第二节 线性空间的定义与简单性质

,*,高 等 代 数,1,第二节 线性空间的定义与简单性质,第六章 线性空间,Linear Space,2,一、线性空间的概念,定义 1,设,V,是一个非空集合 ,P,是一个数域 .,在集合,V,的元素之间定义了一种代数运算，叫做,加法,；,这就是说，给出了一个法则，对于,V,中任,意两个元素,与,，在,V,中都有唯一的一个元素,与它们对应，称为,与,的和，记为,=,+,.,在数域,P,与集合,V,的元素之间还定义了一种运算 ,叫做,数量乘法,；,这就是说，对于数域,P,中任一,数,k,与,V,中任一元素,，在,V,中都有唯一的一个,3,元素,与它们对应，称为,k,与,的数量乘积，记,=,k,.,如果加法与数量乘法满足下述规则，那,么,V,称为数域,P,上的线性空间.,加法满足下面四条规则：,1),；,2) (,) , (,)；,3) 在,V,中有一个元素 0，对于,V,中任一元素,都有,+ 0 =,(具有这个性质的元素 0 称为,V,的,零元素,) ；,4,4) 对于,V,中每一个元素,，都有,V,中的元素,，使得, + =,0,(,称为,的,负元素,) .,数量乘法满足下面两条规则：,5) 1,=,；,6),k,(,l,) = (,kl,),.,数量乘法与加法满足下面两条规则：,7) (,k,+,l,),=,k,+ l,;,8),k,(, + ,),=,k,+,k,.,5,在以上规则中，,k,l,表示数域,P,中的任意数 ;,等表示集合,V,中任意元素.,线性空间的元素也称为,向量,.,当然，这里所谓,向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多.,线性空,间有时也称为,向量空间,.,一般用小写的希腊字母, ,表示线性空间,V,中的元素，用小写的,拉丁字母,a,b,c, 表示数域,P,中的数.,6,注,向量空间的定义可简单记为 “,1128,” ，即一个数域,P,，这是基础域； 一个集合,； 两个运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是加法的运算律，这时称,对加法做成一个加群，第五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表示两种运算之间的联系.,7,例 1,在解析几何中， 平面或空间中一切向量组成的集合,V,对于向量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的一个线性空间.,例 3,全体定义在区间 ,a,b,上的连续函数组成的集合,V,对于函数的加法及实数与连续函数的乘法, 构成实数域上的一个线性空间. 用,C,a,b,表示.,例 2,全体,n,维实向量组成的集合,V,对于向量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的一个线性空间.,8,例 4,数域,P,上一元多项式环,P,x,， 按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域,P,上的一个线性空间.,如果只考虑其中次数小于,n,的多项式，再添上零多项式也构成数域,P,上的一个线性空间，用,P,x,n,表示.,但是，数域,P,上的,n,次多项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个,n,次多项式的和可能不是,n,次多项式.,9,例 5,全体数域,P,上的,m,n,矩阵组成的集合,V,，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数,域,P,上的一个线性空间，用,P,m,n,表示.,例 6,全体实函数，按函数的加法和数与函数,的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.,例 7,数域,P,按照本身的加法与乘法，即构成,自身上的一个线性空间.,10,例 8,全体数域,P,上的 2 维向量组成的集合,V,定义数与向量的数量乘法如下:,k, (,a,b,) = (,ka,，0) ,对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量乘法不构成数域,P,上的线性空间.,事实上 , 当,b,0 时,1 (,a,b,) = ( 1,a,，0) = (,a,，0) (,a,b,) .,11,注,例 8 中集合,V,满足线性空间定义中的其他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可由其他七条推出.,在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不是独立的.,证明, 2(,)2,2,(11),(11),(1,1,)(1,1,)(,)(,),(,),12,2(,) (11)(,) (,)(,),(,),.,证毕,13,二、线性空间的简单性质,1. 零向量是唯一的.,证明,假设 0,1,，0,2,是线性空间,V,中的两个零,向量.,于是,0,1,= 0,1,+ 0,2,= 0,2,.,证毕,故零向量是唯一的.,14,2. 任意向量的负向量是唯一的.,假设,有两个负向量,与,，, + =,0，, + =,0 .,那么,证毕,向量,的负向量记为 -,.,证明,则,=,+ 0,=,.,=,+ (, + ,),=(,+,),+ ,= 0 +,利用负向量，定义,减法,如下：,-,=, +,( -,) .,15,3. 0,= 0 ;,k,0 = 0 ; (-1),= -,.,证明, +,0,= 1,+ 0,= (1 + 0),= 1,0,= 0 .,(-1),+,= (-1),+ 1,=(-1) + 1,= 0,=0 ,所以,(-1),= -,.,所以,证毕,=, .,所以,k,0,+,k,=,k,(0 +,),=,k,k,0 = 0 .,16,4. 如果,k,=0，那么,k,= 0 或者,= 0 .,证明,假设,k, 0，于是,k,-1,(,k,),从而,1,= 0 ，,证毕,= 0 .,=,k,-1,0,(,k,-1,k,),=,0，,= 0 .,即,17,