现代金融理论-期权的基本概念和定价分析

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第,7,章,期权的基本概念和定价分析,Black-Schole,原假设,改变的情况,贡献者,(1)无风险利率为定常数,无风险利率满足随机的情形,Merton（1973）,(2)连续模型,离散的二项式定价方法,Cox、Ross,和,Rubinstein（1977）、Rendleman,和,Barter（1977）,数值解法和近似解法,Barone-Adesi,和,Whaley（1987），Omberg（1987）,和,Chaudhury（1995）,(3)根本证券不支付红利,考虑根本证券支付红利的看涨期权定价公式,Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）,(4)欧式看涨期权,美式看跌期权,Parkinson（1977）,美式期权最优提早执行的条件,Cox,和,Rubinstein（1985），Geseke,和,Shastri（1985）,亚式期权,Turnbull and Wakeman(1991)，Levy(1992)，Vorst(1992, 1996)，Milesky and Posner(1998),扩散跳空方程(,Diffusion-Jump Model),Merton（1976）,根本证券价格动力学满足双变量和多变量,Ornstein-Uhlenbeck,基础上,Andrew,和,Wang（1995）,(6)波动率为定常数,波动率为随机变动的期权定价公式,Hull,和,White（1990）,(7)不存在交易成本,交易成本与根本证券价格成比例的单阶段期权定价公式,Merton（1990）,将,Merton（1990）,的方法推广到多阶段情形,Boyle,和,Vorst（1992）,(8)股票期权,外汇期权,Garman and Kohlhagen(1983),期货期权,Lieu（1990）、Chaudhury,和,Wei（1994）,Black-Schole,原假设,改变的情况,贡献者,(1)无风险利率为定常数,无风险利率满足随机的情形,Merton（1973）,(2)连续模型,离散的二项式定价方法,Cox、Ross,和,Rubinstein（1977）、Rendleman,和,Barter（1977）,数值解法和近似解法,Barone-Adesi,和,Whaley（1987），Omberg（1987）,和,Chaudhury（1995）,(3)根本证券不支付红利,考虑根本证券支付红利的看涨期权定价公式,Roll（1979）、Geseke（1979）、Whaley（1981）,(4)欧式看涨期权,美式看跌期权,Parkinson（1977）,美式期权最优提早执行的条件,Cox,和,Rubinstein（1985），Geseke,和,Shastri（1985）,亚式期权,(5)假设股票价格为对数正态分布,股票价格为对数泊松分布时纯跳空期权定价模型(,Pure Jump Model),Cox,和,Ross（1976）,扩散跳空方程(,Diffusion-Jump Model),Merton（1976）,根本证券价格动力学满足双变量和多变量,Ornstein-Uhlenbeck,基础上,Andrew,和,Wang（1995）,(6)波动率为定常数,波动率为随机变动的期权定价公式,Hull,和,White（1990）,(7)不存在交易成本,交易成本与根本证券价格成比例的单阶段期权定价公式,Merton（1990）,将,Merton（1990）,的方法推广到多阶段情形,Boyle,和,Vorst（1992）,(8)股票期权,外汇期权,Garman and Kohlhagen(1983),期货期权,Lieu（1990）、Chaudhury,和,Wei（1994）,6.1,独特性,（1）期货特性：线性,10000,7500,5000,2500,0,(2500),(5000),(7500),(10000),94.00,95.00,96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.00,102.00,结算价格,最终支付（马克）,多头,空头,图4-1 债券期货合同双方的交付,(2) 期权特性：左右不对称，非线性,10000,7500,5000,2500,0,(2500),(5000),(7500),(10000),94.00,95.00,96.00,97.00,98.00,99.00,100.00,101.00,102.00,最终支付（马克）,多头,空头,结算价格,图4-2 国债（期货）期权合同双方的交付,期权特性：左右不对称，非线性,4。0,3。0,2。0,1。0,0,-1。0,-2。0,-3。0,-4。0,6.00,7.00,8.00,9.00,10.00,11.00,12.00,13.00,14.00,最终支付（马克）,多头,空头,结算价格,股票期权合同双方的交付，执行价为10,（3）期货与期权的根本区别：,期货同时有权利和义务,期权将权利和义务分离,利润,损失,期货价格,权利,义务,期货多头,期货空头,图4-3 期货：权利和义务结合,图4-4 期权：权利和义务分离,利润,期货价格,只有权利,多头看涨,多头看跌,利润,损失,期货价格,只有,义务,空头看跌,损失,期权买方,期权卖方,空头看涨,6.2 基本概念,看涨期权和看跌期权,持有一份看涨期权是：,买的权利,一定数量的对应资产,一定的价格,在给定日期或者之前执行,注意：看涨期权的买方有权利而没有义务,持有一份看跌期权是：,卖的权利,一定数量的对应资产,一定的价格,在给定日期或者之前执行,注意：看跌期权的买方有权利而没有义务,欧式,：只能在到期日行使的期权,美式,：在到期日前任何一天都可以行使的期权,权利金,（期权价格或期权费）：买方为了获得期权支付给卖方的费用,交割价格,（执行价格）：行使期权的价格，通常事先确定,内在价值,：如果期权立即执行其正的价值,时间价值,：权利金超过内在价值的值,价内,（折价）：有内在价值,价外,（溢价）：没有内在价值,平价,：行使价格等于相关资产价格,图,4-5,期权的基本交付模式,买入看跌,买入看涨,卖出看跌,卖出看涨,图,6-6,价内、价外和平价期权的关系,价外,价内,平价,看涨期权价值,看跌期权价值,交割价格,交割价格,平价,价内,价外,对应资产价格,对应资产价格,6.3,到期日的价值和利润模式,图4-7 美元对马克看涨期权的价值,0.3500,0.3000,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,-0.0500,-0.1000,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,0.3000,期权费,平衡点,图,6-8,表4-1 不同交割价格期权的期权费,交割价格,期权费,价内,平价,价外,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,0.2200,0.1300,0.0600,0.0200,0.0100,图4-9 五种美元对马克看涨期权的利润模式,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,-0.0500,-0.1000,0.3000,-0.1500,-0.2000,-0.2500,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,对应资产价格（美元/马克）,利润（马克）,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,图4-10 美元对马克看跌期权的利润模式,0.3500,0.3000,0.2500,0.2000,0.1500,0.1000,0.0500,0.0000,0.4000,-0.0500,-0.1000,-0.1500,1.40,1.45,1.50,1.55,1.60,1.65,1.70,1.75,1.80,1.85,1.90,1.95,2.00,利润（马克）,对应资产价格（美元/马克）,1.5000,1.6000,1.7000,1.8000,1.9000,中值=10%,标准差=20%,图4-11 收益率的正态分布,中值=112.75,标准差=22.78,图,6-12,价格的对数正态分布,概率密度,图,6-13,价外结果的对数正态分布,中值=112.75,标准差=22.55,概率,图,6-14,对应资产价格的分布,概率=0.66,期权价值,概率,图4-15 期权价值的分布,模型假设：,根本资产可以自由买卖,根本资产可以卖空,在到期前根本资产没有任何收益,资金的借贷适用相同的无风险利率且为连续复利,欧式期权，即在到期前不能执行,没有任何税赋、交易成本或保证金,根本资产价格是时间的连续函数，不会出现跳动或间断情况,根本资产的波动率、利率在契约期间不变,放宽假设：,根本资产买卖有约束,根本资产不能卖空,在到期前根本资产有收益或红利,资金的借贷无风险利率不相同,美式期权，即在到期前可以执行,有税赋、交易成本或保证金,根本资产价格出现突变,根本资产的波动率、利率均为随机过程,理论推导,(1) 布朗运动的假设,关键在 , 用 是否可行,是正态分布 零均值 方差为1,（2）股票价格过程的假设,几何布朗运动,(3) Ito过程,设,设G是x和t的函数，则有,多元函数 泰勒展开：,用,并把 代入,更高阶无穷小量,ITO,定理 的 特 例 应 用,ITO,定理在远期合约中的应用,从方程,得到,ITO,定理应用于股票价格对数变化,G=,ln,S,Black-Scholes,微分方程的推导,(式*1),(式*2),恰当的证券组合应该是:,-1:衍生证券,:股票,此证券组合的持有者卖出一份衍生证券,买入数量为 的股票。定义证券组合的价值为 。根据定义：,时间后证券组合的价值变化 为:,(式*3),将方程(式*1)和(式*2)代入方程(式*3), 得到,对欧式看涨期权, 关键的边界条件为:,当,t=T,时,对欧式看跌期权, 边界条件为:,当,t=T,时,案例2,阿莱商品公司发行可售回股票,阿莱商品公司发行可售回股票,1984年11月，德莱克塞尔投资银行在帮助阿莱商品公司（,Arley Merchandise Corporation）,进行600万股的股票首次公开出售时，设计了可售回股票。即阿莱商品公司的普通股与一份看跌权同时出售。普通股的售价是每股8美元，看跌期权则是给予投资者在两年之后按8美元的价格将其持有的普通股出售给发行公司的权利。在这两年内投资者无权行使该权利，只有在满两年时，即1986年11月，投资者才能行使期权。这样。投资者在这两年的投资每股至多损失时间成本，即利息。,当时，阿莱商品公司之所以愿意提供这样的承诺，是因为老股东不愿意以每股低于8美元的价格出售普通股，但德莱克塞尔投资银行却认为，按当时的市场情况，阿莱的股票仅能以每股6美元左右的价格出售。为了满足阿莱的要求，德莱克塞尔投资银行便设计了可售回股票。结果，阿莱的股票顺利的以每股8元的价格销售一空。,1984年11月15日，阿莱公司的股票在美国股票交易所,AMSE,上市。当天股价跌至7.625美元。在新股的适应期内，阿莱的股票不象一般的,IPO,股票一样：阿莱的股票迅速下挫至每股6美元这正是德莱克塞尔投资银行的预测值。其后的一年半内，该股票始终在6美元左右徘徊，从1986年4月开始，它开始小幅攀升。,1986年8月16日，阿莱公司董事会接受了该公司的中层经理提出的管理层收购方案（,MBO）。,这些经理斥资4870万美元，以每股10美元的价格购买阿莱公司。于是，在其可售回股票的执行期内，阿莱公司的股价在910美元之间盘整，故“售回”没被执行。,阿莱公司的老股东和经理相对外部投资者而言，均是所谓的“内部人”，经理们愿意以每股10美元实施收购，足以证明其真实的股票价值断然不至市场预测的每股6美元。这个案例说明可售回股票的确有助于缓解公司内外的信息不对称问题，避免股价的低估 。,4.4 期权平价定理,4.5 股票期权价格的特征,一 、 影响期权价格的因素,股票价格和执行价格,到期期限,波动率,无风险利率,红利,表4-2 一个变量增加而其他变量保持不变 对股票期权价格的影响,二 假设和符号,为分析问题，可以合理地假定,不存在套利机会,以下字母的含义为：,S：,股票现价,X：,期权执行价格,T：,期权的到期时间,t:,现在的时间,S,T,：,在,T,时刻股票的价格,r:,在,T,时刻到期的无风险利率,C：,一股股票的美式看涨期权的价值,P：,一股股票的美式看跌期权的价值,c:,一股股票的欧式看涨期权的价值,p:,一股股票的欧式看跌期权的价值,:股票价格的波动率,三、,期权价格的上下限,1 期权价格的上限,股票价格是期权价格的上限:,2. 不付红利的欧式看跌期权的下限,对于不付红利的欧式看跌期权来说，其价格的下限为：,假定,S=$37，X=$40，r=5%,，,T-t=0.5,Xe,-r(T-t),- S,= 40e,-0.05*0.5,-37 = 2.01,或 $2.01,如果欧式看跌期权价格$1.00 $2.01(理论最小值),套利者可借入六个月期的$38.00，购买看跌期权和股票。,在六个月末,套利者将支付$38,e,0.05*0.5,=$38.96。,如果股票价格低于$40.00,套利执行期权以$40.00卖出股票，归还所借款项本金和利息，,其获利为：$40.00-$38.96=$1.04,如果股票价格高于$40.00，套利者放弃期权，卖出股票并偿付所借款项本金和利息，甚至可获得更高的利润。,例如，如果股票价格为$42.00，则套利者的利润为：$42.00-$38.96=$3.04,考虑下面两个组合：,组合,C：,一个欧式看跌期权加上一股股票,组合,D：,金额为,Xe,-r(T-t),的现金,如果,S,T,X，,在,T,时刻看跌期权到期价值为零，该组合的价值为,S,T,。,因此，组合,C,在,T,时刻的价值为：,max (,S,T, X,),假定现金按无风险利率进行投资，则在,T,时刻组合,D,的价值为,X。,因此，在,T,时刻组合,C,的价值通常不低于组合,D,的价值，并且有时组合,C,的价值会高于组合,D,的价值。,在不存在套利机会时，组合,C,的现在价值一定高于组合,D,的现在价值。因此：,p+SXe,-r(T-t),或,pXe,-r(T-t),-S,由于对于一个看跌期权来说，可能发生的最坏情况是期权到期价值为零,所以期权的价值必须为正值，即,p0,这意味着：,pmax(Xe,-r(T-t),-S,0),式（*1）,3. 不付红利的看涨期权的下限,不付红利的欧式看涨期权的下限是,例,考虑一个不付红利的股票的美式看涨期权,此时股票价格为$51时，执行价格为$50,距到期日有六个月，无风险年利率为12,即在本例中，,S$51，X=$50，T-t=0.5，r=0.12。,根据,c max(,S -Xe,-r(T-t,),，0),该期权价格的下限为,S-Xe,-r(T-t),或51-50,e,-0.12*0.5,=$3.91,四、,提前执行,：提前执行不付红利的美式看涨期权是不明智的。,考虑一个不付红利股票的美式看涨期权，距到期日还有1个月，股票价格为$50，执行价格为$40。期权的实值额很大，期权的持有者可能很想立即执行它。,那些确实想持有股票的投资者将会购买该期权。这类投资者是一定存在的。否则股票的现价就不会是$50。,CS-Xe,-r(T-t),所以CS-X。,如果提前执行是明智的，那么C应该等于S-X。,我们的结论是：提前执行是不明智的。,图,6-16,股价为,S,的不付红利股票的美式或欧式看涨期权的价格变化,五、 提前执行：,提前执行不付红利的看跌期权,可能是明智的。,提前执行不付红利的看跌期权可能是明智的。,事实上，在期权有效期内的任一给定的时刻，如果看跌期权的实值额很大，则应提前执行它。,考虑一个极端的例子,假定执行价格为$10，股票价格接近为0。,通过立即执行期权，投资者可立即获利$10,如果投资者等待，则执行期权的盈利可能低于$10，但是由于股票价格不可能为负值，所以盈利不会超过$10。,另外，现在收到$10比将来收到$10要好。,这说明该期权应立即执行。,图,6-17,股价为,S,的美式看跌期权的价格变化图,图,6-18,股价为,S,的欧式看跌期权的价格变化图,六、美式看涨期权和看跌期权之间的关系,看涨与看跌期权之间平价关系仅适用于欧式期权。,但也可推导出不付红利股票的美式期权价格之间的某种关系。,S-XC-PS-Xe,-r(T-t),式（*2）,例,考虑不付红利股票的美式看涨期权，执行价格为$20，到期期限为5个月，期权价格为$1.5。,则同一股票相同执行价格和到期期限的欧式看涨期权的价格也是如此。,假定股票的现价为$19，无风险年利率为10。,根据,C+Xe,-r(T-t),=P+S，,执行价格为$20，到期期限为5个月的欧式看跌期权的价格为：1.5020,e,-0.1*0.4167,-19 = $1.68,根据式（*2）,19 - 20 ,C - P ,P-C 0.18,这表明,P-C,在$1.00和$0.18之间。,由于,C,为$1.50，,P,必须在$1.68和$2.50之间,换句话说，与美式看涨期权执行价格和到期期限相同的美式看跌期权价格的上限和下限分别为$2.50和$1.68。,七、红利的影响,用字母,D,表示在期权有效期内红利的现值,为此，人们假定在除息日发放红利。,1. 看涨期权和看跌期权的下限,2. 提前执行,3. 看涨与看跌期权之间的平价关系,1.,看涨期权和看跌期权的下限,c S-D-Xe,-r(T-t),p D+Xe,-r(T-t),-S,2.,提前执行,当预期有红利发放时，我们不再肯定美式看涨期权不应提前执行。,有时在除息日前，立即执行美式看涨期权是明智的。,这是因为发放红利将使股票价格跳跃性下降，使期权的吸引力下降。,3.,看涨与看跌期权之间的平价关系,c+D+Xe,-r(T-t),=p+S,S-D-XC-PS-Xe,-r(T-t),6.6,二项式定价,100,120,90,风险资产,期权,C,20,0,图4-,20,一期二项程序具体举例,考虑这样一个资产组合,（1）以价格,C,卖出三口看涨期权(100),（2）以价格100买进两个单位的根本资产,（3）以10%的利率借入资金163.64,100,120,90,风险资产,期权,C,144,108,81,上升,C,下降,44,8,0,图,6,-,21,两期二项期权定价,C,120,144,108,风险资产,期权,C,44,8,图,6,-,22,两期二项期权定价右上方分支,100,120,90,风险资产,期权,C,29.09,4.85,图,6,-2,3,两期二项期权定价左方分支,100,120,90,风险资产,期权,19.10,144,108,81,4.85,29.09,44,8,0,套头率=1,套头率=0.30,套头率=0.81,图,6,-2,4,两期二项期权定价完整过程,100.00 100.00 100.00 100.00 100.00 100.00,106.53,106.53,106.53,106.53,106.53,93.87,93.87,93.87,93.87,93.87,113.48,113.48,113.48,113.48,120.89,120.89,120.89,120.89,128.79,128.79,128.79,137.19,137.19,137.19,146.15,146.15,155.69,155.69,165.86,176.69,113.48,128.79,146.15,165.86,188.22,88.12,88.12,88.12,88.12,88.12,82.72,82.72,82.72,82.72,77.65,77.65,77.65,77.65,72.89,72.89,72.89,68.42,68.42,68.42,64.23,64.23,60.29,60.29,56.60,53.13,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,表,6,-3 十步二项模型定价资产价格,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,0.00,8.79,26.15,5.03,2.88,1.65,0.94,0.54,0.31,0.18,18.63,12.76,8.50,5.55,3.57,2.27,1.43,0.89,45.86,37.12,29.00,21.90,16.08,11.51,8.08,5.57,3.78,2.54,68.22,58.12,48.70,39.94,31.97,24.99,19.09,14.29,10.50,7.58,5.40,10,9,8,7,6,5,4,3,2,1,0,表,6,-4 十步二项模型定价期权价值,步数,期权价格,0,10,20,30,40,50,60,70,80,90,100,图,6-25,二项模型的可靠性,6.7,价格波动,期权定,价模型,期权费,对应资产价格,交割价格,到期日,波动率估计,利率,“向前”,期权定,价模型,期权费,对应资产价格,交割价格,到期日,波动率估计,利率,“向后”,图,6,-26 通过期权定价模型计算隐含波动率,案例 外汇结构性产品,结构性存款（,DCD,，,又称双币种存款）虽然不是一种规避汇率风险的金融产品，但它目前较普遍地被用在财务管理中，是一种兼有币种转换和提高外汇收益的资金衍生产品。特别适用于当前手头拥有某种外币，并希望在预期的将来把它转换为另一种外币，用以支付应付账款或偿还外债，同时还可以获得较高的存款收益。在这种情况下，客户应选择非常接近于即期汇率的执行汇率价格，以获得较高的存款利率并提高币种转换的可能性。,结构性存款是一种与汇率挂钩的投资性存款方式，其实质是做了一个看涨期权空头（客户卖出一份看涨期权给银行），结构性存款中客户虽然冒了币种转换的风险，但其基础货币的收益有可能比常规收益高出近10倍。,该产品的操作方式是，投资者将某种基础货币存入代理行。参考当前汇率，通过选择汇率浮动范围确定执行汇率，一般范围选择得越小，则可能得到的存款报价就越高（其中原因将在下文解释）。,在存款到期日，客户可以获得当初与代理行之间约定的较高的存款利率，同时，在存款到期日，银行有权选择支付存款本金的币种。如果实际汇率超出了当初约定的汇率，则其基础货币就被转换为当初约定的转换货币；反之，银行支付原存款币种给存款人。,下面以2003年3月21日/24日的汇率为例，分别列出了,EUR/USD，USD/JPY，GBP/USD,和,AUD/USD,的报价（见表-至表-）。该报价中对基础货币的存款量要求为30万美元至100万美元，大于100万美元，则报价利率在列示利率上再加050%（见表-）。,表,1,-5,EUR/USD,结构性存款报价,EUR/USD,3月21日,转换汇率,4月2日/4月4日,4月16日/4月22,EUR deposit,+100,pips,10730,1111%,826%,USD deposit,-50,pips,10580,1491%,995%,汇 率,2周,exp/del,1个月,exp/del,+50,pips,10680,1523%,1017%,现汇参考 10630,-100,pips,10530,1033%,769%,表1-6,USD/JPY,结构性存款报价,2周,exp/del,1个月,exp/del,USD/JPY 3,月24,转换汇率,4月2日/4月4日,4月16日/4月22,USD deposit,+100,pips,11980,997%,667%,+50,pips,11930,1488%,857%,现汇参考 11880,JPY deposit,-50,pips,11830,1467%,865%,-100,pips,11780,976%,667%,表1-7,GBP/USD,结构性存款报价,GBP deposit,+100,pips,15760,957%,728%,USD deposit,-50,pips,15610,1221%,837%,2周,exp/del,1个月,exp/del,GBP/USD 3,月21日,转换汇率,4月2日/4月4,4月16日/4月22,+50,pips,15710,1253%,861%,现汇参考 15660,-100,pips,15560,909%,679%,表,1,-8,AUD/USD,结构性存款报价,AUD/USD 3,月21,转换汇率,4月2日/4月4日,4月16日/4月22日,+100,pips,06030,728%,685%,现汇参考 05930,-50,pips,05880,1234%,961%,2周,exp/del,1,M exp/del,AUD deposit,+50,pips,05980,1276%,964%,USD deposit,-100,pips,05830,590%,578%,表1-9 目前一个月存款参考利率,USD,EUR,AUD,GBP,JPY,131%,228%,431%,325%,052%,以美元为例，比较结构性存款的利率与普通定期存款的利率。在汇率范围选择为50,pips,时，结构性美元存款的两周存款利率按年利率可达1488%，而个月的存款利率也达到了857%。相比之下，美元普通个月存款的利率只有131%，两者相比，相差几乎十倍。,（2）,结构性存款报价分析,影响,DCD,报价的因素主要是执行价格和存款期。执行汇率越靠近即期汇率，则存款利率越高；存款期越长，存款利息绝对值越大，但一般情况下，单位时间存款利率随着存款期的延长反而降低。例如，,USD/JPY,结构性存款报价中，时间长度是2周的年利率为1488%，而时间长度是1个月的年利率仅为857%。,执行汇率对价格的影响,由于结构性存款的核心是客户出售一个看涨期权给银行，因此银行报价的基础是期权价格。购买期权合约的一方（即银行）持有期权多头头寸，而出售或承约期权合约的一方持有期权空头头寸（即选择做,DCD,的客户）。期权的出售方事先收取现金（期权费），对于,DCD,，,客户从银行处获得了较高的存款利率回报，但随后则具有潜在的责任。期权出售方的损益状态与期权购买方的损益状态正好相反。,以上述存款本金为美元，兑换货币为日元的报价为例。3月24日美元对日元的汇率参考价为11880，如果客户选择了50点的汇率作为交割汇率即11930，则银行存款利率的报价为1488%；如果客户选择了100点的汇率作为交割汇率即11980，则银行存款利率的报价为997%。显然50点的报价比100点的报价高。,款期限对价格的影响,上述报价单中，存款利率随着存期的延长反而降低，这与一般的存款不同，因为对于一般的银行存款，存款期越长，则存款利率越高。这一现象，可以通过高曼哥哈根模型来解释。,期权价格与,S， X， r,b,， r,p,， t， ,有关，一般情况下当,S， X， r,b,， r,p,固定时， 期限,t,越长，波动率,越大，则期权价格越高，但是，,t,与,C,之间并非线性关系，也就是当存款期从一个星期增加到两个星期，期权价格虽然也会增长，但不会同时增长一倍。除了,t，,波动率,也同时对期权价格,C,产生影响。一般银行计算期权价格时使用的隐含波动率采用了当天市场价，在一般情况下，短期的隐含波动率大于长期的隐含波动率。上述两个因素决定了当存款期延长，虽然绝对利息收入增加，但单位时间存款利率却反而降低。,结构性存款的定价,（）定价计算,由于结构性存款是一个看涨期权空头，低于执行价格时，看涨期权的卖出方收取了期权费。所以，银行对结构性存款的定价完全建立在它所收取的期权费的基础上，结构性存款的定价就变为计算看涨期权的期权费,C。,（）高曼哥哈根模型,式中：,C,表示期权价格，,S,表示即期汇率，,X,表示执行汇率，,r,b,表示基础货币的连续复合利率，,r,p,表示定价货币的连续复合利率。,在上述公式中，只有一个参数不能从市场中直接观察到，这就是波动率，它是用来衡量未来汇率价格变动的不确定性。随着波动率的增加，看涨期权和看跌期权的价值都会增加。波动率有多种计算方法，从历史数据估计波动率、波动率微笑曲线、波动率的期限结构和波动率矩阵等。,这里利用市场隐含波动率计算期权价格。根据当天,Reuter,上的即时报价，市场隐含波动率为985%。分析以美元为基础货币，日元为兑换货币，交割汇率为100,pips，1,个月到期的结构性存款利率报价，必须计算该产品中的期权价格。,S11880， X11980， 985%， t008333，,r,p,005188%， r,b,130875%,=-03174,假设美元存款,30,万，则期权收益为美元（,5,日元），折算为存款利率约为,8,4%,（年利率）。银行在,2003,年,3,月,24,日对美元个月结构性存款利率的报价为,6,67%,（存款额,30,万美元至,100,万美元），银行赚取了约,7%,的年率收益。,在2003年4月24日，如果汇率大于11980，则美元以11980被兑换成日元，公司获得比在3月24日以11880兑换成日元更合算的兑换比例，并且可以获得年667%的利息，比日元存款利率005188%和美元存款利率130875%高得多。如果汇率小于11980日元美元，公司仍然可以保留美元，但可以获得年667%的利息，同样比日元存款利率005188%和美元存款利率130875%高得多。如果汇率等于11980，公司可以兑换日元，也可以保留美元，但仍然可以获得年利率667%的利息。同理可以计算不同执行汇率，不同基础货币的结构性存款的价格。,布莱克斯科尔斯定价模型虽然解决了期权定价的计算问题，但是该模型应用的前提条件是资产收益率服从对数正态分布。如果这一假设不成立，那么该模型给出的价格就可能存在偏差。而大量实证检验表明资产收益率分布具有尖峰胖尾的特征，并不服从对数正态分布。由于上述的肥尾现象，布莱克斯科尔斯模型给出的价格就会低估虚值与实值看涨期权和看跌期权的价格。上述利用市场隐含波动率计算期权价格就是这个道理。,如果不利用市场隐含波动率，而利用50个连续交易日的汇率价格的每日数据，计算2003年3月24日,USD/JPY,汇率的波动率，得到历史波动率,742%。,下面利用历史波动率计算期权价格，并与上述用市场隐含波动率计算而得的存款利率进行比较。其中，仍假设基础货币为美元，兑换货币为日元，交割汇率为100,pips。,S11880，X11980，742%，t008333，,r,p,005188%，r,b,130875%,期权价格为,0,5539,日元。假设做期权的金额为,0,万美元，则个月期权收益为,1399,美元（,166170,日元），折算为存款利率约为年利,5,60%,，与利用市场隐含波动率计算而得的存款利率,8,74%,相比，低了,3,14%,，这就是利用历史波动率所产生的定价偏差,布莱克斯科尔斯定价模型的不完美性，使实际从业人员在日常操作中，需要在通常偏差之上改变波动率参数以反映市场最新的信息。实际从业人员和研究人都发现隐含波动率依赖于执行价格（波动率微笑效应）和有效期限长度（期限结构效应）。利用波动率矩阵可以进一步处理模型的不完美之处。用最新的隐含波动率数据可以构造这些矩阵，这些矩阵综合考虑了波动率微笑和波动率期限结构。,6.8,到期日前的期权价格,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7000,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 德国马克),期权价值 ( 德国马克,),270天,90天,30天,到期,图,6,-27,期权到期日前的价值,时间价值,内在价值,因持有人可以推迟决定是否行使期权而形成的价值,因持有人可以推迟出售或购买对应资产带来的现金流而形成的价值,，,即,持有成本,期权独有的,现金工具期权的重要特征,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 德国马克),期权价值 ( 德国马克 ),1.7000,时间价值,内在价值,图,6,-28 看涨,期权的内在价值和时间价值,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7000,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 德国马克),期权价值 ( 德国马克 ),负时间价值,正时间价值,时间价值,内在价值,图,6-29,看跌期权的内在价值和时间价值,步数,对应,资产,套头率,交易,资产,所持资,产价值,套头现,金流量,期权现,金流量,总现金,流量,现金流量,的现在值,0,1,2,3,4,5,100.00 0.4309 0.4309 43.09 -43.09 0.00 -43.09 -43。09,111.74,0.6269,0.1961,70.06,-21.91,-21.91,-21.65,120.95,0.7592,0.1323,91.83,-16.00,-16.00,-15.62,118.07,0.6985,-0.0607,82.47,7.17,7.17,6.92,116.08,0.6395,-0.0590,74.24,6.85,6.85,6.53,116.73,0.6279,-0.0116,73.29,1.36,1.36,1.28,表,6-,对空头看涨期权进行积极套头交易,步数,对应,资产,套头率,交易,资产,所持资,产价值,套头现,金流量,期权现,金流量,总现金,流量,现金流量,的现在值,6,7,8,9,10,到期日,106.06 0.3210 -0.3069 34.24 32.73 32.73 30.46,108.86,0.3135,-0.0075,34.13,0.81,0.81,0.75,115.29,0.4531,0.1396,52.24,-16.09,-16.09,-14.62,124.79,0.802.9,0.3498,100.19,-43.65,-43.65,-39.18,137.91,1.00,0.1971,137.91,-27.18,-27.18,-24.11,-1.0000,0.00,137.91,120.00,106.43,-17.91,净现值,-5.90,表,6-,对空头看涨期权进行积极套头交易,平均=-5.40,净现值,图,6-30,套头成本的分布,6.9,期权的行为,一个例子,某金融机构出售了基于100,000股不付红利股票的欧式看涨期权，获利$300,000。,假设在股票市场股票价格是$49,执行价格是$50,无风险利率是年利率5%,股票价格波动率是每年20%,距到期时间还有20周,股票的期望收益率是每年13%,使用一般的符号，这意味着：,S=$49, X=$50, r=0.05,=0.20, T-t=0.3846, =0.13,金融机构一般情况下很少出售基于单种股票的看涨期权。,但用基于一种股票的看涨期权作为例子便于我们展开讨论，所得结论也适用于其它类型的期权和衍生证券。,由,Black-Scholes,定价模型可知该期权的价格大致为$240,000。,这家机构因此以比该期权理论价值高出$60,000的价格出售了该期权，同时面临着如何对冲其暴露头寸的问题。,模拟过程,假设保值过程为每周调整一次。,在表13.2中，,Delta,的初始计算值为0.522。意味着在出售看涨期权的同时，必须借进$2,577,800并按$49价格购买52,200股股票。,第一周内发生的利息费用为$2,500。,到第一周末，股票价格下降到$48(1/8)。,这使得,Delta,值相应减少到0.458，要保持,Delta,中性，此时应出售6,400股股票。以上操作得到$308,000的现金。,在第一周末累计借款余额为2,252,300。,在第二周内，股票价格下降到$47(3/8),Delta,值又减小了，如此等等。,在期权临近到期时，很明显该期权将被执行，,Delta,接近1.0。,因此，到20周时，套期保值者具有完全的抵补期权头寸。,套期保值者持有股票的收入为$5,000,000，因此出售该期权并对冲该期权风险的总计支出为$263,400。,表,6- Delta,对冲的模拟；期权接近于实值期权状态；对冲成本$263,400,表4-7,Delta,对冲的模拟；期权接近于虚值期权状态；对冲成本$256,600,裸期权头寸策略（,naked position）,如果看涨期权被执行，该金融机构不得不以当前的市场价格购买100,000股与该期权头寸对冲，其损失为股票价格超出执行价格部分的100,000倍。,例如，若20周末到期时股票价格为$60，金融机构的期权成本为100,000($60-$50)=$1,000,000，这远远高出先前的期权费收入$300,000。,若20周末到期时股票价格低于$50，裸期权头寸策略将运行得很有效。,该期权不会被执行，金融机构分文无损，整个交易中金融机构净获利 $300,000。,抵补期权头寸策略（,covered position）,所做的就是在出售看涨期权的同时购买100,000股股票。,如果到期时该期权被执行，这个策略很有利，但在其余情况下，代价就会很昂贵。,例如，如果股票价格降低到$40， 该机构在股票头寸上的损失将比$300,000高许多。,从看涨期权与看跌期权之间的平价关系，也可以看出出售一个抵补看涨期权头寸风险暴露与出售一个裸看跌期权头寸风险暴露是相同的。,所以裸期权头寸和抵补期权头寸这两种策略都不是理想的套期保值方法。,若某投资者出售了20份该股票看涨期权合约（20 份股票看涨期权可购买2,000股股票）。,投资者的保值头寸保持,Delta,对冲状态（或,Delta,中性状态）这是因为随着股票价格的变化和时间的流逝，,Delta,值也在不断地变化。实际上，这套期保值操作中，需要定期地调整保值头寸，这种调整称为再均衡（,rebalancing）。,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7000,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 马克),价值 ( 马克 ),270天,30天,=0.12,=0.03,=0.33,=0.60,=0.02,=0.54,=0.98,=1.00,=1.00,=0.92,=0.81,=0. 96,=0.00,图,6-31,显示得尔塔值的利润图,0.0000,0.0200,0.0400,0.0600,0.0800,0.1000,270,240,210,180,150,120,90,60,30,0,价内,平价,价外,=-0.0001,=-0.0002,=-0.00036,=-0.0001,=-0.0001,=-0.0003,=-0.0003,=-0.0002,=-0.0001,=-0.0006,时间价值（马克）,到期日（天）,图,6-32,时间衰减和希塔,0,5,10,15,20,25,30,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,K=0.0019,K=0.0019,K=0.0019,K=0.0019,K=0.0019,K=0.0019,K=0.0050,K=0.0050,K=0.0050,K=0.0050,K=0.0050,K=0.0050,270天,30天,变动率（%）,价值（马克）,图,6-33,对于变动率的敏感性维加,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,270天,30天,马克利率（%）,价值,（马克）,=0.0083,=0.007,=0.007,=0.007,=0.0049,=0.0067,图,6-34,对于利率的敏感性罗,买入2000看涨期权，卖出1240资产。,假使一个资产组合的,为 0，,为-3000，有一个看涨期权的,和,分别为0.62和1.50，如何来构造一个,和,中性的组合。,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7000,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 马克),价值 ( 马克 ),270天,30天,=23.8,=31.4,=162.8,=18.2,=13.4,=9.9,=7.4,=5.8,=6.6,=9.3,=42.3,=16.9,=93.8,图,6-35,期权杠杆率伦塔,1.4000,1.4500,1.5000,1.5500,1.6000,1.6500,1.7000,1.7500,1.8000,1.8500,1.9000,1.9500,2.0000,0.0000,0.0500,0.1000,0.1500,0.2000,0.2500,0.3000,0.3500,对应资产价格(美元 / 马克),价值 ( 马克 ),270天,30天,=0.0021,=0.0048,=0.0068,=0.0159,=0.0254,=0.0259,=0,=0.0116,=0.0154,=0.0089,=0.0807,=0,=0,图,6-36,得尔塔的敏感性伽马,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,1.40,1.50,1.60,1.70,1.80,1.90,2.00,对应资产价格 ( 美元 / 马克 ),对应资产价格 ( 美元 / 马克 ),对应资产价格 ( 美元 / 马克 ),对应资产价格 ( 美元 / 马克 ),1天,30天,90天,270天,1天,30天,90天,270天,1天,30天,90天,270天,1天,30天,90天,270天,-0.0005,-0.0004,-0.0003,-0.0002,-0.0001,0.0000,希塔,0.00,0.05,0.10,0.15,0.20,伽马,0.00,0.20,0.40,0.60,0.80,1.00,得尔塔,0.0000,0.0010,0.0020,0.0030,0.0040,0.0050,0.0060,维加,图,6-37,得尔塔、伽马、希塔和维加的比较,6.10,认股权证定价,T,时刻，公司股权值为,V,T,股票数,N,认股权证为,M,每股以,x,的价格执行,每份认股权证可购买,r,股股票,执行后，公司价值,