子,),中，电子能量本征值作为,k,的函数具有,抛物线形式,波函数满足正交归一条件：,E,(,k,),k,0,由于零级近似下的解相当于是自由电子的解，所以称为近自由电子近似。,8,2,、微扰论的一级修正（和二级修正）：,a),能量一级修正,：,b),能量二级修正：,c),波函数一级修正：,其中微扰项：,I.,一级能量修正,:,为零,9,II,、,能量的二级修正：,a.,b.,二级微扰能：,10,i,：,原来较低的 态微扰使它下降为：,微扰下的电子能量就可写成：,ii,：,原来较高的 态微扰使它更高为：,差别为,11,带,3,：,带,2,：,带,1,：,在近自由电子近似中，在晶体中运动的共有电子被看成是近自由电子。所有电子及原子实产生的场是具有晶格周期性的等效势场，周期性势场的起伏对共有化电子,运动状态的影响看成微扰。晶体中的电子就是在一个具有晶格周期性的等效势场中运动。在周期性微扰作用下，电子准连续的能级在,布里渊区边界处,（对于一维单原子链是在,n,/a,处）分裂成一个个能带，能带间隔为,12,三、紧,束,缚近,似（,TBA,）模型,和近自由电子近似认为原子实对电子的作用很弱相反,，我,们假定原子实对电子的束缚作用很强，因此，当电子距某个原子实比较近时，电子的运动主要受该原子势场的影响，受其它原子势场的影响很弱。因此电子的行为同孤立原子中电子的行为更为相似。这时可将孤立原子看成零级近似，而将其他原子势场的影响看成小的微扰，由此可以给出电子的原子能级和晶体能带之间的相互联系。这种方法称为紧束缚近似,(,Tight Binding Approximation,),。,13,紧束缚近似的出发点是：电子在一个原子附近时，将主要受到该原子势作用，其它原子势作用弱，可当作微扰作用。此时晶体中电子的波函数不能用自由电子波函数表示，而是,应用所有原子的电子波函数的线性组合来表示，,即：,式中， 是晶体中第,m,个原子的位矢，,是将该原子视为孤立原子时,自由原子波函数,。它应,该满足如下方程：,其中，,是第,m,个原子势， 是与本征态 相对应,的本征能量（能级）。该式完全忽略了其它原子的影响。,14,当晶体由,N,个原胞，每个原胞由一个原子组成时，显然将有,N,个具有相同能量 的束缚态波函数 ，所以,在不考虑原子之间的相互作用时，晶体中的电子构成了一个,N,度简并的系统。但实际晶体中的原子并不是真正孤立的，由于其它原子势场的微扰作用，简并状态将消除，而形成由,N,个不同支能级构成的能带。,对这样一个由,N,个原子组成的晶体，其晶体势场应由各原子势场相加而成，并具有和晶格相同的周期性：,15,晶体中电子的薛定鄂方程为：,在,紧束缚近似中，我们将孤立原子看成零级近似，而将其他原子势场,U,(,r,)-,V,(,r,-,R,m,),的影响看成微扰,。由于电子可以环绕不同的格点运动，而环绕不同的格点可得到,N,个类似的原子波函数，它们具有相同的能量,，即这,N,个态的能,量是简并的，晶体中的电子构成了一个,N,度简并的系统。,16,把原子间的相互影响当作微扰,则：,代入晶体中电子的波动方程，并利用原子波动方程得,通过解上述方程得：,17,R,s,近邻格矢,，一般只需保留到近邻项，而略去其他影响小的项,显然共振积分值只有当它们有一定相互重叠时，才不为零。当,R,s,0,时，两波函数完全重叠。,叫,共振积分,，是,近邻格点的相互作用,，也是能带出现的重要原因，是,能带形成的根源,。,（库伦积分）,18,对于原子的内层电子，由于其电子轨道较小，不同原子间电子波函数重叠很少，因而形成的能带较窄。这时，原子能级与能带之间有简单的一一对应关系。 但是，对于外层电子，由于其电子轨道较大，不同原子间电子波函数就有较多的重叠，,因而形成的能带就较宽。这时，原子能级与能带之间就比较复杂，不一定有简单的一一对应关系。一个能带不一定与孤立原子的某个能级相对应，可能会出现能带的重叠。,E,原子能级与能带的对应,19,谢谢！,