第1章条件概率,全概率公式(二)

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,第一章 随机事件与概率（二）,本章要点,了解概率论中的一些基本概念,:,随机试验,样本点,样本空间,.,事件的关系和运算,.,了解概率的统计定义和,古典概型,.,了解概率的公理化定义及相关性质,掌握古,典概型中概率的计算方法,.,五、条件概率与事件的独立性,1.,条件概率,引例,某家电商店库存有甲、乙两联营厂生产的相同牌号的,冰箱 台,甲厂生产的 台中有 台次品,.,乙厂生产的,台中有 台是次品,.,今工商质检队随机地从库存的,冰箱中抽检一台,那么抽检到的 台是次品（记为事件 ）,的概率有多大？,转变为在事件 发生的前提下（增加了一个附带条件）,由古典概率的计算,知,若商店有意让质检队从甲厂生产的产品中抽检 台,那,么这 台是次品的概率又是多少？,容易得到,此时的概率为,注意到这两个概率是不同的,想想为什么,?,从甲厂生产的产品中抽取 台（记为事件 ）,则问题,即在“抽到的产品是甲厂生产”的条件下,求事件 发生,注意到,的概率,.,如此概率称为,条件概率,记为,从而有关系,:,下面就几何概率,验证上式的正确性,.,设样本空间 是某个区域,每个样本点出现的可能性,相同,则由几何概率的计算公式得,:,在事件 发生的前提下（样本空间从 缩小到 ）,事,件 发生的概率为,由此得到,定义 给定一个随机试验,是相应的样本空间,对于,任意两个事件,其中,称,为在已知事件 发生的条件下,事件 的,条件概率,.,可以验证,条件概率,满足概率公理化定义中,的 条公理,.,例,21,某建筑物按设计要求使用寿命超过 年的概率为,超过 年的概率为,该建筑物使用寿命超过,年后,它将在 年内倒塌的概率有多大,?,解 设事件 表示“该建筑物使用寿命超过 年”,事件,表示“该建筑物使用寿命超过 年”,.,由题意,得,又因为,故所求的,条件概率为,例,22,某袋中有红球,6,个,白球,4,个,取二次球,每次取一,解 记 分别表示第一、第二次取红球的事件,.,由条,注意到,此时 且,个,.,求在第一次取到红球的条件下,第二次也取到红球,的概率（不放回）,.,件在第一次取红球的条件下第二次取红球的概率为,:,由得,设 为事件,且 由条件概率公式,变形后有,2.,乘法公式,进一步地有,设 为事件,则,例,23,（机遇问题）,解 以 表示第 人摸到奖券这一事件,则,由乘法公式得,四个人摸到的概率,.,设有十人摸一张有奖的奖券,求第,第四人摸到的事件为,例,23,设袋中有 个红球和 个白球,.,每次随机地从袋,的球,共取了 次,试求 次取到的都是红球的概率,.,解 设事件 表示第 次取到的是红球,则,中取 球,然后把原球放进,再放进 个与取出的球同色,所以,独立的意义,问题的引出,:,设 是随机试验,是相应的样本空间,是两个事件,.,在前面的众多例子中,我们看到,在一,般情况下,事件 的发生都会对事件 的发生产生影响,但某些情况下,事件 的发生与 的发生没有任何影响,.,用数学公式来反映的话即为,:,2.,随机事件的独立性,例,24,一袋中装有个,4,白球, 2,个黑球,从中有放回取两次,解 以 表示第一次取到的是白球,表示第二次取到的,又有条件概率公式,每次取一个,.,求在第一次取到的是白球的条件下,第二次,取到的也是白球的概率,.,也是白球,则有,即,:,上式表明,:,事件 的发生对事件 的发生没有任何影响,.,再由条件概率公式,:,实际上,由于该问题是一个放回抽样问题,常识告诉我们,事件 不应该对事件 产生影响,.,由上式,:,和前式相比较,有,为此,我们引入下面概念,.,定义 设 为事件,且满足,则称事件 是,独立的,.,独立性,定理 如果,件是,则事件 独立的充分必要条,定理 下列 个命题是等价的,:,事件 与 相互独立,;,事件 与 相互独立,;,事件 与 相互独立,;,事件 与 相互独立,.,注意该定理的意义,.,定义 设 为事件组,且任取 有,则称 是,相互独立的,.,当 时,事件组 独立的含义是,:,当成立,则称事件组 是,两两独立,的,.,例,25,某项工作交由三个人独立完成,设这三人完成的,解 设 分别表示第一,第二,第三人完成该工,再设事件 表示工作被完成,则 因,又,概率分别为 求该项工作被完成的概率,.,作,则,所以,所以,注意求解该类题的一般方法,.,例,26,已知每个人的血清中含有肝炎病毒的概率为,解 事件“混合后的血清中含有肝炎病毒”等价于“,100,个,且他们是否含有肝炎病毒是相互独立的,.,今混合,100,个人,的血清,试求混合后的血清中含有肝炎病毒的概率,人中至少有一人的血清中含有肝炎病毒”,.,设事件 表,则所求概率为,:,示“第 个人的血清中含有肝炎病毒”,即混合后的血清中含有肝炎病毒的概率为,0.33.,此例说明,小概率事件在多次的重复试验中会有较大,可能出现,.,3.,独立性在可靠性问题中的应用,可靠性问题是系统设计,产品质量控制中的一类重要,问题,.,在以下讨论中,假设各元件是否能正常工作是相互独,立的,.,解 设 表示各部件正常,靠度为,因此系统的可靠度为,例,27,设一个系统由 个元件串联而成,第 个元件的可,试求这个串联系统的可靠度,.,表示系统正常,则系统正常等价于每个部件正常,.,这样的问题称为,串联系统,问题,.,例,28,设某台设备由六部件组成,已知该设备出故障,解 设 表示各部件正常,表示设备正常,又,每个部件都出故障,.,又,每个部件工作出故障的可能性,为 求设备正常工作的概率,.,则有,该问题称为,并联系统,问题,.,例,29,设一个系统由 个元件组成,其连接方式如图所,示,试求这个混合系统的可靠度,.,解 元件,组成一个并联系统,相应的可靠度为,该系统与元件 组成一个串联系统,此时可靠度为,最后与元件 构成并联系统,故相应的可靠度为,贝努利试验,目标是,相互独立的,.,则称这个试验为贝努利试验,相应的数学模型称为贝努,4.,贝努利概型和二项概率,甲、乙、丙 名射手向同一目标射击,把每个射手的,射击看做是一个试验,共有 个试验,.,假定每个射手射中,假定 个试验的试验结果是相互独,立的,便称这 个试验,相互独立,.,如果在 次试验中,我们只关心某个事件 是否发生,利概型,.,通常记,则,如果把贝努利试验独立地重复做 次,这 个试验合在一,起称为 重贝努利概型,.,设事件 表示“ 重贝努利试验中事件 恰好发生 次”,在指定的,次试验中发生 而其余的为 的概率为,:,注意到,这样的指定方式总共有 个,所以所求概率,为,又因为这样的概率仅和数 有关,因而上式常常简记,为,通常又称上式为,二项概率,.,例,30,抛起一枚均匀的硬币 次,试求恰出现 次正面向,上的概率,.,解 此时,由公式得,例,31,设某人开车回家,途经,6,个道口,已知在每个道口,解 此为 的二项概率,.,由公式得,1.,2.,遇红灯的概率为,0.4,求,1.,恰好遇到,4,个红灯的概率,;,2.,至少遇到二个红灯的概率,.,例,32,某小区有,10,部电梯,每部电梯发生故障的概率为,解 此问题是 的二项概率,以 表示在,0.2,求在同一时刻有三部电梯发生故障的概率,.,同一时刻电梯发生故障的台数,则问题为求概率,由公式得,该问题可以进一步延伸为,:,某小区有,200,部电梯,每部,电梯发生故障的概率为,0.02,电梯发生故障时,物业管理,部门需要派出一名维修工人进行修理,.,要保证电梯发生,故障时,物业管理部门一定有维修工人可以派遣,则一,个最可靠的方法是,为每一部电梯都安排一个维修人员,.,但实际上,没有一个物业管理部门会这样做,.,现在的问题,是,如果我们要求以,95%,的把握保证当电梯发生故障时,物业部门有维修人员可以派遣,则应该聘用多少名维修,人员？,若以 表示发生故障的电梯台数,表示聘用的维修人,即要找到适当的 使上式成立,.,若用公式进行计算,员数,则问题为,则问题是比较复杂的,.,在下一章中,我们寻找更好的方,法来解决该问题,.,例,33,甲、乙两名选手进行比赛,已知甲的实力较强,每盘棋获胜的概率为,假定每盘棋的胜负是相互独立,的,在下列 种情况下,试求甲最终获胜的概率,.,采用三盘比赛制,;,采用五盘比赛制,;,采用九盘比赛制,.,解 每盘比赛只有“甲胜”（记作 ）与甲负（记作 ）,两种结果， 此为一个贝努利概型,.,1.,完备事件组,六、全概率公式和贝叶斯公式,设 为随机试验,为相应的样本空间,则称该事件组为,完备事件组,.,为事件组,若满足,是一个完备事件组,.,例,34,设 而,注 完备事件组实质上是样本空间的一个划分,.,2.,全概率公式与逆概率公式,贝叶斯公式,全概率公式,定理 设 个事件 构成样本空间的一个划,分,是一个事件,当 时,当 时,公式称为贝叶斯公式或逆概率公式,不合格率分别为,机地取了一台,.,求该产品为不合格品的概率,;,顾客开箱测试后发现冰箱不合格,但这台冰箱的厂标,例,35,某商店有 台相同型号的冰箱待售,其中 台,是甲厂生产的,台是乙厂生产的,台是丙厂生产的,一位顾客从这批冰箱中随,已经脱落,试问这台冰箱是甲厂、乙厂、丙厂生产的概,率各为多少,?,解 以 分别表示“顾客买到的冰箱是甲厂、乙,厂、丙厂生产的”,由全概率公式得,:,则,是样本空间的一个划分,且,再设 表示“买到的是不合格品”,则,由贝叶斯公式,:,注意 对一个较为复杂的由多种“原因”形成的概率问,题,使用全概率公式是一个很好的选择,.,例,36,甲袋中有红球,6,个,白球,3,个,乙袋中有红球,5,个,白,解 以 分别表示从甲袋及乙袋中取到的是红球,则,由全概率公式得,球,4,个,今随机地从甲袋中取一球放入乙袋,再从乙袋中,取一球,求从乙袋中取红球的概率,.,注意该概率的具体意义,.,例,37,设有三箱产品,其中甲箱有产品,120,件,次品率,随机取一箱,再取一件,取到的是次品,;,开箱后混放,从中取一件,取到的是次品,;,乙箱有,100,件,次品率 丙箱有,200,件,次品率 求以,下概率,:,在第二种情况下,发现是次品,该产品是由乙厂生产,的,.,解 设 表示从甲、乙、丙三箱中取产品,表,由于是随机取箱,所以,示取到的是次品,则,由全概率公式,又,由于第二个问题是开箱后混放产品,故取到各箱产品,的概率就不同了,此时产品总数为,420,件,所以,再由全概率公式得,因,由贝叶斯公式,例,37,一批产品中,由甲、乙、丙三厂共同生产的,其中,解 以 分别表示从甲、乙、丙三厂取产品,则,又设 表示取到的是次品,则,甲厂的产品占 次品率为 乙厂的产品占,次品率为 丙厂的产品占 次品率 今随机,地抽取一产品,已知取到的是次品,则该产品是由乙厂,生产的概率是多少,?,及,由全概率公式,得 再由公式得,例,38,某架飞机有可能飞过三城市上空,飞过甲地的概,解 设 表示飞机飞过甲、乙、丙三城市的上空,率为,0.2;,飞过乙地的概率为,0.5;,飞过丙地的概率为,0.3;,当飞机飞过城市,有可能被击落,击落的概率分别为,现已知飞机被击落,问飞机在哪个城市上,空被击落的可能性最大？,表示飞机被击落,则由已知条件得,:,及,则由全概率公式得,再由贝叶斯公式得,:,所以,在乙城市上空被击落的可能性最大,.,例,39,三人独立向一飞机射击,命中率分别为,解 设 分别表示第一、二、三人击中飞机,则,又设 表示有一人击中飞机,则,已知飞机被一人击中而被击落的概率为,0.4,如果被二人,击中,被击落的概率为,0.7,三人击中,则飞机一定被击,落,.,求飞机被击落的概率,.,上式中的事件是两两互不相容的,因而有,设 表示飞机被击落,则由已知条件得,及 和 最后设 表示有三人,同理,设 表示有二人击中飞机,则有,击中飞机,则有 及 由全概率,公式得,例,40,（桥式系统）,设一个系统由 个元件组成,连接,方式如下图,.,每个元件的可靠度都是,每个元件是否,正常工作是相互独立的,试求这个桥式系统的可靠度,.,当元件 正常时,系统相当于下图所示一个混联系统,:,解 记 表示元件 处于正常工作,表示系统正常,.,因而可靠度为,若 不发生时,系统如下图所示的混联系统,:,因而可靠度为,由全概率公式得,七、部分作业解答,1.2,化简下列各式,解 ,1.3,某建筑物倒塌（记为事件 ）的原因有以下三个,:,1.,地震（记为事件 ）；,2.,台风（记为事件 ）,; 3.,暴,雨（记为事件 ）,.,已知台风时必有暴雨,试用简明的,形式表达下列事件,解,1.6,已知 件产品中有 是不合格品,今从中随机地抽,件,试求,:, 产品中恰有 不合格品的概率,;,产品中至少有一件不合格的概率,.,解 以 表示取到的 件产品中恰有 件是次品,则取,法总数为,而取到的产品中恰有 件是次品的取法,数为,因而所求的概率为,以 表示取到的产品中至少有一件是次品,则 表示,取到的产品都是正品,.,所以所求概率为,所求概率为,:,中取,相应的取法数是,1.7,一个口袋里装了 球,编号分别是,今随机,地从袋取 只球,试求,:,最小号码是 的概率,;,最大号码是 的概率,.,解 以 表示取到的最小号码是 此意味着另外 球从,记事件 表示“最大号码是 ”，则同样地有,1.11,设 是两个事件,已知,试求,解 因,所以,1.12,设 是 个事件,已知,试求 中至少有 个发生的概率和 全不发,生的概率,.,解,1.14,一盒子中装有 只晶体管,其中有 只是不合格品,.,现在做不放回抽样,连接取 次,每次随机地取 只,试,求下面事件的概率,:, 只都是合格品,;, 只是合格品,是不合格品,;,至少有 只是合格品,.,解 连续两次取产品的所有可能的取法总数是,以 表示取到的都是合格品,则取法总数是,所以,以 表示取到的产品中有一个是合格品,则取法数为,所以,以 表示取到的产品中至少有一个是合格品,则 表,示取到的产品中全部是不合格品,.,因而,所以,1.15,一商店出售晶体管,每盒装 只,.,已知每盒中有,只为不合格品,.,商店采用“缺一赔十”的销售方式,.,顾客,买一盒晶体管,如果随机地取 只,发现是不合格品,商,店要立刻把 只合格的晶体管放入盒中,.,不合格的那只,晶体管就不再放回,.,顾客在一只盒子中随机地先后取,只晶体管进行测试,试求他发现全是不合格品的概率,.,解 以 表示第 次取到的是不合格品,则由已知条件,得,:,由乘法公式得,1.16,设 是两个相互独立事件,已知,求,解 由,独立性,由此得,1.18,设一名情报员能破译一份密码的概率是,试,问,至少要使用多少名情报员才能使破译一份密码的概,率大于,解 设总共使用 名情报员破译密码,.,则密码被破译的,概率为,又由已知条件,即,所以要使用 名情报员,.,1.20,有 个元件,每个元件的可靠度都是 试求下,列系统的可靠度,:,每 个元件串联成一个子系统,再把这两个子系统并,连,;,每两个元件并联成一个子系统,再把这 个子系统串,连,.,解 个元件串联之后的可靠度为,:,所以两个子系统并联之后的可靠度为,两个元件并联后构成的子系统的可靠度为,因而 个这样的子系统串联后所形成的系统的可靠度为,1.22,名篮球运动员独立地投篮,每个运动员投篮的命,中率都是,他们各投篮一次,试求,:,恰有 次投中的概率,;,至少有 次投中的概率,;,至多有 次投中的概率,;,解 该问题是一个,的二项概率,.,所以,1.24,某厂生产的钢琴中有 可以直接出厂,剩下的,经调试后,其中 可以出厂,被定为不合格品,不能出厂,.,该厂现生产了 架钢琴,假定各钢琴,的质量是相互独立的,求,:,任意一架钢琴能出厂的概率,;,恰有 架不能出厂的概率,;,全部钢琴能出厂的概率,.,解 以 表示能直接出厂,表示能出厂,则,所以由全概率公式得, 个产品中恰有 个不能出厂的概率为,:, 个产品都能出厂的概率为,1.25,某年级有甲、乙、丙三个班级,各班人数分别占,总人数的,已知这 个班级中集邮人数分别占总,人数的,试求,从该年级中随机地选取一个人,此人为集邮者的概率,从该年级中随机地选取,发现此人为集邮者,此人属,于乙班的概率,.,解 该问题是个全概率和逆概率问题,.,设 分别表示从甲、乙、丙三个班级中任选一,人这一事件,则,再以 表示选到的是集邮者,则,选中的人是集邮者的概率,:,此人是乙班的概率,:,1.27,已知甲袋中装有 只红球,只白球,乙袋中装有,只红球 只白球,.,试求下列事件的概率,:,合并两只口袋,再从中随机地取 球,该球是红球,;,随机地取 袋,再从袋中取 球,该球是红球,.,解 合并后,总球数为,从甲袋中随机取 只球放入乙袋,再从乙袋中随机地,取 球,该球是红球,.,红球数为,因而取到红球的概率为,以 表示从甲袋中取球,则 表示从乙袋中取球,.,由此得,由全概率公式得,再以 表示取到的是红球,则,以 表示从甲袋中取的是红球,则,以 表示从乙袋中取的是红球,则,所以,1.30,一盒子中装有 只乒乓球,其中 只是新球,.,第一,次比赛时随机地从盒子中取出 乒乓球,使用后放回盒,子,.,第二次比赛时,又随机地从盒子中取出 只乒乓球,试求第二次取到的都是新球的概率,;,已知第二次取到的都是新球,试求第一次比赛时取出,的球恰有 只是新球的概率,.,解 以 表示第 次取到的有 只新球,则,以 表示第二次取到的都是新球,则,所以,由逆概率公式得,