第五章 线性三角形单元

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,三角形单元,*,2,引 言,杆梁结构：由于有自然的连接关系，可以凭一种直觉将其进行自然的离散。,连续体：它的内部没有自然的连接节点，必须完全通过人工的方法进行离散。,三维问题,平面问题,平面应力,平面应变,平面问题,平面应力,平面应变,离散,*,3,三节点平面三角形单元,节点,1,的位移,节点,2,的位移,节点,3,的位移,三节点三角形单元的位移函数可假设为：,“,位移函数,”,也称,“,位移模式,”,，是单元内部位移变化的数学表达式，是坐标的函数,。有限元分析必须事先给出（设定）位移函数。一般而论，,位移函数选取会影响甚至严重影响计算结果的精度,。弹性力学中，恰当选取位移函数不是一件容易的事情。,有限单元法中当单元划分得足够小时，把位移函数设定为简单的多项式也可得到相当精确的结果,。这正是有限单元法具有的重要优势之一。,引入位移函数的概念：,*,4,平面三角形单元,显然，三角形三个节点的的位移可由下列方程给出，在各节点上的水平位移方程为：,u,1,=,1,+,2,x,1,+,3,y,1,u,2,=,1,+,2,x,2,+,3,y,2,u,3,=,1,+,2,x,3,+,3,y,3,解出,*,5,平面三角形单元,假设,求得,其中,A,是三角形的面积,*,6,平面三角形单元,式中,N,1,，,N,2,和,N,3,是坐标的函数，反映了单元内近似解的形态，称为单元的形函数，,数学上它反应了由节点的场量对单元内任意一点场量的插值,，也叫做插值函数。,三个函数其实描述的就是单元上近似解的插值关系，它决定了近似解在单元上分布的形状，所以称它为形函数（,shape function,）。这里值得注意一下的是近似解，前面我们说过，假设位移模式是线性变化的，实际情况并不一定是线性变化的，所以我们通过所做假设得到的结果只能说是近似解，而不能说是精确解。,为什么叫形函数,?,同理,*,7,平面三角形单元,其中,i,j,k,i,= 1, 2, 3,j,= 2, 3, 1,k,= 3, 1, 2,i,j,k,三角形的形函数可统一表示为：,*,8,形函数的性质,在单元任一点上三个形函数之和等于,1(,单位分解性,),1.,三个形函数只有两个是独立的,2.,当三角形单元的三个结点的位移相等,第一列与它的代数余子式乘积之和,第一列与第二列的代数余子式乘积之和,第一列与第三列的代数余子式乘积之和,2,A,0,0,*,9,形函数,N,i,在节点,i,上的值等于,1,，在其它节点上的值等于,0,。,N,i,=1,i,j,m,N,j,=1,i,j,m,N,m,=1,i,j,m,形函数的性质,*,10,在三角形单元的边界,ij,上任一点（,x,，,y,），有,:,形函数的性质,x,x,i,x,j,x,y,N,i,(,x,i,，,y,i,),j,(,x,j,，,y,j,),m,(,x,m,，,y,m,),N,i,(,x,、,y,),1,证,ij,方程,*,11,形函数的性质,相邻单元的位移在公共边上是连续的,i,j,p,m,形函数在单元上的面积分和边界上的线积分公式为,式中 为 边的长度。,x,x,i,x,j,x,y,N,i,(,x,i,，,y,i,),j,(,x,j,，,y,j,),m,(,x,m,，,y,m,),N,i,(,x,、,y,),1,N,i,=1,i,j,m,*,12,形函数的性质,完备性,包含常应变项和刚体位移项,如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是,m,阶，则选取的位移函数,至少,是,m,阶,完全多项式,。,协调性,相邻单元公共边界保持位移连续,如果在势能泛函中所出现的位移函数的最高阶导数是,m,阶，则位移函数在,单元交界面,上必须具有直至,(,m,-1),阶的连续导数，即,C,m,-1,连续性,。,如果在单元交界面上位移不连续，表现为当结构变形时将在,相邻单元间产生缝隙或重叠，这意味着将引起无限大的应变,，这时必然会发生交界面上的附加应变能补充到系统的应变能中去，有限元解就不可能,收敛,于真正解。,收敛,单元尺寸趋于零时，有限元解趋于真解,*,13,形函数的性质,当单元的位移函数满足完备性要求时，称单元是完备的（通常较容易满足）。当单元的位移函数满足协调性要求时，称单元是协调的。,当势能泛函中位移函数的导数是,2,阶时，要求位移函数在单元的交界面上具有,C,1,或更高的连续性，这时构造单元的插值函数往往比较困难。在某些情况下，可以放松对协调性的要求，只要单元能够通过,分片试验,(Patch test),，有限元分析的解答仍然可以收敛于正确的解。这种单元称为非协调单元。,分片试验,由,B.M.Irons,首先提出，已经证明它给出了收敛性的充分条件。,*,14,单元应变和应力矩阵,应变矩阵,*,15,单元应变和应力矩阵,由于 与,x,、,y,无关，都是常量，因此,B,矩阵也是常量。单元中任一点的应变分量是,B,矩阵与单元节点位移的乘积，因而也都是常量。因此，,这种单元被称为常应变单元,。,*,16,单元应变和应力矩阵,平面应力：,应力矩阵,平面应变：用平面应变弹性矩阵代入得到类似结果。,*,17,单元应变和应力矩阵,由于同一单元中的,D,、,B,矩阵都是常数矩阵，所以,S,矩阵也是常数矩阵。也就是说，,三角形三节点单元内的应力分量也是常量,。,当然，相邻单元的,E,，,，,A,和,b,i,、,c,i,(,i,，,j,，,m,),一般不完全相同，因而具有不同的应力，,这就造成在相邻单元的公共边上存在着应力突变现象,。但是随着网格的细分，这种突变将会迅速减小。,*,18,单元分析,几何关系位移函数,本构关系,平衡关系,单元刚度矩阵,*,19,单元应变能,单元应变能,U,为：,i,j,m,x,y,h,注意到弹性矩阵,D,的对称性,*,20,刚度矩阵,引入刚度矩阵,K,：,则：,注意：,hdxdy,的实质是任意的微体积,dv,，于是得,K,e,的一般式：,*,21,单元外力功,单元受到的外力一般包括体积力、表面力和集中力。自重属于体积力范畴。表面力指作用在单元表面的分布载荷，如风力、压力，以及相邻单元互相作用的内力等。,i,j,m,x,y,q,V,i,j,m,x,y,q,s,i,j,m,x,y,f,c,*,22,单元外力功,（,1,）体积力所做的外力功,i,j,m,x,y,q,V,*,23,单元外力功,（,2,）面力所做的外力功,i,j,m,x,y,q,s,q,s,*,24,单元外力功,（,3,）集中力所做的外力功,i,j,m,x,y,f,c,当结构受到集中力时，通常在划分单元网格时就把集中力的作用点设置为节点。于是单元集中力,f,c,的势能,V,c,为,综合以上诸式，单元外力的总外力功,V,为,*,25,系统势能,扩充叠加,扩充叠加,系统势能,*,26,单元刚度矩阵的扩充叠加,m,i,j,m,i,j,单元编号,ij,m,*,27,单元等效节点载荷列阵的扩充叠加,m,i,j,单元编号,ij,m,*,28,能量原理和系统平衡方程,系统势能,根据弹性力学能量原理：,结构处于稳定平衡的必要和充分条件是总势能有极小值,。,上式是从能量原理导出的系统平衡方程。这个方程表达了节点力与节点位移之间的关系。,*,29,刚度矩阵,单元刚度矩阵：,1D:,2D:,系统刚度矩阵：,弹性矩阵,D,的对称性,K,e,对称,K,对称,*,30,刚度矩阵,刚度矩阵,K,的详细内容为,：,i,、,j,是行列号,，,N,s,为系统自由度数。,*,31,刚度矩阵,(1),刚度矩阵中每个元素有明确的物理意义,。例如，,K,ij,表示当节点位移中第,j,个元素为,1(,d,j,=1),其余元素为零时，引起的单元力中的第,i,个节点力,f,i,。,把平衡方程写开,主对角线上元素,K,ii,(,i,=1,N,s,),恒为正值：,位移和作用力同向,*,32,刚度矩阵,(2) K,的每一行或每一列元素之和为零,以上式中第,i,行为例,:,f,2,i,-1,=,0,f,2,i,=,0,f,2,j,-1,=0,f,2,j,=,0,f,2,m-,1,=,0,f,2,m,=0,i,j,m,x,y,i,j,m,1,1,当所有节点沿,x,向或,y,向都产生单位位移时，单元作平动运动，无应变，也无应力，因而单元结点力为零（不含初应力）。 所以有,即，,K,的每一行元素之和为零。由于对称性，每一列元素之和也为零。,*,33,刚度矩阵,(3),系统刚度矩阵是奇异矩阵（ 即,K,的行列式为零）,(4),系统刚度矩阵是常量矩阵,系统的节点力和节点位移成线性关系是基于弹性理论的结果。,刚度矩阵是在系统处于平衡状态的前提下得出的。作用在它上面的外力必定是平衡力系。然而，,研究系统平衡时没有引入约束,。承受平衡力系作用的无约束系统，,其变形是确定的，但位移不是确定的,。所以出现性质（,2,）中的“平动问题”，即可以发生任意的刚体运动。从数学上讲，系统平衡方程的解不是唯一的或不能确定的。由此，,系统刚度矩阵一定是奇异的。,单元刚度矩阵也一定是奇异的,。,*,34,位移边界条件的处理,系统刚度矩阵是奇异矩阵,，其,物理原因是结构缺少刚性位移的约束，实际的工程结构都受有足够的支承约束，排除了发生任何刚体位移的可能性，因此，,必须引入位移约束,。,有限元中，位移约束都设置在节点处。这里，只讨论刚性约束情况，即被约束的位移分量为零。,设讨论的结构有,N,n,个节点，每个节点有,n,df,个自由度。则系统的总自由度为,N,s,，且,节点总位移列向量,d,中共包含,N,s,个分量,*,35,为了引入位移约束，把节点总位移列向量,d,分成两部分。一部分是不受约束的位移分量，记为,d,f,。另一部分是受刚性约束的位移分量，记为,d,r,。,不失一般性，设,1,N,号位移分量是不受约束的；,N,+1,N,+,N,r,共,N,r,个分量是受刚性约束的。,即：,位移边界条件的处理,*,36,位移边界条件的处理,显然,不受约束的节点位移的总数,N,为,N,=,N,s,-,N,r,对方程中的刚度矩阵,K,和节点荷载向量列阵,f,也作相应分割，则得到,式中，,f,f,是已知力边界，,f,r,是约束反力。,*,37,位移边界条件的处理,按矩阵乘法规则得,每个受刚性支承约束的位移分量都等于零，即,从而得到,*,38,位移边界条件的处理,K,ff,引入约束后的约化的系统刚度矩阵。 这是一个非奇异 矩阵，它的逆矩阵,K,ff,-1,是存在的。,引入约束后的约化的系统平衡方程,在分析计算时，从无约束的系统刚度矩阵,K,中删去与受约束位移号对应的行和列，再将矩阵压缩排列成,N,N,阶方阵，即为约化后的结构刚度矩阵。,*,39,位移边界条件的处理,0,0,0,1,0,置一法,显然,*,40,位移边界条件的处理,乘大数法,显然,*,41,节点位移和约束反力,通过求解平衡方程即可解出全部未知的节点位移：,约束反力,把解出的,d,代入未经修改的平衡方程，即可得到约束反力：,关于上述方程的解算方法，一般不采用求逆的方法求解，而是直接采用,高斯消元法等求解线性方程组的方法求解,求解。,施加边界条件后，得到修改后的平衡方程,(,未约化的,),(,约化的,),或,节点位移,或,*,42,单元应变和应力,根据三角形节点的位移，求出单元应力应变为,i,j,k,如何求系统应变能和节点应力？,*,43,有限元解的收敛性,由于在有限元计算中引入了结构离散和位移模式，导致有限元计算结果和真实解的偏差。单元划分越小、位移模式取得越接近真实变形，解答越收敛于真实解。,当单元的位移模式采用解析的位移解时，有限元的计算结果和解析结果是相同的。然而，许多情况无真实的位移模式可以借用，只能寻求其近似函数，不可避免带来计算精度问题。实践证明：,只要位移模式满足单元的完备性准则和协调性条件，就保证了有限元的解答收敛于真实解,。,系统表现过刚,*,44,有限元计算过程框图,剖分结构为有限个单元，对节点、单元编号,构建单元刚度矩阵和单元等价节点力向量,组装系统刚度矩阵并引入约束,组装整体等价节点荷载向量,从节点平衡方程解未知节点位移,计算结构应变、应力,*,45,解综合方程,Kd=f,得结构节点位移,d,从,d,中找单元位移,d,e,用公式,=Bd,e,和,=D,，,计算应力应变,把单元刚度矩阵组装成系统刚度矩阵,K,离散结构为若干单元,建立单元刚度矩阵,K,e,形成等,价节点,荷载,f,形成单元等价节点力,有限元计算流程图,*,46,关于三角形单元形函数的一点补充,2-3-P:,同样, 3-1-P,A,2,1-2-P,A,3,面积坐标,面积坐标的定义,在三角形内任意一点,P,定义,*,47,关于三角形单元形函数的一点补充,面积坐标与形函数的关系,面积坐标与直角坐标的关系,*,考虑一个平面应力问题如图所示，假设厚度,h=1,，材料为各项同性，杨氏模量为,E=1,，泊松比为,=0,，相关力和位移边界条件如图中所示，问题左端为固定约束。试用两个三角形单元分析此问题，三角形单元的网格划分如图所示。试求问题各节点位移,u,、,v,和应力,x,，,y,和,xy,。,例题,*,对于三角形单元，其,B,矩阵的表达式为：,1,2,3,For,e,=1:,1,(2),3,(1),2,(3),1,(2),2,(3),3,(1),例题,*,1,2,3,For,e,=2:,1,(3),3,(1),2,(4),1,(3),2,(4),3,(1),对于三角形单元，其,B,矩阵的表达式为：,例题,*,组装刚度矩阵,1,(2),3,+,3,(1),2,+,1,(3),2,(4),3,+,3,(1),1,(2),2,+,1,(3),2,(4),例题,*,载荷向量,1,2,3,1,2,3,F,=1,1,(2),3,(1),2,(3),1,(3),3,(1),2,(4),2,+,1,(3),2,(4),3,+,3,(1),1,(2),例题,*,系统方程可表示为：,例题,*,施加,BCs:,例题,*,55,例题,三角形单元为常应变单元，应力结果在一个单元内也为常数。,对于单元,1,，,*,56,例题,节点,2,仅在第,1,个单元内，其应力结果直接为,节点,4,仅在第,2,个单元内，其应力结果直接为,节点,1,和节点,3,为两个单元共有，其应力结果为两个单元内应力的平均，为,57,三角形单元的不足,3,节点三角形单元是常应变（常应力）单元。在应变梯度较大的部位（亦即应力梯度较大的部位），单元划分应适当密集，否则不能反映真实的应变变化而导致较大的误差。,提高计算精度的其它措施,采用高精度三角形单元（,2,次单元、,3,次单元,）,采用四边形单元（,1,次单元、,2,次单元,）,