积分变换第讲

单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,积分变换,第4讲,本文件可从网址,(单击ppt讲义后选择工程数学2子目录),1,卷积定理与相关函数,2,卷积的概念,若已知函数,f,1,(,t,),f,2,(,t,), 则积分,称为函数,f,1,(,t,)与,f,2,(,t,)的,卷积, 记为,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,),3,卷积的图示,f,1,(,t,),f,2,(,t,),t,O,f,2,(,-,t,),O,t,t,O,t,f,2,(,t,-,t,),4,一个函数卷积自己的图示,5,在积分,中, 令,u,=,t,-,t, 则,t,=,t,-,u, d,u,=-,d,t, 则,即卷积满足交换律.,6,下证卷积满足结合律, 即,f,1,(,t,),*,f,2,(t),*,f,3,(,t,)=,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,),*,f,3,(,t,)为此, 令,则,7,交换二重积分的次序, 得,令,v,=,t,-,u, 则,u,=,t,-,v,8,例1,证明,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,)+,f,3,(,t,)=,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,)+,f,1,(,t,),*,f,3,(,t,),证,根据卷积的定义,9,任给函数,f,(,t,), 都有,f,(,t,),*,d,(,t,)=,f,(,t,), 这是因为,因此, 单位脉冲函数,d,(,t,)在卷积运算中起着类似数的运算中的1的作用.,10,在近世代数中,代数,(algebra)一词表示两个元素到一个元素的映射规则. 比如数的加减乘除, 向量的加, 内积, 矩阵的加和乘, 向量或者矩阵乘数, 等等,都是代数运算.如果一个代数运算满足类似加法的性质, 如有0元素, 有负元素, 满足交换律和结合律, 则相应的集合叫做加法群, 简称,群,.如果在加法群上再定义一个被称作乘法的运算, 满足交换律和结合律, 有1元素, 且同相应的加法运算满足分配律, 此集合就叫做乘法环, 简称,环,.如果乘法除0元素外都有逆, 则被称作,域,了.,11,例2,若,求,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,),f,1,(,t,),1,O,t,t,O,f,2,(,t,-,t,),1,t,12,由卷积的定义有,t,O,1,-,e,-,t,1,13,卷积定理,假定,f,1,(,t,),f,2,(,t,)都满足傅氏积分定理中的条件, 如,f,1,(,t,),F,1,(,w,),f,2,(,t,),F,2,(,w,)则,f,1,(,t,),*,f,2,(,t,),F,1,(,w,),F,2,(,w,)以及,14,证,按傅氏变换的定义, 有,15,相关函数,对两个不同的函数,f,1,(,t,)和,f,2,(,t,), 则积分,称为两个函数的,互相关函数, 记为,R,12,(,t,), 即,16,当,f,1,(,t,)=,f,2,(,t,)=,f,(,t,)时, 积分,称为,f,(,t,)的,自相关函数,(简称,相关函数,). 用记号,R,(,t,)表示, 即,17,根据,R,(,t,)的定义, 自相关函数是一个偶函数,R,(,-,t,)=,R,(,t,)事实上,令,t,=,u,+,t, 可得,关于互相关函数, 有如下的性质:,R,21,(,t,)=,R,12,(,-,t,),18,前面已经证明过,令,f,1,(,t,)=,f,(,t,),f,2,(,t,)=,f,(,t,+,t,), 设,f,(,t,),F,(,w,), 则,19,假设,f,1,(,t,),F,1,(,w,),f,2,(,t,),F,2,(,w,), 称,S,12,(,w,)=,F,1,(,w,),F,2,(,w,)为互能量谱密度. 则,即,R,12,(,t,),S,12,(,w,), 且易证,S,21,(,w,)=,S,12,(,w,),20,例3 求指数衰减函数,的自相关函数和能量谱密度,t,O,f,(,t,),1,t,O,f,(,t,+,t,),1,t,O,f,(,t,+,t,),1,-,t,-,t,21,当,t,0时, 积分区间为0,+,),当,t,0时, 积分区间为,-,t, +,),22,因此, 当,t,时, 自相关函数可合写为,并求得能量谱密度为,23,例4 利用傅氏变换的性质, 求,d,(,t,-,t,0,),24,例5 若,f,(,t,)=cos,w,0,t,u,(,t,), 求,F,f,(,t,),25,例6 若,F,(,w,)=,F,f,(,t,), 证明,26,奈奎斯特采样率,27,假设时间函数,f,(,t,)在区间,-,a,a,之外全为零, 并假设,f,(,t,),F,(,w,),t,O,f,(,t,),a,-,a,O,w,F,(,w,),28,现将,f,(,t,)进行周期化, 产生,f,T,(,t,),T,=2,a, 然后用傅氏级数表示.,t,O,f,T,(,t,),a,-,a,29,t,O,f,T,(,t,),a,-,a,O,w,F,T,(,w,),w,1,w,2,.,30,根据对称原理有,F,T,(,t,),2,p,f,T,(,-,w,),O,t,F,T,(,t,),i,1,t,2,.,w,O,f,T,(,-w,),a,-,a,31,假设时间函数,f,(,t,)的频谱函数,F,(,w,)在,-2p,B,2,p,B,之外为0.,B,称为,f,(,t,)的带宽.,w,O,F,(,w,),2,p,B,-2,p,B,O,t,f,(,t,),32,现对,f,(,t,)进行间隔为,D,t,的采样得,g,(,t,),33,如图所示:,O,t,i,1,t,2,.,w,O,G,(,w,),Dw,/2,g,(,t,),-Dw,/2,34,35,作业 习题四,第44页,第1,4题,36,请提问,37,