微积分.ppt

理学院,高等数学,王学顺,数学教研室,高等数学是高等院校中理工类、经济类专业学生必修的重要基础理论课,.,随着科学技术的发展，人们越来越深刻地认识到：没有数学，就难于创造出当代的科学成就,.,科学技术发展越快，对数学的需求就越多,.,绪 论,如今，伴随着计算机技术的迅速发展、自然科学各学科数字化的趋势、社会科学各部门定量化的要求，使许多学科都在直接或间接地，或先或后地经历了一场数学化的进程,在基础科学和工程建设研究方面，在人事管理和军事指挥方面，在经济,高等数学主要学习内容,计划方面，甚至在人类思维方面，都可以看到强大的数学化的进程,. .,通过,高等数学,这门课程的,学习,要使学生获得：,(1),函数、极限、连续,;,(2),一元函数微积分学；,(3),向量代数和空间解析几何；,(4),多元函数微积分学；,(5),无穷级数；,(6),常微分方程,.,等方面的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程奠定必要的数学基础,.,高等数学有四个显著特点：,(1),高度的抽象性,数学的抽象性在简单的计算中就已经表现出来,.,我们运用抽象的数字，却不是每次都把它们同具体的对象联系起来,.,在数学的抽象中只留下量的关系和空间形式，而舍弃了其他一切,.,它的抽象程度大大超过了自然科学中任何一门学科,.,(2),严谨的逻辑性,数学中的每一个定理，不论验证了多少实例，只有当它在逻辑上被严格证明时，才能在数学中,成立,.,在数学中要证明一个定理，必须是从条件和已有的数学公式出发，用严谨的逻辑推理方法导出结论,.,(3),广泛的应用性,高等数学具有广泛的应用性,.,例如，掌握了导数概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的切线斜率、曲线的曲率等等几何量；就可以用它来刻画和计算速度、加速度、密度等等物理量；,就,可以用它来刻画和计算产品产量的增长率、成本的下降率等等经济量；,高等数学既为其它学科提供了便利的计算工具和数学方法，也是学习近代数学所必备的数学基础,.,掌握了定积分概念及其运算法则，就可以用它来刻画和计算曲线的弧长、不规则图形的面积、不规则立体的体积等等几何量；就可以用它来刻画和计算变速运动的物体的行程、变力所做的功、物体的重心等等物理量；就可以用它来刻画和计算总产量、总成本等等经济量,.,(4),知识体系的连惯性,高等数学的教学特点,对于大学课程，特别是作为基础理论课的高等数学，课堂教学是重要环节,.,高等数学的课堂教学与中学数学的课堂教学相比，有下述三个显著的差别,:,(1),课堂人数多,高等数学课堂是一百多人的大课堂，在这种大课堂上不可能经常让同学们提问题,.,同学们在学习的基础上、水平上、理解接受能力上肯定存在差异，但是教师授课的基点只能是照顾大多数，不可能给跟不上、听不全懂的少数同学细讲、重复讲,.,(2),时间长,每次授课两节，共,110,分钟,.,(3),进度快,高等数学的内容极为丰富，而学时又相对较少,(,同中学数学相比,),，平均每次课要讲授教材内容一至两节,(,甚至更多,).,另外，大学与中学的教学要求有很大的不同，教师讲课主要讲重点、难点、疑点，讲分析问题的方法，讲解题的思路，而例题要比中学少得多，不象中学上数学课那样，对一个重要的定理，教师要仔细讲、反复讲，讲完之后又举大量典型的例子,.,为了提高听课效果，每次上课前应对教师要讲的内容进行预习,.,预习的重点是阅读一下要讲的定义、定理和主要公式,.,预习的主要目的是：第一，在听课时能做到心中有数，不至于被动地听课；第二，知道哪些地方是重点和自己的难点，从而在听课时能提高效率；第三，可以弥补由于基础、理解力上的差异所造成的听课困难,.,同学们要注意抓好学习的六个环节,高等数学这门课是同学们进入大学后的一门最重要的基础课,.,由于在教学方法上、在对学生能力的培养目标上与中学时有很大的不同，因此，同学们在一开始可能会感到有些不适应,.,为了尽快适应新的学习环境，要注意抓好以下六个学习环节,.,(1),预习,(2),听课,听课是在大学中获取知识的主要环节,.,因此，应带着充沛的精力、带着获取新知识的浓厚兴趣、带着预习中的疑点和难点，专心致志地听教师如何提出问题、分析问题和解决问题，并且积极主动地思考,.,在听课时常会遇到某些问题没听懂的情况，这时千万不要在这些问题上持续徘徊而影响继续听课，应承认它并在教材上或笔记上相应处作上记号，继续跟上教师的讲授,.,遗留的问题、疑点待课后复习时再思考、钻研，或找同学讨论，或找教师答疑，或查看参考书加以解决,.,记好课堂笔记是学好高等数学的一个重要的学习环节,.,但要注意的是，课堂学习的中心任务是听、看、想，记笔记的目的是便于课后复习，便于消化课上所讲的内容,.,因此，记笔记不应占用过多的课堂时间,.,笔记不必工整，不必全面，不必连贯，但应预留一定的空白以便课后补充、写心得、记疑问,.,(3),记笔记,学习包括“学”与“习”两个方面,. “,学”是为了获取知识，“习”是为了消化、掌握、巩固知识,.,每次课后的当天都应结合课堂笔记和教材及时复习课上所讲的内容,.,但是，在翻开教材与笔记之前，应先回顾一下课上所讲的主要内容,.,另外，应该经常地、反复地复习前面所讲过的内容， 这样一方面是为了避免边学边忘，另一方面可以加深对以前所学内容的理解，使知识水平上升到更高的层次,.,(4),复习,要把高等数学学到手，及时、认真地完成作业是一个必不可少的学习环节,.,每次的作业最好在当天完成，但是应该在复习完当天的内容之后进行,.,做作业不仅是检验学习效果的手段，同时也是培养、提高综合分析问题的能力、笔头表达能力以及计算能力的重要手段,.,(5),做作业,特别强调，认真完成作业是培养同学们严谨治学的一个环节,.,因此，要求作业“字迹工整、绘图准确、条理清楚、论据充分”,.,切忌抄袭，尽量不先看书后的答案,.,除了要重视上述学习环节之外，还有一点应该大力提倡，那就是互助合作、共同研讨、共同提高,.,团队精神对于学好高等数学同样重要,.,(6),答疑,答疑是高等数学学习的一个重要的环节,.,遇到疑问时应该及时地与同学讨论，与教师交流，切不可将问题放置一旁不理,.,四 几点说明,集 合,映 射,小结,函 数,第一章 函数与极限,第一节 映射与函数,(function and limit),( set ),( mapping ),( function ),第一章 函数与极限,1.,集合,(set),概念与记号,映射与函数,一、集合,具有某种特定性质的事物的总体,.,组成这个集合的事物,.,集合,元素,(,简称,元,),(集),通常以大写字母,以小写字母,等表示集合的元素,.,否则记,记作,或,映射与函数,子集,2.,集合,(set),的关系及集合的运算,(1),集合的关系,记作,则称,子集,(,读作,A,包含,于,B,),或,集合相等,则称,集合,A,与,B,相等,记作,则称,真子集,记作,真子集,映射与函数,2.,集合,(set),的关系及集合的运算,集合的基本运算有三种,:,并集,交集,差集,.,(2),集合的运算,由所有属于,A,称为,A,与,B,的,差集,记作,即,而不属于,B,的元素,差集,组成的集,映射与函数,注,研究某个问题时所考虑的对象的全体,记作,余集,或,补集,.,并用,I,表示,称为,全集,或,基本集,并把差积,特别称为,A,的,例如,在,实数集,R,中,集合,的,余集,3.,区间,(interval),区间是指介于某两个实数之间的全体实数,.,这两个实数叫做区间的,端点,.,映射与函数,称为,开区间,称为,闭区间,两端点间的距离,(,线段的长度,),称为区间的,长度,.,有限区间,无限区间,映射与函数,称为,半开半闭区间,.,全体实数的集合,R,也可,记作,是无限区间,.,邻域,(,neighbourhood,),映射与函数,数集,即,邻域,记作,几何表示,).,(,d,a,U,映射与函数,有时简记为,去心,(,空心,),即,两个闭区间的直积表示,xOy,平面上的矩形,区域,.,如,即为,xOy,平面上的矩形区域,这个区域在,x,轴与,y,轴上的投影分别为闭区间,和闭区间,常用的逻辑符号,在逻辑推理过程中最常用的两个逻辑记号,“ ”,表示,“任取 ”,或“任意给定”,.,“ ”,表示,“存在 ”,“,至少存在一个”,或“能够找到”,.,Any(,每一个,),或,All(,所有的,),的字头,A,的倒写,映射与函数,Exist(,存在,),的 字头,E,的倒写,符号,“ ”,表示,“蕴含 ”,或 “推出”,.,符号,“ ”,表示,“等价 ”,或 “充分必要”,.,映射与函数,二、映射,1.,映射概念,(mapping),定义,设,X,、,Y,是两个非空集合,如果存在,一个法则,f,使得对,通过,f,在,Y,中,有,唯一,确定的,元素,y,与之对应,则称,f,为,从,X,到,Y,的,映,(,或,算子,),记作,并称,y,为,x,(,在映射,f,下,),的,像,并记作,即,x,称为,y,的,原像,.,射,定义域,即,记,映射与函数,X,中所有元素的像所组成的集合,记作,或,f,的,即,称为,在中学数学中所接触的,函数,实际是,:,实数集,(,或其子集,),到实数集的,映射,.,例如,映射,f,:,正弦函数,值域,像集,对,元素,x,的像,y,是,唯一,的,;,而对,元素,y,的原像不一定是唯一的,;,映射,f,的值域,是,Y,的一个子,集,不一定,(2),注,(1),集合,X,即定义域,集合,Y,即值域的范围,:,对应法则,f,使对,有,唯一,确定的,与之对应,.,三个要素,:,构成一个,映射,必须具备以下,设映射,即,Y,中任一元素,y,都是,X,中某,元素的像,则称,f,是,满射,.,若,必有,则称,f,是,单射,.,若映射,f,则称,f,是,一 一,映射,(,或,双射,).,2.,几类重要映射,又是单射,既是满射,3.,逆映射与复合映射,设有,单射,则由定义,有,唯一,的,适合,于是,可定义一,个从,的新映射,g,即,规定,这,x,满足,这个映射,g,称为,f,的,逆映射,记作,其定义域,值域,必有,则称,f,是,单射,.,设有两个映射,其中,3.,逆映射与复合映射,由,它,将,映成,显然这个对应法则是从,X,到,Z,的一个映射,此映射称为由,g,和,f,构成的,复合映射,记作,即,对应法则,可确定出从,X,到,Z,的一个,1.,常量,(constant quantity),与变量,(variable),注,三、函数,(function),而是相对“过程”而言的,.,常量,;,变量,.,在某过程中数值保持不变的量称为,而在过程中数值变化的量称为,一个量是常量还是变量,不是绝对的,常量与变量的表示方法,:,在高等数学中,通常用字母,a, b, c,等表示常量,用字母,x, y, t,等表示,变,量,.,定义,设数集,则称映射,为定义在,D,上的,函数,通常简记为,自变量,因变量,定义域,(domain),定义中,按对应法则,f,总有,唯一,确定的值,y,与之对应,这个值称为函数,f,在,x,处的,函数值,记作,函数关系,函数值,全体组成的集合称为,记作,即,函数,f,的,值域,2.,函数概念,),(,x,f,y,=,D,x,D,x,如果对,),(,x,f,y,=,注,含义的区别,.,自变量,x,和因变量,y,之间的对应法则,;,与自变量,x,对应的函数值,;,定义在,D,上,的函数,(1),(2),函数的记号,:,除常用的,f,外,可任意选取,如,相应地,函数可记作,:,等,等,也可记作,:,(3),对应的函数值,y,总是唯一的,否则称为,如,是多值函数,它的两个单值支是,:,单值函数,多值函数,.,约定,:,今后,无特别说明,时,函数是指单值函数,.,这种函数称为,(4),构成函数的,是,两个不同的函数,.,(,因为定义域不同,).,如,与对应法则,f,.,定义域,两个要素,:,D,x,对,确定函数定义域的原则,:,自变量所能取的使算式有意义的一切,定义区间,.,由问题的实际意义确定,.,函数的定义域常用区间来表示,又可称为,:,在纯数学的研究中,(,函数由一个公式,实数组成的集合,这种定义域称为,自然定义域,.,表示的,).,(5),函数的图形,(,图象,).,(6),(8),(7),分段函数,.,几个今后常引用的函数,绝对值函数,例,定义域,值域,符号函数,定义域,值域,对,例,有,或,取整函数,如,例,当,定义域,值域,表示不超过,x,的最大整数,阶梯曲线,-,1,-,2,2,-,1,-,1,4,1,有界性,(bounded),3.,函数的几种特性,若存在常数,使得对所有,则称,f,(,x,),在,I,上,有界,.,在,I,上,无界,;,都有,若,这样的,M,不存在,即为对于任何,总,存在,使,则称,f,(,x,),在,I,上,无界,.,则称,f,(,x,),有界,无界,单调性,(,monotonicity,),单调增加,如果对,恒有,(,单调减少,).,奇偶性,偶函数的图形,称,f,(,x,),为,偶函数,(even function);,奇函数的图形,称,f,(,x,),为,奇函数,(odd function).,周期性,(periodicity),周期为 的周期函数,的,周期,.,周期函数,(period function).,如果存在一个,正数,且总有,称为,f,(,x,),通常称周期函数的,周期,是指,最小正周期,.,设函数,f,(,x,),的定义域为,D,则称,f,(,x,),是,4.,反函数与复合函数,设函数,f,:,单射,则它存在,逆映射,称此,映射,为函数,f,的,反函数,.,习惯上,的反函数记成,(1),定义,反函数,(inverse function),如,反函数,直接函数,通常将,写作,一般地,直接函数与反函数的图形,直线,对称,.,关于,4.,反函数与复合函数,(2),复合函数,(compound function ),定义,设函数,的定义域是,函数,有定义,且,则由下式,确定的函数,称为由函数,构成的,复合函数,.,记作,即,它的定义域为,中间变量,(1),并非任何两个函数都能复合成为复合函数,;,(2),复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成,.,注,(3),反过来,一个复杂的函数根据需要也可以,分解为若干简单函数的复合,.,1),幂函数,(power function),定义域与 的取值有关,.,5.,初等函数,(elementary function),(basic elementary function),(1),基本初等函数,2),指数函数,(exponential function),定义域为,值域为,3),对数函数,(logarithm function),定义域为,值域为,4),三角函数,(trigonometric function),正弦函数,定义域为,值域为,余弦函数,定义域为,值域为,正切函数,余切函数,定义域,值域,定义域,值域,5),反三角函数,(inverse trigonometric function),定义域,值域,主值,反正弦函数,定义域,值域,主值,反余弦函数,主值,定义域,值域,反正切函数,反余切函数,主值,定义域,值域,幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为,基本初等函数,.,(2),初等函数,(elementary function),初等函数,.,如,都是初等函数,.,不是初等函数,.,由常数和基本初等函数经过有限次四则运算,(,加、减、乘、除,),和有限次的函数复合步骤所构,成并可用,一个式子表示,的函数,称为,奇函数,.,偶函数,.,1),双曲函数,叠加法,(3),双曲函数与反双曲函数,双曲正弦,双曲余弦,奇函数,有界函数,双曲正切,双曲函数常用公式,=,),(,sh,y,x,;,sh,ch,ch,sh,y,x,y,x,2),反双曲函数,奇函数,可得,反双曲正弦,的反函数,单调增加,.,x,y,arsh,=,x,y,arsh,=,反双曲余弦,单调增加,.,x,y,arch,=,奇函数,反双曲正切,单调增加,.,x,y,arth,=,四、小结,复合函数,初等函数,.,函数,函数的几种特性,反函数,有界性,单调性,奇偶性,周期性,.,集合,映射,集合概念,集合的运算,区间,邻域,.,映射概念,逆映射,函数的,定义,定义域,对应法则,函数的两要素,复合映射,.,几种重要映射,