第八节 线性空间的同构

,*,高 等 代 数,1,第八节 线性空间的同构,第六章 线性空间,Linear Space,2,设,1,2, ,n,是线性空间,V,的一个基，在,这个基下，,V,中每个向量都有确定的坐标，而向,量的坐标可以看成,P,n,的元素.,因此，向量与它的,坐标之间的对应实质上就是,V,到,P,n,的一个映射.,这个,映射既是单射又是满射,， 换句话说，坐标给,出了线性空间,V,与,P,n,的一个双射.,这个对应的重,要性表现在它与运算的关系上.,一、引入,3,设,=,a,1,1,+,a,2,2,+ +,a,n,n,=,b,1,1,+,b,2,2,+ +,b,n,n,.,即向量,的坐标分别是(,a,1,a,2, . ,a,n,) , (,b,1,b,2, ,b,n,), 那么,+,= (,a,1,+,b,1,),1,+ (,a,2,+,b,2,),2,+ + (,a,n,+,b,n,),n,k,=,ka,1,1,+,ka,2,2,+ +,ka,n,n,.,于是向量,+,k,的坐标分别是,4,(,a,1,+,b,1,a,2,+,b,2, ,a,n,+,b,n,),= (,a,1,a,2, . ,a,n,) + (,b,1,b,2, ,b,n,),(,ka,1,ka,2, . ,ka,n,) =,k,(,a,1,a,2, . ,a,n,) .,以上的式子说明在向量用坐标表示之后， 它,们的运算就可以归结为它们坐标的运算.,因而线性,空间,V,的讨论也就可以归结为,P,n,的讨论.,5,定义 1,数域,P,上两个线性空间,V,与,V,称为,同构的， 如果由,V,到,V,有一个双射, 具有以,下性质：,1),(,+,) =,(,) +,(,) ；,2),(,k,),=,k,(,) ,其中,是,V,中任意向量，,k,是,P,中任意数.,这,样的映射,称为同构映射.,二、同构的概念,6,前面的讨论说明在,n,维线性空间,V,中取定一个,基后，向量与它的坐标之间的对应就是,V,到,P,n,的,一个同构映射.,因而，,数域,P,上任何一个,n,维线性,空间都与,P,n,同构.,7,1.,( 0 ) = 0 ,( -,) = -,(,) .,2.,(,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,),=,k,1,(,1,) +,k,2,(,2,) + +,k,r,(,r,) .,证明,三、同构映射的性质,( 0 ),( -,),=,( 0,),= 0,= 0,(,),= - 1,(,),=,(- 1,),= -,(,) .,证明,(,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,),=,(,k,1,1,),+,(,k,2,2,) + +,(,k,r,r,),=,k,1,(,1,),+,k,2,(,2,) + +,k,r,(,r,) .,证毕,证毕,8,3.,V,中向量组,1,2, ,r,线性相关的充分,必要条件是，它们的像,(,1,) ,(,2,) , ,(,r,),线性相关.,证明,必要性,设,1,2, ,r,线性相关，,即有不全为零的数,k,1,k,2, ,k,r,使,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,= 0 .,由性质 1，得,(,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,)=,(0) = 0 ,再由性质 2，得,k,1,(,1,) +,k,2,(,2,) + +,k,r,(,r,) = 0 .,9,充分性,设,(,1,) ,(,2,) , ,(,r,) 线性,相关，,即有不全为零的数,k,1,k,2, ,k,r,使,k,1,(,1,) +,k,2,(,2,) + +,k,r,(,r,) = 0 .,于是有,(,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,) = 0 ,由于,是 双射，只有,(0) = 0，所以,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,= 0 ,即,1,2, ,r,线性相关.,证毕,由此即得,(,1,) ,(,2,) , ,(,r,) 线性相关.,10,注,同构的线性空间有相同的维数.,4.,如果,V,1,是,V,的一个线性子空间，那么，,V,1,在,下的像集合,(,V,1,) = ,(,) |,V,1,是,(,V,),的子空间，并且,V,1,与,(,V,1,),维数相同.,5.,同构映射的逆映射以及两个同构映射的乘,积还是同构映射.,11,证明,设,是线性空间,V,到,V,的同构映射，,则逆映射,-,1,是,V,到,V,的一个双射.,下面证明,-,1,也是同构映射，即,-,1,满足定义 1中的条件 1),与 2) .,令,，,是,V,中任意两个向量，于是,-,1,(,+,),=,-,1,(, ,-,1,(,),+, ,-,1,(,),),=,-,1,(,(,-,1,(,),+,-,1,(,),) ),=,-,1,(,-,1,(,),+,-,1,(,),),=,-,1,(, ),+,-,1,(,) .,12,现设,和,分别是线性空间,V,到,V,和,V,到,V,的同构映射， 下面证明乘积,是,V,到,V,的,一个同构映射.,-,1,(,k,),= ,-,1,(, ,-,1,(,k,) ),= ,-,1,(,k, ,-,1,(,) ),= ,-,1,(,(,k,-,1,(,) ) ),= ,-,1,(,k,-,1,(,) ),=,k,-,1,(,).,故,-,1,满足定义1中的条件1) 与 2) ，,因而是同构映射.,13,(,+,) =,(,(,),+,(,) ),=,(,),+,(,) ,(,k,),=,(,k,(,) ),=,k,(,) .,故,满足定义1中的条件 1) 与 2) ，,因而是同构映射.,证毕,注,同构作为线性空间之间的一种关系，具有,反身性、对称性与传递性.,显然，,既,是单射又是满射.,又有,14,定理,数域,P,上两个有限维线性空间同构的,充分必要条件是它们有相同的维数.,注,定理说明了，维数是有限维线性空间的唯一本质特征.,四、同构的充分必要条件,证明,P,n,是,n,维线性空间代表, 在,P,n,中成立的结论, 在其他线性空间中也成立.,数域,P,上的,n,维线性空间都与,P,n,同构,的对称性与传递性, 定理成立.,证毕,15,例 1,P,x,3,与,P,3,同构，其同构映射为,(,a,0,+,a,1,x,+,a,2,x,2,) = (,a,0,a,1,a,2,) .,把,P,x,3,的基 1 ,x,x,2,映射成,P,3,的基,e,1,e,2,e,3,( 1 ) =,e,1,= ( 1 , 0 , 0 ) ,(,x,) =,e,2,= ( 0 , 1 , 0 ) ,(,x,2,) =,e,3,= ( 0 , 0 , 1 ) .,即,五、例子,16,例 2,设,V,是全体复数在实数域,R,上构成的,线性空间，则,V,与,R,2,同构.,其同构映射为,(,a,+,i b,) = (,a,b,) .,把,V,的基 1 ,i,映射成,R,2,的基,e,1,e,2, 即,( 1 ) =,e,1,= ( 1 , 0 ) ,(,i,) =,e,2,= ( 0 , 1 ) .,17,例 3,数域,P,上的空间,P,2,2,与,P,4,同构.,其同,构映射为,设,P,4,的一个基为,e,1,= (1, 0, 0, 0) ,e,2,= (0, 1, 0, 0) ,e,3,= (0, 0, 1, 0) ,e,4,= (0, 0, 0, 1) , 则可得,P,2,2,的一个,基为,18,