第五节线性子空间

,*,高 等 代 数,1,第五节 线性子空间,第六章 线性空间,Linear Space,2,定义 1,数域,P,上线性空间,V,的一个非空子集合,W,称为,V,的一个,线性子空间,(或简称子空间), 如果,W,对于,V,中所定义的加法和数量乘法两种运算也构成数域,P,上的线性空间.,一、线性子空间的概念,3,线性空间一个非空子集要满足什么条件才能成,为线性子空间?,设,W,是,V,的子集合.,因为,V,是线性空间.,所,以对于原有的运算，,W,中的向量满足线性空间定,义的八条规则中的 1) , 2) , 5) , 6) , 7) , 8) .,自身构成一线性空间，主要的条件是要求,W,对于,V,中原来运算的封闭性，以及规则 3) 与 4)成立.,即,二、线性子空间的判定,为了使,W,4,1.,W,对数量乘法运算封闭,，即若,W,k,P,则,k,W .,2.,W,对加法运算封闭,，即若,W,W,，,则,+,W,.,3. 0,W,.,4. 若,W, 则 -,W,.,3, 4 两个条件是多余的，它们已经包含在条件 1,中，作为,k,= 0 与 -1 这两个特殊情形.,5,线性子空间的维数不超过整个空间的维数.,定理 1,设,W,是,P,上的线性空间,V,的非空子集,则,W,是,V,的子空间的充要条件是:,(1), ,W,+,W,;,(2),k,P,W,k,W,.,注,要判定子集,W,是,V,的子空间, 需要验证,W,非空, 而定理 1 的条件(1)、(2) 可以合并为：, ,W,k,l,P k,+,l,W,.,6,例 1,在线性空间中，由单个零向量所组成的,子集合是一个线性子空间，它叫做,零子空间,.,例 2,线性空间,V,本身也是,V,的一个子空间.,在线性空间中，零子空间和线性空间本身这两,个子空间称为,平凡子空间,， 而其他的线性子空间,(如果有的话),叫做,非平凡子空间,.,7,例 3,在全体实函数组成的空间中，所有的实,系数多项式组成一个子空间.,例 4,P,x,n,是线性空间,P,x,的子空间.,例 5,在线性空间,P,n,中，齐次线性方程组,8,的全部解向量组成一个子空间，这个子空间叫做齐,次线性方程组的,解空间,.,解空间的基就是方程组,的基础解系，它的维数等于,n,-,r, 其中,r,为系数矩,阵的秩.,9,例 6,判断,是否为 的子空间，并说明其几何意义.,解,设,= (,x,1,y,1,z,1,) ,W,则有,取,k,R,(,k,1),因为,所以,k,W,即,W,对于数量乘法不封闭，,所以,W,10,几何意义是，集合,W,由直线,上的点组成.,若向量,= (,x,1,y,1,z,1,) 的终点,P,1,在,直线上，则向量,k,= (,k,x,1,k,y,1,k,z,1,),终点,P,2,不在,直,不是线性空间.,线上.,11,x,o,y,z,P,1,(,x,1,y,1,z,1,),P,2,(,k,x,1,k,y,1,k,z,1,),k,12,例 7,证明集合,W,= (0 ,x,2,x,3, ,x,n,) |,x,2,x,3, ,x,n, R,是 R,n,的子空间，并求它的一个基，确定它的维数.,解,任取,1,= ( 0 ,a,2,a,3, ,a,n,) ,W,1,= ( 0 ,b,2,b,3, ,b,n,) ,W,k, R,为任意实数.,因为,1,+,1,= ( 0 ,a,2,+,b,2,a,3,+,b,3, ,a,n,+,b,n,) ,W,k,1,= ( 0 ,ka,2,ka,3, ,ka,n,) ,W,即,W,对加法和数量乘法都是封闭的，所以,W,是 R,n,13,取,e,2,= (0 , 1 , 0 , , 0 ) ,e,3,= (0 , 0 , 1 , , 0 ) ,.,e,n,= (0 , 0 , 0 , , 1 ) .,显然,e,2,e,3, ,e,n,W,且线性无关，,任一向量,= ( 0 ,a,2,a,3, ,a,n,) ，有,=,a,2,e,2,+,a,3,e,3,+ +,a,n,e,n,，,所以,e,2,e,3, ,e,n,即为,W,的一个基，,W,的维数是,n,- 1 .,的线性子空间.,又因为,W,中,14,定义2,设,1,2, ,r,是,线性空间,V,中一,组,向量，这组向量所有可能的线性组合,k,1,1,+,k,2,2,+ +,k,r,r,所成的集合是非空的，而且对两种运算封闭，因,而是,V,的一个子空间，这个子空间叫做由,1,2, ,r,生成的子空间,，记为,L,(,1,2, ,r,) .,三、向量组生成的子空间,15,关于向量组生成的子空间，有,1) 设,W,是,V,的一个子空间，且,W,包含,1,2, ,r,则,L,(,1,2, ,r,),W,.,2) 设,V,是一个有限维线性空间，,W,是,V,的一,个子空间，则,W,也是有限维的.,设,1,2, ,r,是,W,的一个基，就有,W,=,L,(,1,2, ,r,) .,16,定理 2,1) 两个向量组生成相同子空间的充,分必要条件是这两个向量组等价.,2),L,(,1,2, ,r,) 的维数等于向量组,1,2, ,r,的秩.,证明,1),必要性,设,1,2, ,r,与,1,2, ,s,是两个向量组.,如果,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,) ,那么每个向量,i,(,i,= 1 , 2, ,r,) 作为,L,(,1,2,17, ,s,)中的向量都可以被,1,2, ,s,线性表出;,同样每个向量,j,(,j,= 1 , 2, ,s,) 作为,L,(,1,2, ,r,) 中的向量也都可以被,1,2, ,r,线性表,出，因而这两个向量组等价.,如果这两个向量组等价，那么凡是可,以被,1,2, ,r,线性表出的向量都可以被,1,2, ,s,线性表出，反过来也一样，因而,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,) .,充分性,18,2) 设向量组,1,2, ,r,的秩是,s, 而,1,2, ,s,(,s,r,),是它的一个极大线性无关组.,因,为,1,2, ,r,与,1,2, ,s,等价， 所以,L,(,1,2, ,r,) =,L,(,1,2, ,s,).,所以,1,2, ,s,就是,L,(,1,2, ,r,) 的一个基，,因而,L,(,1,2, ,r,) 的维数就是,s,.,证毕,19,定理 3,设,W,是数域,P,上,n,维线性空间,V,的,一个,m,维子空间，,1,2, ,m,是,W,的一个基 ,那么这组向量必定可扩充为整个空间的基.,也就是,说在,V,中必定可以找到,n,-,m,个向量,m +,1,m +,2,n,，使得,1,2, ,n,是,V,的基 .,证明,对维数差,n,-,m,作归纳法，当,n,-,m,= 0,时，定理显然成立，因为,1,2, ,m,已经是,V,的基.,现在假设,n,-,m,=,k,时定理成立，下面考虑,n,-,m,=,k,+ 1 的情形.,20,既然,1,2, ,m,还不是,V,的基，它又是线,性无关的，,1,2, ,m,线性表出，, ,m,m +,1,必定是线性无关的,.,子空间,L,(,1,2, ,m,m +,1,),是,m,+ 1 维的.,因为,n,- (,m,+ 1 ) = (,n,-,m,) -1 =,k,由归纳法假设，,L,(,1,2, ,m,m +,1,) 的基,1,2, ,m,m +,1,那么在,V,中必定有一个向量,m +,1,不能被,把,m +,1,添加进去,1,2,21,可以扩充为整个空间的基.,根据归纳法原理，定理得证.,证毕,例 8,在,P,4,中，求向量组,1,2,3,4,生,成的子空间的基与维数.,22,解,向量组,1,2,3,4,的,任一极大无关组,都是由它生成的子空间,L,(,1,2,3,4,),的基，而向量组,1,2,3,4,的秩即为子空间的,维,数.,下面用矩阵的初等行变换，求向量组,1,2,3,4,的秩和一个极大无关组.,23,行变换,所以子空间,L,(,1,2,3,4,) 的基为,1,2,4,维数为 3 .,令,24,