第二章流体静力学

,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第二章 流体静力学,核心问题：,研究流体,静止,时的平衡规律，根据平衡条件确定静,止流体中,压强分布规律,和静止流体对各种固体壁面,的,作用力,。,静止概念：,绝对静止,流体对地球没有相对运动,相对静止,容器及流体整体对地球有相对运动，但流体相对于容器或流体质点之间没有相对运动,本章适用条件：,理想流体，实际流体,具体要求：,（,1,）静压强定义,（,2,）欧拉平衡微分方程,（,3,）静力学基本方程,（,4,）静止流体对各种固体壁面的作用,按力的,物理性,分为：惯性力、重力、弹性力、粘性力,按力的,表现形式,分为：,质量力,、,表面力,2.1.1,质量力（体积力、长程力）,1,、定义,：作用于流体的每个质点上，并与作用的流体,质量,成,正比,。,例如：重力、直线惯性力、曲线惯性力,2,、单位质量力,总的质量力以,F,表示，设,F,在各个坐标轴上的分力为：,F,x,、,F,y,、,F,z,2.1,静止流体上的作用力,单位质量的质量力在各个坐标轴上的分力为：,X,、,Y,、,Z,2.1.2,表面力（接触力、近程力）,1,、定义,：作用于流体表面上，并与受作用的流体,表面积,成正比,2,、分类,：,（,1,）法向力,流体静压力,作用在某一面积上的总压强,流体静压强,作用在单位面积上的静压力,（,2,）切向力,静止流体不存在内摩擦力,图,2.2,静止流体中的微元四面体,3,、静压强的特性,（,1,）静压强的方向永远沿着作用面的内法线方向,方向特性,（,2,）静止流体中任何一点上各个方向作用的静压强大小相等，与作用面方位无关,大小特性,证明思路：,A,、选取研究对象,B,、受力分析（质量力、表面力）,C,、导出关系式：,D,、得出结论,C,O,B,A,选取研究对象,受力分析,导出关系式,得出结论,静止流体中任何一点上各个方向作用的静压强大小相等，与作用面方位无关,大小特性,2.2,流体的平衡微分方程及其积分,2.2.1,欧拉平衡微分方程,1,、取研究对象,：在平衡流体中取一微元,六面体,，边长分别为,d,x,，,d,y,，,d,z,，设中心点,M,的坐标为,M,(,x,y,z,),，,M,1,M,2,的坐标为,M,1,M,2,M,1,M,2,2,、受力分析,表面力,：设,M,点处压强为,p,（,x,，,y,，,z,）,根据泰勒级数则,M,1,处压强,p,1,：,M,2,处压强,p,2,：,M,1,处压力：,p,1,dydz,M,2,处压力：,p,2,dydz,质量力：,设作用在六面体的单位质量力在,x,、,y,、,z,轴上的分量分别为,X,、,Y,、,Z,六面体的体积：,dxdydz,六面体的质量：,dxdydz,则沿,x,轴方向的质量力为：,F,x,=dxdydzX,3,、导出关系式：,P,2,-P,1,+dxdydzX=0,M,1,M,2,4,、流体平衡微分方程（,欧拉平衡微分方程,）：,物理意义：,处于平衡状态的流体，单位质量流体所受的表面力分量与质量力分量彼此相等。,适用范围,：,平衡状态；可压缩或不可压缩流体；理想流体或实际流体,2.2.2,平衡微分方程的积分,将欧拉平衡微分方程中各式，分别乘以,dx,、,dy,、,dz,，然后相加，整理：,因为,p = p(x,y,z),压强微分公式,Xdx,Ydy,Zdz,应为某函数,W,W,（,x,，,y,，,z,）的全微分：,有势函数,当质量力可以用有势函数表示时，称为有势的质量力。,积分得：,p=W,c,（,=c,）,假定平衡液体自由面上某点（,x,0,，,y,0,，,z,0,）处的压强,p,0,及,W,0,为已知，则：,c,p,0,-W,0,p=p,0,+(W-W,0,),欧拉平衡微分方程的积分,2.2.3,等压面,1,、定义,：,同种,连续,静止,流体中，静压强相等的点组成的面。,2,、等压面方程,：,dp=,（,Xdx,Ydy,Zdz,）,0,为常量，则：,Xdx,Ydy,Zdz,0,静止流体中压强,p,的全微分方程,3,、,等压面性质：,等压面也是等势面,（质量力函数等于常数的面）,dW=0,等压面与单位质量力垂直,Xdx,Ydy,Zdz,0,即：质量力在等压面内移动微元长度所作的功为零。,等压面不能相交,两种不相混合液体的交界面是等压面,想一想,1,、在工程流体力学中，单位质量力是指作用在单位重量流体上的质量力。（ ）,2,、惯性力属于质量力，而重力不属于质量力。 （,）,3,、平衡液体的等压面必为（ ）,A.,水平面,B.,斜平面,C.,旋转抛物面,D.,与质量力正交的面,4,、静水压强的特性为,、,。,D,静水压强的方向垂直指向作用面,同一点不同方向上的静水压强大小相等,绝对静止流体,质量力,只有重力,表面力,只有静压力,2.3.1,静力学基本方程,重力作用下静止流体质量力：,X=Y=0,，,Z=-g,代入,压强,p,的微分公式,得：,dp,（,-g,）,dz,-dz,对于不可压缩流体，,为常数。,积分得：,p=-z+c,2.3,流体静力学基本方程,即：,流体静力学基本方程,对,1,、,2,两点：,当,z=0,时，即自由液面处，,p=p,0,代入,静力学基本方程，得,c=p,0,p=p,0,-z,p=p,0,+h,静力学方程基本形式二,p,2,=p,1,+h,h,静力学基本方程的变形,2.3.2,静止液体中压强计算和等压面,1,、绝对静止等压面应满足的条件：,A,、绝对静止；,B,、液体连通；,C,、连通的介质为,同一,均质流体；,D,、同一水平面。,提问,:,如图所示中哪个断面为等压面,?,2,、壁面压强,在静止流体中，压强随着深度成,直线规律,变化,p=p,0,+h,算一算：,如图密闭容器中，液面压强,p,0,9.8kPa,，,A,点压强为,49kPa,，则,B,点压强为,在液面下的深度为,。（液体为水）,39.2kPa,3m,例,1,容重为,a,和,b,的两种液体，盛在如图容器中，各液面深度如图所示。若,b,=9.807kN/m,3,，,大气压强,p,a,=98.07kN/m,2,，求,p,A,及,a,。,例,2.1,：在静止液体中，已知：,p,a,=98kPa,，,h,1,=h,3,=1m,，,h,2,=0.2m,，油的重度为,7450N/m,3,，,C,与,D,点同高，求,C,点的压强及,p,0,。,2.3.3,绝对压强、相对压强、真空度,1,、绝对压强,（,absolute pressure,）：是以,绝对真空状态,下的压强（绝对零压强）为起点计量的压强。,2,、相对压强,（,relative pressure,）：是以当时,当地大气压强,为起点而计算的压强，又称,“,表压强,”,。,p,p-p,a,=h,可,“,”,可,“,”,，也可为,“,0,”,。,3,、真空度,（,Vacuum,）：指某点绝对压强,小于,大气压强时，其小于大气压强的数值。,p,v,p,a,-p,-,p,注意：,计算时若无特殊说明，均采用,相对压强,计算。,问题：,露天水池水深,5,m,处的,相对压强,为：,49kPa,例,2.2,：一封闭水箱，已知箱内水面到,N-N,面的距离,h,1,=0.2m,，,N-N,面到,M,点的距离,h,2,=0.5m,，求,M,点的绝对压强和相对压强；箱内液面,p,0,为多少？箱内液面处若有真空，求其真空度。大气压强,p,a,取,101.3kPa,。,问题：,某点的真空度为,65000 Pa,，当地大气压为,0.1MPa,，该点的绝对压强为：,A. 65000,P,a,；,B. 55000,P,a,；,C. 35000,P,a,；,D. 165000,P,a,。,问题：,绝对压强,p,与相对压强,p,、真空度,p,v,、当地大气压,p,a,之间的关系是：,A.,p,=,p,+,p,v,；,B.,p,=,p,+,p,a,C.,p,v,=,p,a,-,p,D.,p,=,p,a,-,p,C,C,如图，,h,v,=2m,时，求封闭容器,A,中的真空度。,解：,绝对压强,p,p,a,-,gh,v,真空度：,p,v,p,a,-,p,p,a,-,（,p,a,-,gh,v,）,gh,v,10009.82=,19600 Pa,判断：,1,、相对压强必为正值。,( ),2,、选择下列正确的等压面,: ( ),(1) A,A (2) B,B (3) C,C (4) D,D,3,、液体某点的绝对压强为,58 kPa,，则该点的相对压强为,( ),(1) 159.3 kPa,；,(2) 43.3 kPa,；,(3) -58 kPa,；,(4) -43.3,kPa,。,3,4,1,、几何意义,Z,测点到基准面的高度，,位置水头,，,m,p/,压强所引起的液柱高度，,压强水头,，,m,Z+p/,测压管液面到基准面的高度，,测压管水头,，,m,几何意义,：,静止流体中各点,测压管水头,是一常数,2.3.4,流体,静力学基本方程,的几何意义 与能量意义,基准面,测压管,用于测量液体相对压强的连通于被测液体的开口管,2,、,能量意义,位置水头,Z,单位重量流体从某一基准面算起所具有的位置势能，,比位能,压强水头,p/,单位重量流体以压力为大气压算起所具有的压力势能，,比压能,测压管水头,Z+p/,单位重量液体所具有的总机械能（总势能），,比势能,物理意义,：静止流体中，单位重量,流体的,总势能,是恒等的，比压能和,比位能之间可以相互转化。,问题,1,：,仅在重力作用下,静止液体中任意一点对同一基准面的,单位势能,为,？,A.,随深度增加而增加；,C.,随深度增加而减少；,B.,常数；,D.,不确定。,问题,2,：,试问图示中,A,、,B,、,C,、,D,点的,测压管高度,，,测压管水头,。（,D,点闸门关闭，以,D,点所在的水平面为基准面）,A:,测压管高度,，测压管水头,B:,测压管高度 ，测压管水头,C:,测压管高度 ，测压管水头,D:,测压管高度 ，测压管水头,B,0m,6m,6m,6m,6m,2m,3m,6m,液体在表压作用下能够上升的高度,工程中，常采用直观而简便的几何方法作出图形来反应静压强的分布情况，称为,压强分布图,。,依据,：,静压强特性,和,静力学基本方程,手段：,用一定比例的,线段,长度表示压强大小,用,箭头,表示静压强的方向,注意事项,：,压强分布图尽量用,表压,表示,静压强方向与壁面垂直并指向壁面,静压强沿铅垂方向的深度成正比例增加,3,、压强分布图,问题,1,：容器中盛有两种不同重度的静止液体，如图所示，作用在容器右壁面上的静水压强分布图应为,( ),(1) a (2) b (3) c (4) d,2,2.4,流体静压强的测量,2.4.1,静压强的单位,应力单位,从压强定义出发，以单位面积上的作用力来表示。,N/m,2,，,Pa,，,kN/ m,2,，,kPa,。,液柱高,h=p/ mH,2,O,、,mmHg,大气压,1,标准大气压,(atm),101325 Pa,10.33 mH,2,O,760 mmHg,1,工程大气压（,at,）,98000 Pa,735.6 mmHg,10 mH,2,O,（,计算中使用,）,注意：,大气压、大气压强的区别,2.4.2,静压强的测量（液式、金属式）,1,、液式测压计：,利用,液柱高度,与被测液体压力相平衡原理制成的,测压管,一端与被测点容器壁的孔口相连，另一端是直接和大气相通的直管。,p,A,=,h,A,p,a,p,A,= h,A,适用范围：,测压管适用于测量小于,0.2at,的压强。,真空计,：,欲测点为真空,p,v,=-p,0,=,h,v,如果被测点的压强很小，为了提高测量精度，常采用,斜管压力计,p,0,=p,a,h,=p,a,l,sin,p,0,=,h,=,l,sin,问题,1,：,如图所示，正确答案是：,A.,p,0,=,p,a,；,B.,p,0,p,a,；,C.,p,0,p,2,p,3,；,C.,p,1,p,2,p,3,；,D.,p,2,p,1,3at,）,容器中、,U,形管上端均为,气体,时：气体的重度很小，可忽略，气体所在空间压强相等,p,A,=,M,h,1,+,M,h,2,U,形管上端均为,水,时：,p,B,=,M,h,1,+,（,M,W,）,h,2,（,4,）差压计：,管子两端接在不同的两个测压点上，测量两处压强差,p,B,-p,A,=,A,(h,1,+h,2,)+,m,h,B,(h,2,+,h),A,、,B,两处都是水时：,p,B,-p,A,=,W,h,1,+,m,h-,W,h,=,W,h,1,+12.6,W,h,=,W,(z,A,-z,B,) +12.6,W,h,（,5,）金属压力表与真空表,原理：,利用各种不同形状的弹性元件，在被测压强的作用下，产生,弹性变形,原理而制成的测压仪表,种类,：弹簧管式、薄膜式,测正压,压力表，相对压强,测负压,真空表,问题,1,：,一密闭容器内下部为水，上部为空气，液面下,4.2m,处测压管高度为,2.2m,，设当地大气压为,1,个工程大气压，则容器内绝对压强为几米水柱,?,A. 2m,；,B. 8m,；,C. 1m,；,D. -2m,。,问题,2,：,油的密度为,800 kg/m,3,，静止的油的自由面与大气接触，油面下,0.5m,的深处的表压强为,kPa,。,A. 0.80 B. 0.50 C. 0.40 D. 3.92,问题,3,：,金属压力表的读数值是：,A.,绝对压强；,C.,绝对压强加当地大气压；,B.,相对压强；,D.,相对压强加当地大气压。,8m,D,B,问题,4,图中左边开口测压管和右边真空测压管的水柱高度之差约为,_,m,。,A. 10 B. 1.0 C. 0.1 D. 0.01,A,1,、在传统实验中，为什么常用水银作,U,型测压管的工作流体？,压缩性小； 汽化压强低； 密度大。,2,、,如图所示两种液体盛在同一容器中，且,1,F,2,2,、,F,x,=,F,2,答案：,F,x,=,F,2,1,、定义：,从曲面向上引至液面（自由液面）的无数微小柱体的体积总和。,2,、压力体体积的画法：,（,1,）找自由液面；,（,2,）找液固分界面；,（,3,）根据水静压强作用的方向找特殊点；,（,4,）分段；,（,5,）根据定义作压力体。,二、压力体：,3,、压力体体积的,组成,：,（,1,）自由液面或自由液面的延长线；,（,2,）受压曲面本身；,（,3,）通过曲面周围边缘所作的铅垂面。,4,、压力体体积的,分类：,（,1,）实压力体（,+,）：,实,压力体充满液体，,P,z,方向,向下,（,2,）虚压力体（,-,）：,虚,压力体不为液体充满，,P,z,方向,向上,（,3,）综合压力体（,+,、,-,）,2.6.2,浮力,浸没于液体中的物体，所受垂直方向的力：,P,z,=V=,液体重度,物体的体积,浮力,物体重力,G,P,z,，,沉体,G,P,z,，,潜体,G,P,z,，,浮体,例：如图所示的扇形旋转闸门，已知扇形半径,R=4.24m,，中心角,=45,，宽度,B=1m,（垂直于图面），可以绕铰链,O,旋转，用以蓄（泄）水。确定水作用于此闸门上的总压力,P,的大小和方向。,例题,1,：曲面形状,3/4,个圆柱，半径,0.8m,，宽,L=1m,，位于水平面以下,2.4m,处。求：曲面所受的液体总压力。,例题,2,：,一贮水容器如图所示，壁面上有三个半球形的盖，直径相同，,d=0.5m,，贮水器的上下壁面的垂直距离,h=1.5m,，水深,H=2.5m,。试求作用在每个半球形盖子的总压力。,解,:,对于,底盖,，由于在水平方向上压强分布对称，所以流体静压强作用在底盖上的总压力的水平分力为零。,底盖上总压力的垂直分力,顶盖,上的总压力的水平分力也为零，垂直分力为,侧盖,上总压力的水平分力,侧盖上的压力体，应为半球的上半部分和下半部分的压力体的合成，合成后的压力体即为侧盖包容的半球体，所以侧盖上总压力的垂直分力,根据上述水平分力和垂直分力可求得总压力的大小和作用线的方向角,第二章小结,水静力学的核心问题是根据平衡条件来求解静水中的,压强分布,，并根据静水压强的分布规律，进而确定作用在平面及曲面上的,静水总压力,。,水静力学研究的静止状态，指的是流体内部任何质点以及流体与容器之间均无相对运动。,本章主要学习以下内容,:,1.,作用于静止流体上的力：,流体静压强的两个特性,：,a.,只能是压应力，方向垂直并指向作用面。,b.,同一点静压强大小各向相等，与作用面方位无关。,2.,流体平衡微分方程,或,dp=(Xdx+Ydy+Zdz),全微分方程,dp=dW,其积分为：,p=,W,C,或,p=p,0,（,W-W,0,）,3.,等压面的概念：,质量力垂直于等压面，只有重力作用下的静止流体的等压面为水平面应满足的条件是：,相互连通的同一种连续介质,。,4.,流体静力学基本方程,重力作用下静压强的分布： ；,p=p,0,+h p,1,=p,2,+h,5.,压强的表示方法,：,a.,根据压强计算基准面的不同，压强可分为绝对压强、相对压强和真空值。,b.,由于计量方法不同，压强可用应力、液柱高和大气压表示压强大小。,6.,静止流体压强的测量：,液式测压计和金属测压计,7.,平面上流体静压力,P,h,c,A,压力中心,8.,曲面上流体静压力,P,z,V P,x,h,0,A,x,总压力,总压力的倾斜角,V,压力体的体积。,压力体的组成：,（,1,）,受压曲面本身；,（,2,）,通过曲面周围边缘所作的铅垂面；,（,3,）,自由液面或自由液面的延长线。,你学会了吗,1,、,静水总压力的压力中心就是受力面面积的形心。,( ),2,、二向曲面上的静水总压力的作用点就是静水总压力的水平分力与铅直分力的交点。,( ),3,、压力中心是,( ),淹没面积的中心 ；,(2),压力体的中心 ；,(3),总压力的作用点 ；,(4),受压面的形心 。,4,、欧拉液体平衡微分方程,( ),(1),只适用于静止液体；,(2),只适用于相对平衡液体；,(3),不适用于理想液体；,(4),理想液体和实际液体均适用。,3,4,5,、图示四个容器内的水深均为,H,，则容器底面静水压强最大的是,( ),(1) a ; (2) b ;(3) c ;(4) d,。,3,习题,2.4,：,容器内装有气体，旁边的一个,U,形测压管内盛清水，如图，现测得,h,v,=0.3m,，问容器中气体的相对压强为多少，真空度为多少？,习题,2.5,：,在盛水容器,M,的旁边装有一支,U,形测压管，内盛水银，并测得有关数据如图，问容器中心,M,处绝对压强、相对压强各为多少？,习题,2.6,内装空气的容器与两根,U,形测压管相通，水银的重度为,133kN/m,3,，今测得下面开口,U,测压管种的水银面高差为,30cm,，如图。,问上面闭口,U,形测压管中的水银面高差为多少？,习题,2.7,：,如图，两容器,A,、,B,，容器,A,装的是水，容器,B,装的是酒精，重度为,8kN/m,3,，用,U,形水银压差计测量,A,、,B,中心点压差，已知,h,1,=0.3m,，,h=0.3m,，,h,2,=0.25m,，求其压差。,习题,2.9,：,如图，试由多管压差计中水银面高度的读数确定压力水箱中,A,的相对压强（所有读数均自地面算起，其单位为,m,）。,习题,2.11,：为了测量高度差为,z,的两个水管中的微小压强差,p,B,-p,A,，用顶部充有较水轻而与水不相混合的液体的倒,U,形管，如图：,（,1,）已知,A,、,B,管中的液体相对密度,d,1,=d,3,=1,，倒,U,形管中液体相对密度,d,2,=0.95,，,h,1,=h,2,=0.3m,，,h,3,=1m,，试求压强差,p,B,-p,A,。,（,2,）仪器不变，工作液体不变，但两管道中的压强差,p,B,-p,A,=3825.9Pa,。试求此时液体柱高度,h,1,、,h,2,、,h,3,及,z,。,（,3,）求使倒,U,形管中液面成水平，即,h,2,=0,时的压强差,p,B,-p,A,。,（,4,）如果换成,d,2,=0.6,的工作液体，试求使,p,B,-p,A,=0,时的,h,1,、,h,2,、,h,3,。,习题,2.14,：如图所示水压机中，大活塞上要求的作用力,G=4.9kN,。已知：杠杆柄上的作用力,F=147N,，杠杆臂,b=75cm,，,a=15cm,。若小活塞直径为,d,，问大活塞的直径,D,应为,d,的多少倍（活塞的高差、重量及其所受的摩擦力均可忽略不计）？,习题,2.15,：一矩形平板高为,1.5m,，宽为,1.2m,，倾斜放置在水中，其倾斜角度为,60,，有关尺寸如图。求作用在平板上总压力,P,的大小和作用点,h,D,。,习题,2.16,：如图，泄水池底部放水孔上放一圆形平面闸门，直径,d=1m,，门的倾角为,60,，求作用在门上的总压力,P,的大小及其作用点。已知水深,h=2m,。,习题,2.17,：,矩形闸门长,1.5m,，宽,2m,（垂直于图面），,A,端为铰链，,B,端连在一条倾角,=45,的铁链上，用以开启此闸门，如图所示。量得库内水深如图。今欲沿铁链方向用力,T,拉起此闸门，若不计摩擦与闸门的自重，问,T,应为多少？,习题,2.18,：,如图，船闸宽度,B=25m,，上游水位,H,1,=63m,，下游水位,H,2,=48m,，船闸用两扇矩形闸门开闭，试求作用在每个闸门上的水静压力大小及压力中心距基底的标高。,习题,2.23,：,一挡水二向曲面,AB,如图，已知,d=1m,，,h,1,=0.5m,，门宽,B=5m,，求总压力的大小和方向。,习题,2.24,：容器底部有一直径为,d,的圆孔，用一个直径为,D,（,=2r,）、重量为,G,的圆球堵塞，如图，当容器内水深,H=4r,时，欲将此球向上升起以便放水，问所需垂直向上的力,P,为多少？已知,d= r,，水的重度为,。,