第1章数制与码制(A)

数字电路与逻辑设计,（,B,）,南京邮电大学,电子科学与工程学院,第,*,页,第,1,章 数码与数制,*,章目录,第,1,章 数制与码制,1.1,数制,1.,常用数制,2.,数制转换,1.2,码制,1.,二进制码,2.,二,-,十进制码（,BCD,码）,3.,二进制数的算术运算,3.,字符、数字代码,1.,思考题,2.,辨析题,3.,补码系统中的加法运算,1.3,其它,作业,2024/9/21,第,1,页,知识点一：,数制、码制的基本概念,知识点二：,常用数制及其转换,知识点三：,常用二进制码及,BCD,码,教学基本要求：,1.,了解数制、码制的基本概念,;,2.,掌握常用数制,(,二、八、十、十六进制,),及相互转换,的方法,;,3.,了解常用二进制码,(,自然二进制码、循环码、奇偶,校验码,),及,BCD,码,(,8421BCD,5421BCD,余,3BCD,),。,本章知识点及要求（,3,学时）,2024/9/21,第,2,页,【,作业,】,1.6,1.7,1.8,1.9,1.10,1.11,望同学们：,独立完成作业,认真完成作业,2024/9/21,第,3,页,位置计数法,按权展开法,进位计数制,：,用进位的方法进行计数的数制。,数制的三要素,：,数码,、,基数,、,位权,1.,十进制,（,Decimal,）,一、常用数制,用来表征数值信息。,a,i,：,09,中任一数码。,一般情况下，,n,位整数，,m,位小数。,a,i,.,:,数码,，,0 ,R,1,R,:,基数,，,R,进制数,i,:,位权,，,数码所在位数,构成：,10,个数码（,09,）；,逢,10,进,1,，借,1,当,10,。,数制（计数体制）,权值,数制：,计数体制,2024/9/21,第,4,页,数制（计数体制）,2.,二进制,（,Binary,）,构成：二个数码（,0,、,1,）；,逢二进一，借一当二。,a,i,：,0,、,1,中任一数码。,3.,八进制,（,Octal,）,构成：,8,个数码（,07,）,；,逢,8,进,1,，借,1,当,8,。,a,i,：,07,中任一数码。,构成：,16,个数码（,09, AF,）,；逢,16,进,1,，借,1,当,16,。,a,i,：,0,F,中任一数码。,4.,十六进制,（,Hexadecimal,）,(1110),B,=1,2,3,+,1,2,2,+,1,2,1,+,0,2,0,=(14),10,=(E),16,=(16),8,举例：,为什么？,2024/9/21,第,5,页,计数制,数码,基数,位权,举例,十进制,09,10,10,i,(123),10,; (456.321),D,二进制,0,、,1,2,2,i,(1010),2,; (1001.101),B,八进制,07,8,8,i,(567),8,; (745.217),O,十六进制,09,、,AF,16,16,i,(2A2B),16,; (1B3.EC),H,各种计数制的三要素,下标,：,D,:,D,ecimal,;,B,:,B,inary,；,O,:,O,ctal;,H,:,H,exadecimal,数制（计数体制）,(X),2,= (X),B,(X),10,= (X),D,(X),8,= (X),O,(X),16,= (X),H,2024/9/21,第,6,页,十进制数,二进制,八进制,十六进制,00,01,02,03,04,05,06,07,08,09,10,11,12,13,14,15,十进制数,二进制,八进制,十六进制,00,0000,01,0001,02,0010,03,0011,04,0100,05,0101,06,0110,07,0111,08,1000,09,1001,10,1010,11,1011,12,1100,13,1101,14,1110,15,1111,十进制数,二进制,八进制,十六进制,00,0000,00,01,0001,01,02,0010,02,03,0011,03,04,0100,04,05,0101,05,06,0110,06,07,0111,07,08,1000,10,09,1001,11,10,1010,12,11,1011,13,12,1100,14,13,1101,15,14,1110,16,15,1111,17,不同进制数的对照表,十进制数,二进制,八进制,十六进制,00,0000,00,0,01,0001,01,1,02,0010,02,2,03,0011,03,3,04,0100,04,4,05,0101,05,5,06,0110,06,6,07,0111,07,7,08,1000,10,8,09,1001,11,9,10,1010,12,A,11,1011,13,B,12,1100,14,C,13,1101,15,D,14,1110,16,E,15,1111,17,F,数制（计数体制）,2024/9/21,7,观察与思考,1.,十、二、八、,十六进制,数通常用于什么场合？,2.,日常生活中还常用哪些数制？,3.,二、八、十六进制的基数有何特点？,4.,八、十六进制数码与二进制数码有何关系？,数制（计数体制）,则有,例：,2024/9/21,第,8,页,二、数制转换,1.,二,/,八,/,十六进制与十进制间的转换,(1),二进制转换为十进制,方法,：,按位权展开相加,例,1:,(,1,1.01,),B,=,1,2,1,+ 1,2,0,+ 0,2,-1,+ 1,2,-2,=,(,3.25,),D,数制（计数体制）,(2),十进制转换为二进制,方法,：,基数乘除法,例如：,(57),D,= (?),B,例如：,(0.6875),D,= (?),B,即，,整数部分用除,2,取余法；小数部分用乘,2,取整法,2024/9/21,第,9,页,解：,57,2,28,2,14,2,7,2,3,2,1,余数,1,0,0,1,1,1,有效位,k,0,(,最低位,),k,5,(,最高位,),k,1,k,2,k,3,k,4,所以，,(57),D,= (,111001,),B,数制（计数体制）,例,2,：,(57),D,= (?),B,2024/9/21,第,10,页,解：,0.6875,取整数,2,1,.3750,1,0,.7500,0,1,2,1,.5000,2,1,.0000,1,2,有效位,k,-1,(,最高位,),k,-2,k,-3,k,-4,(,最低位,),所以，,(0.,6875,),D,= (0.,1011,),B,数制（计数体制）,例,3,：,(0.6875),D,= (?),B,2024/9/21,第,11,页,(3),十进制转换为八、十六进制,例,4,：,(61.625),D,= (?),8,= (?),16,7,8,8,61,5,7,0,0,则,(61.625),D,= (75.5),8,16,3,16,61,13=(C),16,3,0,0,则,(61.625),D,= (3C.A),16,0.625,8,5,. 000,0.625,16,3,. 750,5,+ 6,. 25,10,. 000,10=(A),16,数制（计数体制）,2024/9/21,第,12,页,2.,二进制、八进制、十六进制间转换,特点：,三种进制的基数都是,2,的正整数幂。,方法：,分组转换,例,4,：,(101011.1),2,= ( ? ),8,= ( ? ),16,解：,(101011.1),2,= (101,011,.1 ),2,(101011.1),2,=,00,= (53.4),8,(,00,10,1011,.1,000,),2,= (2B.8),16,数制（计数体制）,例,5,：,将,(8FAC6),16,化为二进制,2024/9/21,第,13,页,观察与思考,1.,基数乘除法,中目标数制的有效位分布有何规律,？,2.,能否用数的,按权展开式,证明,？,第,1,次除以,2,，得到余数,a,0,第,n,次除以,2,，得到余数,a,n,-1,数制（计数体制）,2024/9/21,第,14,页,3.,小数的,精度,及,转换位数,的确定, n,位,R,进制小数的,精度,R,-n,例,7,：,(,0.12),10,的精度为,10,-2,例,8,：,(0.101),2,的精度为,2,-3,转换位数,的确定,2,-n,0.1,，,解：设二进制数小数点后有,n,位小数，,则其精度为,2,-n,。,例,9,：,(0.39),10,= ( ? ),2,，要求精度达到,0.1,。,解得,n,10,。,所以,(0.39),10,= (0.0110001111),2,。,数制（计数体制）,由题意知：,重要,2024/9/21,第,15,页,例,10,:,(,0.4526),10,=( ? ),2,，要求转换后的精度不低于原精度。,解：原精度为,10,-4,，设转换后为,n,位小数，,则,10,-4, 2,-n,，解得：,n, (4lg10)/lg2 =13.3,所以，,n,至少取,14,位。,(0.4526),10,= ( 0.01110011111,111,),2,数制（计数体制）,4.,其它进制间转换,方法,：,利用十进制数作桥梁,。,例：,(15),7,= ( ? ),5,(15),7,=,( 12 ),10,= ( 22 ),5,注意,按位权,7,展开 相加,除,5,2024/9/21,第,16,页,三、二进制数运算,算术运算：,1.,与十进制算数运算的规则相同,2.,逢二进一 ，借一当二,特点：,加、减、乘、除 全部可以用,移位、相加,这两种操作实现，简化了电路结构。,0 + 0 = 0,0 + 1 = 1,1 + 0 = 1 1 + 1 = 0,0 0 = 0 0 1 = 1 1 0 = 1 1 1 = 0,数制（计数体制）,2024/9/21,第,17,页,例,11.,求,1001,与,1010,之和。,解：末位对齐,逐位相加,1 0 0 1,+ ),.,1 0 1 0,1 0 0 1 1,即：,1001+1010=10011,二进制数加法运算,:,末位对齐逐位相加。采用,“,逢二进一,”,的法则。,例,12.,求,1101,与,1011,之差。,解：末位对齐,逐位相减,1 1 0 1,）,1 0 1 1,0 0 1 0,即：,1101-1011=10,二进制数减法运算,:,末位对齐逐位相减。当某数位减数大于被减数时，向高位借位，,“,借一当二,”,。,数制（计数体制）,2024/9/21,第,18,页,例,13.,求,1001,与,1011,的积。,解：,1 0 0 1,) 1 0 1 1,1 0 0 1,1 0 0 1,0 0 0 0,1 0 0 1,000,1 1 0 0 0 1 1,即：,1001,1011=1100011,例,14.,求,10010001,与,1011,之商。,解：,1 0 0 1 0 0 0 1,1 0 1 1,1,1 0 1 1,1 1 1 0,1,1 0 1 1,1 1 0 1,0,1,1 0 1 1,1 0,商,余数,可见，二进制数的乘法和除法运算与十进制数的运算类似，只是要采用二进制数的运算规则。,数制（计数体制）,2024/9/21,第,19,页,1.2,码制（编码的制式）,用来表征,非数值信息,。,例如：邮政编码；商品编码。,码制与数制的区别,数制中,，二进制数串表达具体数量，可以比较大小，,MSB,和,LSB,的,0,通常可以去掉（改变符号除外）；,码制中,，二进制数串表达不同的对象，不能比较大小，,MSB,和,LSB,的,0,不能去掉；,1.,二进制码,2.,二,-,十进制,(BCD),码,3.,字符、数字代码,2024/9/21,第,20,页,1.,二进制码,（,2,）,格雷码,(Gray Code),：,相邻,码间距,为,1,。,（,1,）,自然二进制码,0,1,灯灭,灯亮,00,01,普快,特快,10,11,动车,高铁,码制（编码的制式）,n,位码元,2,n,个对象,编码举例：,000,001,晴,雨,010,雪,011,雾,010,雨加雪,在一组数的编码中,若任意两个相邻数的代码中只有一位对应的码元不同,则称这种编码为格雷码。,例如, 001,1,与,001,0,相邻,其码间距为,1,。,注意：,格雷码的种类很多,循环码,是其中的典型。,自然二进制码是通常用以表示数值的一种二进制码。从编码的角度看,二进制数也是一种表示数的代码,称为自然二进制码。例如,1100,既是数,12,的二进制数,也是数,12,的自然二进制码。,2024/9/21,第,21,页,1,0,1,1,1,1,1,1,码制（编码的制式）,1,位,0,2,位,1,0,1,0,0,3,位循环码,0 0,0 1,1 1,1 0,0,0,0,0,1 0,1 1,0 1,0 0,循环码构成规律：,1.,互补反射,2.,镜像对称,互补反射,互补反射,镜像对称,镜像对称,镜像对称,循环码,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 1,0 0 1 0,0 1 1 0,0 1 1 1,0 1 0 1,0 1 0 0,1,1 0 0,1,1 0 1,1,1 1 1,1,1 1 0,1,0 1 0,1,0 1 1,1,0 0 1,1,0 0 0,4,位循环码,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,2024/9/21,第,22,页,补充说明：,循环码,是格雷码中常用的一种,其特是相邻两组编码间只有一位状态不同,且以中间为对称,即镜像对称的两组代码只有最左边一位不同。,循环码和二进制码之间保持确定关系,即已知一组二进制码,便可求出一组对应的循环码,;,反之亦然。,设二进制码为,B,=,B,3,B,2,B,1,B,0,则循环码为,G,=,G,3,G,2,G,1,G,0,其中,G,i,=,B,i+1,B,i,码制（编码的制式）,例如,: (,1011),B, (1110),G,；,(1010),B, (1111),G,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 1,0 0 1 0,0 1 1 0,0 1 1 1,0 1 0 1,0 1 0 0,1,1 0 0,1,1 0 1,1,1 1 1,1,1 1 0,1,0 1 0,1,0 1 1,1,0 0 1,1,0 0 0,2024/9/21,第,23,页,十进制数,二进制码,Gray,循环,码,B,3,B,2,B,1,B,0,G,3,G,2,G,1,G,0,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,0 0 0 0,0 0 0 1,0 0 1 0,0 0 1 1,0 1 0 0,0 1 0 1,0 1 1 0,0 1 1 1,1 0 0 0,1 0 0 1,1 0 1 0,1 0 1 1,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 0,1 1 1 1,0 0,0 0,0 0,0 1,0 0 1 1,0,0 1 0,0 1 1 0,0 1 1 1,0 1 0 1,0 1 0 0,1 1 0 0,1 1 0 1,1 1 1 1,1,1 1 0,1 0 1 0,1 0 1 1,1 0,0 1,1 0,0 0,格雷码的单位距离特性可以降低其产生错误的概率,并且能提高其运行速度。,例如,为完成,7+1=8,运算,计数器应由,0111,直接,变为,1000,。由于计数器中各元件特性不可能完全相同,故其变化过程可能为：,0111,1111,1011,1001,1000,虽然最终结果正确,但运算过程中出现了错码,1111, 1011, 1001,这会造成数字系统的逻辑错误,而且使运算速度降低。,若采用格雷码,由,7,变成,8,时只有一位发生变化,就不会出现上述错码，且运算速度会明显提高,.,码制（编码的制式）,2024/9/21,24,（,3,）,奇（偶）校验码,信息码,+,校验位,如,: 0010,1,0,偶校验,:,使码组中信息位和校验位中,“1”,的个数之和为偶数,。,奇校验,:,使码组中信息位和校验位中,“1”,的个数之和为奇数,。,发送方,接收方,0010,1,0011,1,0010,1,0001,1,“错”,“,对”,0010,1,0010,1,“对”,(,0,或,1,),偶校验结果,1101,1,1011,1,“,对”,码制（编码的制式）,偶校验,理论,2024/9/21,第,25,页,信息位,信息位,校验位,校验位,可见，,奇偶校验码只能检测一位错码,，,但不能测定哪一位出错，也不能自行纠正错误,。,若代码中同时出现多位错误，则该校验码无法检测。但是，由于多位同时出错的概率要比一位出错的概率小得多，并且奇偶校验码容易实现，因而该码被广泛采用。,码制（编码的制式）,2024/9/21,26,若采用自然二进制码为下列对象编码，分别需要,多少位码元？,【,思考题,】,1) 120,个人；,4) 9000,个汉字；,2) 8,位电话号码；,3),小汽车牌照（前,2,位英文字母或十进制数，后,3,位十进制数）；,码制（编码的制式）,120,2,7,= 128,，需,7,位,2,13,= 8192,9000,2,14,= 16384,，,需,14+16 = 30,位,8*4 = 32,，需,32,位,2*8 + 3*4=28,，需,28,位,注：西文字符,8,比特，中文字符,16,比特,2024/9/21,第,27,页,2.,二,十进制（,BCD,）码,（,Binary Coded Decimal Codes,）,习惯用十进制，但数字系统只处理二进制。,用,4,位二进制串,b,3,b,2,b,1,b,0,来表示十进制数中的,09,共十个数码，简称,BCD,码。,1.,定义,：,码制（编码的制式）,2.,分类,(1),有权码：,代码中的每一位都有固定权值,8421BCD,、,5421BCD,、,2421BCD,、,631-1BCD,(2),无权码：,无固定位权,余,3,码、余,3,循环码、格雷码、,8421,奇校码,2024/9/21,第,28,页,自补码,有权码,码制（编码的制式）,十进制数,8421,码,2421,码,5211,码,余,3,码,余,3,循环码,0,0000,0000,0000,0011,0010,1,0001,0001,0001,0100,0110,2,0010,0010,0100,0101,0111,3,0011,0011,0101,0110,0101,4,0100,0100,0111,0111,0100,5,0101,1011,1000,1000,1100,6,0110,1100,1001,1001,1101,7,0111,1101,1100,1010,1111,8,1000,1110,1101,1011,1110,9,1001,1111,1111,1100,1010,几种常用的,BCD,码,2024/9/21,第,29,页,8421BCD,0000,0001,0010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,余,3,码,循环码,余,3,循环码,十进制数,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,码制（编码的制式）,0000,0001,0011,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1111,1110,1010,合法,+3,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1111,1110,1010,0011,0100,0101,0110,0111,1000,1001,1010,1011,1100,0010,0110,0111,0101,0100,1100,1101,1111,1110,1010,参见,P10,2024/9/21,第,30,页,3.,多位十进制数的表示,十进制,09,一一对应二进制,00001001,！,例,15,：,( 380 ),10,= ( ? ),8421BCD,解：,( 380 ),10,= ( 0011 1000,0000,),8421BCD,4.,数制与,BCD,码间的转换,例,16,：,( 0110 0010 0000 ),8421BCD,=,( 620 ),10,例,17,：,( 0001 0010 ),8421BCD,= ( ? ),2,解：,( 0001 0010 ),8421BCD,= (,12,),10,= ( 1100 ),2,码制（编码的制式）,注意,2024/9/21,第,31,页,5.,8421BCD,的加减法运算,(1),加法运算,例,18,：,( 0010 ),8421BCD,+ ( 0011 ),8421BCD,= ( ? ),8421BCD,0010,0011,0101,所以结果为,( 0101 ),8421BCD,码制（编码的制式）,例,19,：,( 0001 ),8421BCD,+ ( 1001 ),8421BCD,= ( ? ),8421BCD,0001,1001,1010,0110,0001 0000,结果,9,(,即,1001,),非法码,出错！,加,6,修正,正确结果为,(,0001 0000,),8421BCD,2024/9/21,第,32,页,例,20,：,( 1000 ),8421BCD,+,( 1000 ),8421BCD,= ( ? ),8421BCD,1000,1000,1 0000,0110,0001 0110,正确结果为,(,0001 0110,),8421BCD,个位产生进位,出错！,加,6,修正,码制（编码的制式）,注意,1,：,两个,8421BCD,码相加，若相加结果中出现了,8421BCD,码的,非法码,或相加过程中，在,BCD,数位上出现了向高位的,进位,，则应对非法码及产生进位的代码进行,“,加,6,（即二进制数,0110,）修正,”,。,注意,2,：,加,6,修正时，若产生进位，不需修正。,注意,3,：,多位,BCD,码相加时可以连续修正！。,2024/9/21,第,33,页,例,21:,试用,8421BCD,码求,712+989,。,0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0,+,1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1,0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1,+,0 1 1 0 0 1 1 0,0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1,+,0 1 1 0,0,0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1,所以，,712+989=(0001 0111 0000 0001),8421BCD,=(1701),10,个位非法码,百位进位,个位和百位加,6,修正,十位非法码,在十位上加,6,修正,码制（编码的制式）,若修正时产生进位，不需修正。,2024/9/21,第,34,页,(2),减法运算,例,22,：,( 0110 ),8421BCD,( 0001 ),8421BCD,= ( ? ),8421BCD,0110,0001,0101,结果为,( 0101 ),8421BCD,码制（编码的制式）,例,23,：,( 0001 0000 ),8421BCD,( 0101 ),8421BCD,= ( ? ),8421BCD,0001 0000,0101,0000 1011,0110,0000 0101,正确结果为,(,0101,),8421BCD,产生借位,出错,减,6,修正,注意：,若两个,8421BCD,码相减过程中出现了,借位,，则应对产生借位的代码进行,“减,6,修正”,。,2024/9/21,第,35,页,3.,字符、数字代码,在数据通信中，,字符、数字代码,用于传输数据信息。数据信息一般由字母、数字和符号组合而成。,1.,国际,2,号电报码（,BAUDOT CODE,：博多码 ）,2.,国际,5,号电报码（,ASCII,码 ）,3.EBCDIC,码,5,单位代码。起止式电传、电报通信中使用的标准信息代码。,7,单位代码。,8,单位代码。通常作为计算机内部码使用，而不用于远距离传输。,码制（编码的制式）,2024/9/21,第,36,页,ASCII,码,如, AZ,的,ASCII,码为,41H5AH,2024/9/21,37,思考题,1.,数制的三要素是指什么？,2.,二进制数转换为十进制数采用什么方法？,3.,十进制数转换为二进制数采用什么方法？,4.,数字电路中的码元通常采用什么？,5.,码长为,n,的二进制码可以编成多少个代码？,6. 1,位,8421BCD,码加法运算的规则是什么？,其它,2024/9/21,第,38,页,( 0001 0010 ),8421BCD,= (,1,2,),10,(,000,1),2,(,00,10 ),2,辨析题,1,位权,10,0,位权,10,1,其它,2024/9/21,第,39,页,辨析题,2,(,9,9,.9,),16,= ( 1001,1001,.1001 ),2,位权,2,4,位权,2,0,位权,16,1,位权,16,0,位权,2,-4,位权,16,-1,1,2,7,+1,2,4,= (,12,3,+12,0,),2,4,1,2,-1,+1,2,-4,= (,12,3,+12,0,),2,-4,其它,12,3,+12,0,2024/9/21,第,40,页,反码表示法规定,:,正数的反码与其原码相同；负数的反码是对其原码逐位取反，但符号位除外。反码运算时其符号位与数值一起参加运算，其结果亦为反码 。,补码表示法规定,:,正数的补码与其原码相同；负数的补码是对其原码逐位取反，但符号位除外，然后整个数加,1,。,在补码系统中，一个负数是用其对应正数的补码来表示。,其它,例如：,2024/9/21,41,补码系统中的加法（共,4,种情况）,第,1,种情况：,两个正数相加。,第,2,种情况：,正数与一个比它,小的负数相加,其它,X+Y,补,= X,补,+ Y,补,X-Y,补,= X,补,+ -Y,补,2024/9/21,第,42,页,第,3,种情况：,正数与比它大的负数相加,第,4,种情况：,两个负数相加,补码系统中的加法（共,4,种情况）,其它,-X+Y,补,= -X,补,+ Y,补,-X-Y,补,= -X,补,+ -Y,补,2024/9/21,第,43,页,可编程文件*,.hex,的内容,2024/9/21,第,44,页,