全国周培源大学生力学竞赛辅导-往届竞赛题研讨

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,往届竞赛题研讨,全国周培源大学生力学竞赛第六届试题,（2007年）,全国周培源大学生力学竞赛第七届试题,（2009年）,从2007年起竞赛风格与往届相比有,重大变化,个人赛：,考察学生面对复杂问题时能否,抓住问题核心,、,洞察问题实质,的能力；,考查学生的,力学建模,能力；,在解题时考察学生能否灵活运用,力学概念,，简,单而巧妙地解题。,团体赛：,考察学生,理论联系实际,的能力，分工协作、相,互配合、动手制作的能力。,2007年试题特点,：,1题量少，内涵多；,2趣味新颖；,3灵活；,4强调发散思维。,2007年试题一,：,声东击西的射击手（,30分,）,射击的最高境界，不仅是指哪打哪，还要知道往哪儿指。欢迎来到这个与众不同的射击场。在这里，共有,10,个小球,P,i,(号码从,0,到,9,)，你需要把某个小球放在圆弧的适当位置上，然后静止释放小球即可。,假设系统在同一竖直平面内,(如图所示)，不考虑摩擦。圆弧,AB,的半径为,R,，,B,点与地面的高度,为,H,。均质细杆,CD,的质量为,M,，,长为,LH,，悬挂点,C,与,B,处于,同一水平位置，,BC,距离为,S,。小,球,P,i,质量均为,m,，不计半径，小球,P,i,与,CD,杆或地面碰撞的恢复因数均为,e,i,，且满足 (,i,=0,1,2,9,)。,P,1,击中杆上,D,点，试确定静止释放时的,q,，距离,S,有何限制？,CD,杆上的,E,点,，,为使,E,点尽可能远离,D,点，试确定该小球的号码及静止释放时的,q,，此时,CE,的距离,是多少？,CD,杆上,的,E,点，为使悬挂点,C,处的冲量,尽可能小，试确定该小球的号,码及静止释放时的,q,，此时,CE,的距离是多少？冲量有多大？,2007年试题一,：,声东击西的射击手（,30,分）,设小球,P,1,到达,B,处时速度为,v,B,v,B,小球,P,1,离开,B,处后作,平抛运动,x,y,m,g,P,1,击中杆上,D,点，试确定静止释放时的,q,，距离,S,有何限制？,v,B,x,y,小球,P,1,如何击中,杆上的,D,点？,先,与地面碰撞，,后,回跳时撞击杆？,直接,撞击杆？,链接,P,1,直接,与杆上,D,点碰撞,小球,P,1,直接击中,D,点时,小球,P,1,在,x,方向作,匀速,运动，在,y,方向作,匀加(减)速,运动。,小球,P,1,与地面碰撞前的速度,小球,P,1,与地面碰撞后的速度,碰撞前阶段：,h,回跳高度,碰撞后阶段：,P,1,回跳时,无法,碰到,D,点,P,1,直接,与杆上,D,点碰撞,小球,P,1,先与地面碰撞,返回,v,B,x,y,S,的限制,CD,杆上的,E,点,，,为使,E,点尽可能远离,D,点，试确定该小球的号码及静止释放时的,q,，此时,CE,的距离,是多少？,当 时反弹最高，可击中,C,点。,此时点,E,（与点,C,重合）离,D,点最远，,CE,=,0,。,9号小球,球落下多少就回跳多少,v,B,x,y,设小球,P,9,从离开,B,处到与地面碰撞所需的时间为,t,2,当 时，球落下的轨迹与回跳的轨迹,对称,。,设小球与地面碰撞,n,次击中,E,CD,杆上的,E,点，为使悬挂点,C,处的冲量尽可能小，试确定该小球的号码及静止释放时的,q,，此时,CE,的距离是多少？冲量有多大？,v,B,x,y,当碰撞冲量,I,E,CE,，且,作用于撞击中心，,C,1,即,时，,C,处的,I,C,=,0,。,I,E,小球回跳至,最高点,时碰撞，碰撞点距地面,。,设小球离开,B,与地面碰撞前的速度为,v,x,、,v,y,v,B,x,y,v,x,=,v,B,小球与地面碰撞后的速度,小球回跳至,最高点,时,6号小球,v,B,x,y,设小球从离开,B,处到与地面碰撞所需的时间为,t,3,设碰撞结束小球回跳至最高点所需的时间为,t,4,一个好的试题应该有,不同的途径,解决，而采用不同的途径可以反映出学生对问题的理解程度、对力学概念的掌握程度。,解题时，可能的处理方式有：,直接法、直觉、猜测、近似分析、定性分析等,如果说趣味性是为了吸引学生对力学的兴趣，灵活性则是为了考查学生力学素养的高低。,力学素养好的学生，应该是力学概念清楚，能够领悟问题的实质，了解处理问题的方法和思路，有时可以不经过复杂分析就能,看出,或,猜出,一部分答案。,第2问求碰撞点与杆上,D,点距离的极大值。,这一问的,关键,在于可以,直接看出,部分答案：采用完全弹性小球有可能得到最优解，因为其它小球都不能反弹到平抛时的初始高度。,第3问求悬挂点冲量的极小值。,如果学生,猜测,最小值是否可以为零？这样自然会引出碰撞中心的概念，从而顺利求解。,但绝大部分学生会按正常顺序做，即小球从某位置释放落下反弹与杆碰撞求极值。如果这样做，要联立大量复杂的公式，还要对两个变量求极值（其中一个是连续的角度变量，一个是离散的号码变量）！,2007年试题四,：,技高一筹的魔术师（,25,分）,魔术正式开始，仍用上一题中的道具(板和球的具体参数见第三题)。,魔术师首先撤去了滚轴,D,，观众看到两个水晶球在板上任意位置静止释放，都会从板的,B,端掉下去。但是细心的观众发现，即使两水晶球放在板的相同位置，掉下去所需时间却明显不同。,魔术师解释说，虽然两,水晶球的尺寸和重量完全相,同，但有一个水晶球的表面,涂了透明的新型材料，很光,滑。说完在后落下的水晶球,O,1,表面贴上了小纸片以示区别(假设小纸片的尺寸和重量相对水晶球均是小量)。,2007年试题四,：,技高一筹的魔术师（,25,分）,只见魔术师对两个水晶球吹了吹,，,声称已经把魔力注入其中，然后小心地把贴有纸片的,O,1,球静止放在板上(接触点为,B,点),，,同时让纸片远离接触位置,，,松手后水晶球,O,1,竟然真的可以一直稳稳地停留在板上,B,点。,在观众的掌声中，魔术师撤走了,O,1,球，把,O,2,球拿了起来。“这个水晶球不太听话，,我的魔力只能管,1,分钟”,魔,术师说完把,O,2,球转了转，,然后更加小心地把,O,2,球也,放在板上(接触点为,B,点)。,观众发现,，,O,2,球在,B,点停留,了大约,1,分钟，然后在没有外界干扰的情况下突然从板上,B,端掉了下来,2007年试题四,：,技高一筹的魔术师（,25,分）,根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？,水晶球,O,1,可在,B,点一直稳稳地停留，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及各参数应满足的必要条件或关系。,水晶球,O,2,只能在,B,点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的,关键参数，以及各参数应,满足的必要条件或关系。,根据题目叙述，试判断哪个水晶球涂了新型材料？,水晶球,O,1,可在,B,点一直,稳稳地停留，简要叙述其原理，,分析其中所涉及的关键参数，,以及各参数应满足的必要条件,或关系。,水晶球,O,2,涂了新型材料,光滑，先落下。,在板自重、球重力作用下，板发生弯曲变形。,小量,l,A,B,q,P,q,B,O,B,P,P,0,E,W,只要 （,自锁条件,）,即,水晶球,O,1,就静止于板上的,B,点,q,B,是小量,小纸片贴在球的其他位置时,小纸片贴在球的最左侧,只要小纸片与水晶球的重心落在过,B,点的铅垂线上，,水晶球,O,1,就能静止于板上的,B,点。,取大于号时，小纸,片与球心的连线非水平，但重心都要落在过,B,点的铅垂线上。,要使小纸片与水晶球的重心落在过,B,点的铅垂线上，必须,q,B,O,B,P,P,0,E,W,小纸片贴在球的其他位置时,设小纸片离,O,点的水平距离为,减小,P,0,增大,=,r,时，,P,0,=,P,0min,取等号时，小纸片与球心的连线水平；,水晶球,O,2,只能在,B,点停留很短的时间，简要叙述其原理，分析其中所涉及的关键参数，以及,各参数应满足的必要条件或关系。,没贴纸片的水晶球,O,2,是,动平衡,问题,球在板上打滑，在一段时间内球心速度为零，从而实现动平衡。,q,B,O,B,P,F,N,F,x,y,a,w,j,在一段时间后，球心速度不为零，球从板上掉下。,补充,解出,常,常,积分,水晶球,O,2,可以,停留,在板上,当,时,但是，随着时间,t,增大，角速度,w,减小。,水晶球,O,2,会从板上,掉下,当,w,= 0,即角速度,w,改变转向,时，摩擦力,F,也,改变方向,。,当,t,=1,min,=60,s,时，,w,= 0,。,q,B,O,B,P,F,N,F,x,y,a,w,j,试题以人物为主体，有简单的情节，有看似冲突的结果。,学生面对的是奇怪的现象或结果，需要的条件或参数在叙述中给出。某些条件可能是没有用的。,同一问题，可以有不同的提问方式。,正问题,比较容易，偏重集中性思维。,逆问题,比较困难，偏重发散性思维。,魔术师的问题是典型的逆问题，令人回味。,真正的魔术表演，往往令观众百思不得其解，可是一旦解密，又很简单。,平时的作业绝大部分是,集中性思维,，很容易有思路，剩下的只是补充细节。但,发散性思维,的问题往往让学生不容易找到思路，需要在各种可能的方法中试探比较。,发散性思维问题可以激发学生思考的积极性，同时让学生在思考过程中把学过的知识进行分类、组合、过滤，提高学生处理问题的能力。,一个设计得很好的发散性思维问题应该是开始时让学生百思不得其解，想到点子上立刻豁然开朗。,试题中最明显的,发散思维问题,是所谓的魔术师的问题：水晶球为什么能停留在明显倾斜的水晶板上，需要学生从各种角度去解释这看似不可能的现象。,第2问中魔术师看似不经意贴的小纸片对水晶球的平衡有重要影响。这是,静力学平衡,问题。,第3问的要点是,动力学平衡,。如果知道本问可以用刚体平面运动微分方程来解释，相信很多学生可能会惊讶为什么当时想不到这一点。,2009年试题一：,小球在高脚玻璃杯中的运动,(20分),一半球形高脚玻璃杯，半径,r,=5 cm,，其质量,m,1,=0.3 kg,，,杯底座半径,R,=5 cm,，厚度不计，杯脚高度,h,=10 cm,。如果有,一个质量,m,2,=0.1 kg,的光滑小球自杯子的边缘由静止释放后,沿杯的内侧滑下，小球的半径忽,略不计。已知杯子底座与水平面,之间的静摩擦因数,f,s,。试分,析小球在运动过程中：,高脚玻,璃杯会不会滑动；高脚玻璃杯,会不会侧倾（即一侧,翘起）。,O,j,分析杯子滑动情况,假设,杯子,不滑动,小球,小球在杯子未运,动前不脱离杯子,动能定理,F,1,m,2,g,v,牛顿第二定理,方程、,分析杯子滑动情况,杯子,O,j,F,1,m,1,g,F,N,F,x,最大静滑动摩擦力,因,杯子,不滑动,所以假设成立,分析杯子侧倾（一侧翘起）情况,当杯子处于侧倾的,临界,平衡状态时,x,=,0,O,j,F,1,m,1,g,F,N,F,x,C,综上，当小球自杯子的边缘由静止释放后,沿杯子的内侧滑下到与铅垂方向夹角,j,O,时，高脚玻璃杯,侧倾,（一侧翘起）。,解,或,即,时，杯子侧倾。,小球,先,经过,的位置,解方程,返回,或,或,2009年试题,二,：,杂耍圆环,(40分),1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？,2.杂技演员拿出一个匀质圆环，沿粗糙的水平地面向前抛出，不久圆环又自动返回到演员跟前。设圆环与地面接触瞬时圆环中心,O,的速度大小为,v,0,，圆环的角速度为,w,0,，圆环半径为,r,，质量为,m,，,圆环与地面间的静摩擦因数为,f,s,，不计滚动摩阻，试问：,圆环能自己滚回来的条件是什么？,圆环开始向回滚动直到无滑动地滚动，,在此运动过程中，圆环所走过的距离是多少？,2009年试题,二,：,杂耍圆环,(40分),当圆环在水平地面上无滑动地滚动时,，,其中心的速度,大小为,v,1,，圆环平面保持在铅垂平面内。试分析圆环碰到高为,h,(,h,r,/2,)的无弹性台阶后，能不脱离接触地爬上该台阶所应满足的条件。,，,假设圆环保持在铅垂平面内滚动,，,如图所示,。,又知铁棍与圆环之间的静摩擦因数为,f,t,，,圆环与地面间的滚动摩阻系数为,d,。试,求为使铁棍的推力(铁棍对圆环的作用,力)最小，圆环上与铁棍的接触点的位,置。,1.杂技演员将一个刚性圆环沿水平地面滚出，起始圆环一跳一跳地向前滚动，随后不离开地面向前滚动，为什么？,圆环不是匀质的,，质心不在圆环的中心。,开始滚动角速度大，圆环一跳一跳地向前滚动；,随后角速度减小，所以圆环不离开地面向前滚动。,2.圆环能自己滚回的条件,v,0,w,0,C,D,圆环与地面接触点,D,v,D,刚开始,圆环与地面有,相对滑动,m,g,F,N,F,s,v,w,a,a,匀减速运动,2.圆环能自己滚回的条件,v,0,w,0,C,D,v,D,m,g,F,N,F,s,v,w,a,a,圆环匀减速转动,由于摩擦力存在,v,和,w,都随时间而减小,随时间减小,时刻开始,摩擦力为零,即,此时质心速度大小为,要使圆环能够返回，必须,圆环自己,滚回的条件,即,2.从开始向回滚动直到无滑动地滚动，圆环走过的距离是多少？,v,0,w,0,C,D,v,D,m,g,F,N,F,s,v,w,a,a,圆环到达最远距离时：,质心速度,圆环开始纯滚动时：,此时,所需时间为,所需时间为,圆环从开始向回滚动直到纯滚动的过程中：,所求距离,质心作初速度为零、加速度为 的加速运动,C,h,D,圆环的运动：碰撞阶段、碰撞后阶段,碰撞阶段：,圆环质心的速度和转动角速度发生改变，,但圆环位置不变。,v,1,w,1,w,碰撞前：,v,1,、,w,1,对固定点,D,碰撞后：,v,C,、,w,只滚不滑,2.圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件,塑性碰撞,v,C,I,x,I,y,w,v,C,碰撞后阶段：,圆环在平常力作用下运动，,质心速度、转动角速度和位置都发生改变。,v,2,w,2,C,1,C,h,D,m,g,2.圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件,圆环爬上台阶，必须,圆环爬上台阶的条件,C,h,w,2.圆环能不脱离接触地爬上台阶所应满足的条件,圆环不跳起的条件,碰撞结束到圆环爬上台阶的,过程中,：,设圆环的角速度为,w,3,D,w,3,C,2,g,m,g,F,N,F,t,a,n,a,t,质心运动定理,圆环不跳起，必须,圆环能不脱离接触地爬上台阶的条件,F,为最小值时的接触点,A,C,B,D,q,j,m,F,N,M,f,F,s,m,g,F,设细铁棒在,A,点处与圆环接触,设,AC,与铅垂线间的夹角为,q,圆环匀速纯滚动,质心运动定理,对,B,点的动量矩定理,在,D,ACD,中，由正弦定理,F,为最小值时的接触点,A,C,B,D,q,j,m,F,N,M,f,F,s,m,g,F,在推力增加的过程中，如果推力很小，,滚动摩阻可以阻止圆环运动。只有当推力大到,一定的时候，圆环才能运动起来，这时滚动摩阻为最大值。,时,F,取极值,