隐函数定理课件

返回,后页,前页,隐函数是函数关系的另一种表现形式.讨论隐函数的存在性、连续性与可微性,不仅,是,出于深刻了解这类函数本身的需要,同时又为后面研究隐函数组的存在性问题打好了基础.,一、隐函数概念,二、隐函数存在性条件分析,三、隐函数定理,四、隐函数求导数举例,1,隐函数,一个方程式所确定的函数例如：,一、隐函数概念,显函数：,因变量可由自变量的某一表达式来表示,的函数例如：,隐函数：,自变量与因变量之间的对应关系是由某,隐函数的一般定义：,设有一方程,则成立恒等式,其中 若存在,对任一 有惟一确定的,与之对应, 使,得 满足方程 (1) ,则称由方程 (1) 确定了一,个定义在 , 值域含于 的隐函数,如果把此隐函,记为,取值范围例如由方程可确定如下两,个函数：,注2,不是任一方程 都能确定隐函数,例如 显然不能确定任何隐函数,注1,隐函数一般不易化为显函数，也不一定需要,化为显函数上面把隐函数仍记为 ，这,与它能否用显函数表示无关,注3,隐函数一般需要同时指出自变量与因变量的,在,2,还要讨论由多个方程确定隐函数组的问题.,注4,类似地可定义多元隐函数例如:,由方程,确定的隐函数,确定的隐函数,由方程,二、隐函数存在性条件分析,条件时，由方程 (1) 能确定隐函数 , 并使,要讨论的问题是：当函数 满足怎样一些,该隐函数具有连续、可微等良好性质?,(a),把上述看作曲面 与坐标,平面的交线，故至少要求该交集非空，即,，满足,连续是合理的,(b),为使 在 连续，故要求 在点,由此可见，是一个重要条件,点 存在切线，而此切线是曲面 在点,的切平面与 的交线，故应要求 在,(c),为使 在 可导，即曲线在,点 可微，且,(d),在以上条件下，通过复合求导数，得到,三、隐函数定理,定理18.1,( 隐函数存在惟一性定理 ),设方程 (1) 中,的函数 满足以下四个条件：,(i),在以 为内点的某区域 上连续；,(ii),( 初始条件 )；,(iii),在 内存在连续的偏导数 ；,(iv),则有如下结论成立：,在 上连续,存在某邻域 ，在 内由方程 (1) 惟,一地确定了一个隐函数,并且满足：,，当 时，使得,证,首先证明隐函数的存在与惟一性,证明过程归结起来有四个步骤 ( 图示如下 )：,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(c),同号两边伸, ,(d),利用介值性, ,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,(a) “一点正, 一片正 ”,由条件 (iv), 不妨设,因为 连续，所以根据,保号性， 使得,(a),一点正,一片正,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,+,(b),正、负上下分,_,_,_,+,_,0,(b) “正、负上下分 ”,因 故,把 看作 的函数，它在 上,严格增，且连续 ( 据条件 (i) ),特别对于函数,由条,因为 关于 连续，故由,(b) 的结论，根据保号性， 使得,(c),同号两边伸, ,(c) “同号两边伸”,(d) “利用介值性”,因,关于 连续, 且严,格增，故由 (c) 的结论，依据介值性定理, 存在惟,(d),利用介值性, ,满足,一的,就证得存在惟一的隐函数:,由的任意性, 这,若记 则定理结论 得证,下面再来证明上述隐函数的连续性:,欲证上述 在 连续.,.,.,类似于前面 (c) ， 使得,取 足够小，使,由 对 严格增，而,推知,在 上处处连续,因此 在连续. 由的任意性, 便证得,且当 时，有,类似于前面 (d) ，由于隐函数惟一，故有,注1,定理 18.1 的条件 (i) (iv) 既是充分条件, 又,是一组十分重要的条件. 例如：,在点 虽,不满足条件 (iv)，但仍能确定惟一的隐函数,(双纽线), 在,点 同样不满足,条件 (iv)，而在该点,无论多小的邻域内,用这两个较强的条件，一则是使用时便于检验，,的作用,二则是在后面的定理 18.2 中它们还将起到实质性,注3,读者必须注意, 定理 18.1 是一个,局部性,的隐,函数存在定理例如从以上双纽线图形看出: 除了,三点以外, 曲线上其余各点处都,确实不能确定惟一的隐函数 (见图).,注 2,条件 (iii) 、 (iv) 在证明中只是用来保证在邻,域 内 关于为严格单调之所以采,存在局部隐函数 ( 这不难用定理 18.1 加,以检验，见 四、例),注4,在方程 中,与 的地位是平等,的. 当条件 (iii) 、 (iv) 改为,时，将存在局部的连续隐函数,连续, 且,“,”,定理 18.2,( 隐函数可微性定理 ),设函数 满,足定理 18.1 中的条件 (i) (iv), 在 内还存在连,续的 . 则由方程 所确定的隐,函数 在,I,内有连续的导函数，且,( 注: 其中,示于定理18.1 的证明 (d) ).,使用微分中值定理, 使得,证,设则,由条件易知,F,可微，并有,显然也是连续函数,因 都是连续函数, 故 时,并有,(3),注1,当 存在二阶连续偏导数时，所得隐函,数也二阶可导应用两次复合求导法，得,将 (2) 式代入上式，经整理后得到,注2,利用公式 (2) , (3) 求隐函数的极值:,(a) 求使 的点 , 即 的解,(b) 在点 处因，而使 (3) 式化简为,(4),(c) 由极值判别法, 当 时, 隐函数,在 取得极大值(或极小值),设在以点 为内点的某区域 上,则存在某邻域 在其内存在惟一的、连,续可微的隐函数 ，且有,注3,由方程,(5),确定隐函数的相关定理简述如下：,F,的所有一阶偏导数都连续，并满足,(6),更一般地，由方程,确定隐函数 的相关定理, 见教,材下册 p.149 上的,定理18.3, 这里不再详述.,解,令 它有连续的,求解 分别得到,四、隐函数求导数举例,例1,试讨论双纽线方程,所能确定的隐函数,再考虑隐函数的极值由于,在其他所有点处都存在局部的可微隐函数,所以，除 这三点外，曲线上在其他,所有点处都存在局部的可微隐函数,同理，除 这五点外，曲线上,由对称性可知,各点处都能确定局部的隐函数,例2,讨论,Descartes,叶形线,(7),所确定的隐函数 的存,在性，并求其一阶、二阶导数,解,令,先求出在曲线 (7) 上使,的点为,. 除此两点外, 方程 (7) 在其他,然后再算出:,为了使用公式 (3) , 先算出:,由公式 (2) 求得,平切线和垂直切线,类似于例1 的方法, 求出曲线上使 的点为,在几何上，它是两条曲线,和,的交点 (见图). 容易验证,所以,隐函数在点 取得极大值,以上讨论同时说明, 该曲线在点 和 分别有水,例3,试求由方程 所确定的隐,函数 在点 处的全微分,解法 1 ( 形式计算法 ),对方程两边微分，得,将 代入，又得,解法 2 ( 隐函数法 ),设,由于 上处处连续, 而,因此在点,P,附近能惟一地确定连续可微的隐函数,且可求得它的偏导数如下：,以 代入, 便得到,例4,用隐函数方法处理反函数的存在性及其导数.,解,设 在 的某邻域内有连续的导函数,且 现在来考察方程,由于,因此只要 就能满足隐函数定理的所有,条件, 由方程 (8) 便能确定连续可微的隐函数,(8),因它满足 故它就是,的反函数. 应用隐函数求导公式, 又可得, 故将此两式相加便得所需结果.,例 5,设 是由方程,所确定的隐函数, 其中,F,具有连续的二阶偏导数,试证,证,易知 于是有,由此得到 再分别对,x,与,y,求偏导数,又得 因在假设条件下,1,在隐函数的定义中，为什么强调必须指出,3,设能确定连续可微的隐函数:,( 由此能说明些什么? ),验证：,2,在定理 18.1 对隐函数连续性进行证明时，,复习思考题,因变量的取值范围？( 结合例题加以说明 . ),最后为什么要用到隐函数的惟一性？,4.,试对例3 的两种解法 (形式计算法与隐函数,法) 作一比较, 指出两者各有哪些优缺点?,