矩阵论 第四章

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,G,E M,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,同济大学数学系,2009-3-22,工科研究生数学,-,矩阵论,第,4,章,内积空间,吴 群,同济大学数学系,wuqun,4.1,实,内积空间,定义,.,设,V,是一个实线性空间，,R,为实数域，,2,若,a,b,V,存在唯一的,r,R,与之对应，,记作,(,a,b,) =,r,并且满足,(1) (,a,b,) = (,b,a,),(2) (,a,+,b,g,) = (,a,g,) + (,b,g,),(3) (,k,a,b,) =,k,(,a,b,),(4) (,a,a,),0, (,a,a,) =,0,a,=,0,则称,(,a,b,),为,a,与,b,的内积，,V,为,实,内积空间。,实,内积空间也称欧几里得,(,Euclid,),空间。,对称性,线性性,非负性,3,定义内积,例,.,线性,空间,称为内积,空间 的标准内积。,4,定义内积,A,为,n,阶实正定矩阵，,例,.,线性,空间,5,定义内积,例,.,线性,空间,C,a,b,，,f,g,C,a,b,6,由定义知,(5) (,a,b,+,g,) = (,a,b,) + (,a,g,),(6) (,a,k,b,) =,k,(,a,b,),向量长度, Cauchy-Schwarz,不等式,定义,.,设,V,为,实,内积空间，称 为向量,a,的长度，,记作,|,a,|,。,定理,.,设,V,是,实,内积空间，,a,b,V,k,R,，则,等号成立当且仅当,a,b,线性相关；,Cauchy-Schwarz,不等式,三角不等式,正定性,齐次性,8,例：利用,Cauchy-,Schwaz,不等式证明,向量的夹角,由,Cauchy-,Schwaz,不等式可知,向量的正交,定义,.,设,V,是,实,内积空间，,a,b,V,若,(,a,b,),= 0,则称,a,与,b,正交，记作,a,b,。,a,与,b,正交,这就是实,内积空间中的勾股定理。,11,向量,a,与,b,在该基下的坐标为,12,度量矩阵,矩阵,A,称为基的度量矩阵。,即,A,为实对称矩阵。,即,A,为实正定矩阵。,定理：设内积空间,V,的两个基是：,它们的度量矩阵,分别,为,A,与,B,，则,A,与,B,是合同的，,即存在可逆矩阵,P,，使得,其中可逆矩阵,P,是由前组基到后组基的过渡矩阵。,4.2,标准正交基,若它们两两正交，则称其为一个正交向量组。,定理：正交向量组必是线性无关的。,16,且其中每个向量的长度都是,1,，,注意：,(1),标准正交基的度量矩阵是单位矩阵，即,(2),向量在标准正交基下的坐标是该向量在对应的,基向量上的正投影，即,Gram-Schmidt,正交化过程,Gram-Schmidt,正交化过程：,设,是内积空间,V,中线性无关,的向量组,，,，使得,则,V,中存在正交向量组,Gram-Schmidt,正交化过程,图解,19,令,是,正交向量组，并且,则,记,或,注意到,K,是可逆矩阵，因此,是正交向量组,下面用归纳法说明,由归纳法假设可知,是正交向量组。,即,矩阵,A,的,QR,分解,推论,1,：,n,维实内积空间,V,必存在标准正交基。,推论,2,：,n,维实内积空间,V,中任一,正交向量组都可扩充成,V,的一个正交基。,推论,3:,设,A,为可逆阵，则存在,正交阵,Q,和可逆上三角阵,R,使得,A,=,QR,，称为矩阵,A,的,QR,分解。,24,设,A,为,n,阶可逆阵，则利用,Gram-Schmidt,正交化过程，,25,26,例,:,求,矩阵,A,的,QR,分解，,4.3,正交子空间,定义,:,设,W,U,是实内积空间,V,的子空间，,(1),a,V,若,b,W,都有,(,a, b,) = 0,则称,a,与,W,正交，记作,a,W,;,(2),若,a,W,b,U,都有,(,a, b,) = 0,则称,W,与,U,正交，记作,W,U,;,(3),若,W,U,，并且,W,+,U,=,V,则称,U,为,W,的正交补。,注意：若,W,U,，,则,W,与,U,的和必是直和。,正交补的存在唯一性,定理,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，则,W,的正交补,存在且唯一，记该,正交补为 ，并且,向量的正投影,定义,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，,则称向量,b,为向量,a,在,W,上的正投影，,称向量长度,|,g,|,为向量,a,到,W,的距离。,W,d,b,O,a,g,垂线最短定理,定理,:,设,W,是实内积空间,V,的子空间，,a,V,b,为,a,在,W,上的正投影，则,d,W,有,并且等号成立当且仅当,b,=,d,。,W,d,b,a,4.4,正交变换,定义,:,设,T,是实内积空间,V,的线性变换，若,a,V,有,则称,T,为,V,的正交变换。,正交变换的特征刻画,定理,:,设,T,是实内积空间,V,的线性变换，,a,b,V,，,则下列命题等价，,33,推论,：,(1),两个正交变换的积仍是正交变换；,(2),正交变换的逆变换仍是正交变换。,Householder,变换,构造 的正交变换,讨论正交变换,H,的几何意义。,故,H,(,a,),是,a,关于子空间的反射，,d,a,g,b,w,O,-g,矩阵,H,称为,Householder,矩阵，,变换,H,称为,Householder,变换，,变换,H,也称初等反射,变换。,36,求一个,初等反射,变换,H,，使,H,(,a,)=,b,。,只需求一个,w,使得,b,是,a,关于子空间 的反射，,于是,w,与,a - b,平行，故可取,4.5,复,内积空间,定义,.,设,V,是一个,复,线性空间，,C,为复数域，,37,若,a,b,V,存在唯一的,c,C,与之对应，,记作,(,a,b,),=,c,并且满足,(2) (,a,+,b,g,),=,(,a,g,) + (,b,g,),(3) (,k,a,b,),=,k,(,a,b,),(4) (,a,a,),0, (,a,a,),=,0,a,=,0,则称,(,a,b,),为,a,与,b,的内积，,V,为,复,内积空间。,复,内积空间也称酉空间。,对称性,线性性,非负性,(1) (,a,b,),=,(,b,a,),38,定义内积,例,.,线性,空间,称为复内积,空间 的标准内积。,39,在复内积空间中还有,(5) (,a,b,+,g,) = (,a,b,) + (,a,g,),(6) (,a,k,b,) =,k,(,a,b,),(8) Cauchy-,Schwaz,不等式,且,(,a,b,),= 0,a,与,b,正交,(10),Schmidt,正交化过程把线性无关的向量组变成正交组,40,向量,a,与,b,在该基下的坐标为,41,度量矩阵,矩阵,A,称为基的,度量矩阵,。,，即,A,为复正定矩阵。,，则称,A,为,Hermite,矩阵。,，即,A,为,Hermite,矩阵。,称,A,为复正定矩阵。,设,T,是复内积空间,V,的线性变换，若,a,V,有,则称,T,为,V,的酉变换。,定理,:,设,T,是复内积空间,V,的线性变换，,a,b,V,，,则下列命题等价，,4.6,正规矩阵,例如，对角阵，酉矩阵，,Hermite,阵都是正规阵。,定义,2,：设,A,B,是复方阵，若存在酉矩阵,U,，使,则称,A,与,B,酉相似。,定理,1,：任意复方阵必与上三角阵,酉相似,。,对复方阵的阶数用归纳法。,引理,1,：正规的三角阵必是对角阵。,定理,2,：复方阵,A,与对角阵,酉相似的充分必要条件是,A,是正规阵。,推论：实对称,阵必与对角阵相似的,。,