让文化架起一座沟通数学的桥梁 上海交通大学《数学与文化》课程的

单击此处编辑母版标题样式,*,*,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,单击此处编辑母版标题样式,单击此处编辑母版文本样式,第二级,第三级,第四级,第五级,*,*,让文化架起沟通数学的桥梁-上海交通大学?数学与文化?课程建设,纪志刚,上海交通大学科学史系,2021年7月15日 南开大学,1,?上海交通大学关于设置本科通识教育核心课程的意见?2021,课程设置:人文科学、社会科学、自然科学与工程技术、数学与逻辑,数学类通识课程的教学重点是“数学思想和思想方法。使学生了解数学开展中的重大事件及数学家的创见和创造，了解数学的文化功能和思想价值，以及对科技进步和社会开展的意义，尤其要注重培养学生的数学思维能力。,2,?数学与文化?课程的总体设计,一 课程的根本架构,“数学主题为先导，即选择不同历史时期具有典型意义的数学概念、思想、方法，简要表达历史开展，通过数学开展中的重大事件、著名数学家的创见和发现，揭示数学思想演变和数学方法的形成。,3,围绕“数学主题，寻找相应的“文化切入点，通过探讨数学与文学、艺术、宗教等人文科学，以及其他自然科学分支的内在联系，注重说明数学的理性精神和文化魅力；在帮助学生了解数学的文化功能和思想价值的同时，注重培养学生的数学思维能力。,通过探索数学对科技进步和社会开展的作用，说明数学是人类文明的主要组成局部和不可缺少的重要文化力量。,4,具体做法是：确立15个左右的“数学主题，对每个主题或突出其在数学思想史上的重要意义、或突出其在思想方法或创新思维的启发例如；,每个主题的“文化切入点那么注重揭示数学的文化功能和思想价值，展示数学对科技进步和社会开展的意义。,5,为了启发思想，培养学生自主学习和创新知识的能力，本课程拟就“东西方数学文化的特点与比较、“数学在科学革命中的作用、“数学与文学、“数学与美学、“数学与音乐、“数学大师创新思维特点“数学与当代社会等专题组织学生展开讨论，归纳分析、共同总结，鼓励学生走上讲台进行个人展示。,二,课程的个性化要求,6,三,课堂教学拓展与深化,为了配合课堂教学，本课程有选择放映假设干部与数学相关的电影，如：?美丽的心灵?、?费马的房间?、百老汇音乐剧?费马最后的探戈?，帮助学生更直观地了解数学与文化的相互关系。同时引导学生阅读欧几里得?几何原本?，?九章算术?，伽利略?两门新科学的谈话?、笛卡尔?几何学?、牛顿?自然哲学的数学原理?、希尔伯特?几何学根底?等数学原典(片断)，为学生创设亲炙大师的时机。,7,推荐学生阅读?古今数学思想?、?西方文化中的数学?、?微积分概念史?、?数学精英?、?费马大定理?、?数学恩仇录?、?后现代思想的数学根源?等数学与文化的名篇佳作，拓展学生的知识视野，提升学生的数学品位。,8,导论 数学与文化理性、精神和信念,单元1 从前有个数 ：记数法那么与数系扩张,数学主题：古代埃及、巴比伦、印度、中国的记数法；数系扩张,文化切入点： 古代文明记数法的文化差异与共性,单元2 数学的理性：希腊的哲学与数学,数学主题：柏拉图的数学观；欧几里得与?原本?,文化切入点：数学中的柏拉图主义；用“几何精神架构社会契约,单元3 中国古代数学的东方特色,数学主题： ?九章算术?； 刘徽的数学思想,文化切入点： 中国传统数学的社会性,9,单元4 数学在欧洲的复兴,数学主题：中世纪的数学；数学与文艺复兴,文化切入点：“三文、四艺；奥马尔.海亚姆与?鲁拜集?；绘画与透视学；数学在科学革命中的作用,单元5 新数学、新世界、新观念,数学主题：微积分的创立；牛顿与?自然哲学的数学原理?,文化切入点：机械论自然观；牛顿学说及其对哲学、宗教和文学的影响,单元6 分析算术化,数学主题：极限、函数、导数、积分概念的严密化；实数理论的完善,文化切入点：贝克莱论战；数学与人的本性,10,单元 非欧几何：奇妙的新世界,数学主题：第五公设；非欧几何；几何根底,文化切入点： 物理空间与数学空间；相对论的数学根底,单元8 青春的律动：阿贝尔与伽罗瓦,数学主题：五次以上方程的可解性；群论,文化切入点：数学天才与社会环境，数学创新思维的个案分析,单元9 探索无穷,数学主题：“实无穷与“潜无穷 ；康托“超限数理论,文化切入点： 东西方无穷观念的比较；无穷的文化史,11,单元10 上帝是否在掷骰子？,数学主题：从赌徒问题到概率论，随机过程,文化切入点：数学与大自然的运作,单元11 让数字说话-社会学研究中的统计方法,数学主题：数理统计简要历史,文化切入点：用统计的观点看世界,单元12美丽的数学心灵,数学主题： 纳什与博弈论,文化切入点：“纳什博弈与社会生活,12,单元13 维尔斯VS陈景润,主题：费马大定理；哥德巴赫猜测,文化切入点：徐迟的报告文学?哥德巴赫猜测?,单元14 数学的真理性,数学主题： 悖论与数学危机；哥德尔不完备定理,文化切入点：“否认比肯定更具普遍性,单元15 数学与后现代思想,数学主题：数学根底的三大流派及其争论,文化切入点：结构主义、功能主义和解构主义的数学语境分析,13,课程特点,两条主线：不同历史时期数学与文化相互交融,板块交叉：东方与西方、古典与现代、思想与方法、宏观与微观,多元视角：数学与文化形态宗教、艺术、文学等、社会进步、政治变革的互动关系,14,几个案例,第一讲 从前有个数 ：记数法那么与数系扩张,数学主题：,古代埃及、巴比伦、印度、中国的记数法,数系扩张,文化切入点：,古代文明记数法的文化差异与共性,15,“数说文化,相传，苏东坡与学友赴京赶考，因涨大水，船只行进困难，耽误时日，眼看应考就要迟到，学友叹曰：一叶孤舟，坐二三个骚客，启用四浆五帆， 经由六滩七湾，历尽八颠九簸，可叹十分来迟,苏东坡那么劝勉道： 十年寒窗，进九八家书院，抛却七情六欲， 苦读五经四书，考了三番二次，今天一定要中,上联从一数到十，下联又倒着从十数到一，不仅数字使用巧妙得当，而且将莘莘学子寒窗苦读、赴京赶考的艰难表述得淋漓尽致。,16,Da mi basia mille,Gaius Valerius Catullus,(ca. 84 BC ca. 54 BC),da mi basia,mille,deinde,centum,dein,mille,altera,dein secunda,centum,deinde usque altera,mille,deinde,centum,.dein, cum milia multa fecerimus,conturbabimus illa, ne sciamus,aut ne quis malus inuidere possit,cum tantum sciat esse basiorum.,17,数字的生命-摘自电影?,男：我喜欢数字，一个你，一个我，一个月亮，一个太阳。,女：我一定要绕着你转吗？我是围绕你旋转的银星吗？你是光和热的源泉，而我只是影子，引起潮水涨落和寒冷吗？,男：我只不过说了一个数字，一个意念。我喜欢单一的状态。仅此而已,女：单一是一个基于幻觉的词，生活本身由融合开展开来。而是结合，是释放，是吸引和拒绝，是肯定或否认，不是“独奏曲。但是，把我们引导到这里的是甜蜜的二重奏，然后忘记我们邂逅的事情。是带给我们欢乐，欲望带我们走向爱。,18,男：你说得对，现在我要说。你和他，现在是我。,女：天啊！还是让我们藏在数字里吧。一间四面有墙的房子，把外面的喧嚣关在门外,男：我们扯的太远了。我忘记了比还要早的事情。关于空虚、巨大和无边的虚无状态。这是我们唯一需要的数字。零是陛下，它无声无息的主导我们的生活。,女：说的好。但我觉得太神秘了。人们创造了零。因此，我们可以数数，可以计算难以想象的巨大而棘手的数字，然后增加到的力量。我们开始计算空间和时间。,19,第二讲 数学的理性：希腊的哲学与数学,数学主题：,柏拉图的数学观,欧几里得与?原本?,文化切入点：,柏拉图主义,用“几何精神架构社会契约,20,柏拉图主义的根本观点是：数学的对象就是数、量、图形等数学概念，而数学概念作为抽象一般或“共相，是客观存在着的。柏拉图认为它们存在于一个特殊的理念世界里，后世的柏拉图主义者并不接受“理念论，但也认为数学概念是一种特殊的独立于现实世界之外的客观存在，它们是不依赖于时间、空间和人的思维的永恒的存在。数学家得到新的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述；数学新成果不是创造，而是发现。与之相应的，柏拉图主义认为数学理论的真理性是客观的，是由那种独立于现实世界之外的存在决定的，而这种真理性是要靠“心智经验来理解，靠某种“数学直觉来认识的，人们只有通过直觉才能到达独立于现实世界之外的“数学世界。,数学中的柏拉图主义,21,“几何精神与社会“契约,斯宾诺莎：?伦理学?Ethics，1675,第一章：8条定义，7条公理,证明8条定理和推论，证明的结尾标注：,Q.E.D.( quod erat demonstrandum-此即所证),22,马尔萨斯Thomas Malthus：,?人口论?An Essay on the Principle of Population,1798),开篇先立两条公设postulata：,1对于人类的生存，食物是必需的；,2两性之间的情欲是必需的，并且将以相近目前的状态持续下去。,据此推出人口已几何级数增长，而食物以算术级数增长。,23,?独立宣言?,Declaration of Independence,1776,“我们认为下面这些真理是不言而喻(self-evident )的：人人生而平等，造物者赋予他们假设干不可剥夺的权利，其中包括生命权、自由权和追求幸福的权利。 ,?葛底斯堡演说?1863,“八十七年前，我们的先辈们在这块大地上创立了一个新的国家，孕育于自由，奉行人皆生而平等的原理proposition,24,西学与“戊戌维新,康有为是近代中国以数学方法来阐释人文理论的第一人。他认为：“天文地理各学皆从算学入，通算犹识字也。 他鼓励学生要循序渐进，学好数学。,据?康南海自编年谱?载，他自己于1885年即“从事算学，以几何著?人类公理?，第二年“又作?公理书?，依几何为之者 。,25,维新运动时期，康有为在前两稿根底上，编成?实理公法全书?，模拟欧几里得?几何原本?的思维路数，将其认定的人类必须共同遵守的公私关系的道理，分门别类，归算为假设干“实理，类似欧氏几何学的“定义；而把其所设计的为保证“实理得到遵守的社会生活准那么，叫作“公法，与之作为比照的是各国现行或曾行、将行的信条，即所谓“比例；还在各论条之下加按语说明，分别相当于欧氏几何学的“定理、“公式和“证明。,26,谭嗣同也非常重视数学、几何学。他创办的第一个学会就是算学会。他说，“算法为格致入门之始，“格致、制造、测地、行海诸学，固无一不自测算而得。他曾下苦功通读过?几何原本?前六卷，还试图解答其中的疑难问题，认为“算学即不深，而不可不习几何学。盖论事办事之条段在是矣。,和康有为一样，谭嗣同也以数学逻辑来建立其哲学体系。?仁学?中的?界说?即模仿?几何原本?书前的“界说定义制定。例如，界说第十四条“不生与不灭平等，那么生与灭平等，生灭与不生不灭亦平等，即是以?几何原本?公论来推演的-推演错了！。,27,第三讲 中国古代数学的东方特色,数学主题：?九章算术?， 刘徽的数学思想：“割圆术，“无理根数，“牟合方盖球体求积-无穷观念与极限方法,“开之不尽，为不可开，当以面命之?九章?,刘徽：不以面命之，加定法如前，求其微数。微数无名者，其一退以十为母，再退以百为母，退之弥下，其分弥细，虽朱幂虽有所弃之数缺乏言也。,文化切入点：中国传统数学的社会性,昔者周公问于商高曰：窃闻乎大夫善数也。请问古者包牺立周天历度，夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度。请问数安从出？,商高曰：数之法出于圆方。圆出于方，方出于矩，矩出于九九八十一。故折矩以为句广三，股修四，径隅五。既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五。两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所生也。,周公曰：大哉言数。 ,-?周髀算经?,周公问数,既方之，外半其一矩，环而共盘，得成三四五,伏羲执矩，女娲执规,东汉画像石山东武梁祠,周公曰：大哉言数。请问用矩之道。,商高曰：平矩以正绳，偃矩以望高，覆矩以测深，卧矩以知远，环矩以为圆，合矩以为方。方属地，圆属天。天圆地方，方数为典。以方出圆，笠以写天。天青黑，地黄赤。天数之为笠也，青黑为表，丹黄为里，以象天地之位。是故知地者智，知天者圣。智出于句，句出于矩。夫矩之于数，其裁制万物，惟所为耳。,周公曰：善哉。,?唐阙史?：杨损择吏的故事,青州杨尚书损，观风陕郊日，政令颇肃，郡人戎校缺，必采于舆论而升陟之， 缕及细胥贱卒，率用斯道，以是莅政累载，无积薪叹燥请托之源。一日，使院有专兵籍者阙，局司颇重，选置惟难。有吏两人，众推合授，较其岁月职次，功绩 违犯，无少差异者，従事掾不能决，请裁于长，长或臆断，谁曰无私。杨公俯首久之，曰：“余得之矣。乃谓曰：“为吏之最，孰先于书算耶！姑听吾言：有夕道于丛林间者，聆群跖评窃贿之数，且曰：人六匹那么长五匹，人七匹那么短八匹。 不知几人复几匹？顾主砚小吏著于纸，令俯阶筹之，且曰：“先达者胜。少顷，一吏果以状先，遂授良阙，侪类那么眙伏而退。,第五讲 新数学、新世界、新观念,数学主题：,微积分的创立,牛顿与?自然哲学的数学原理?,文化切入点：,自然的数学化,机械论自然观,牛顿学说及其对哲学、宗教和文学的影响,35,自然的数学化,哥白尼的日心说比托勒密地心说更优越，在于它有着数学上的简洁性。,伽利略：自然这部书“是用数学语言写成的，字母是三角形、圆以及其它几何图形，没有这些，人类连一个字也读不懂。,牛顿的解释“自然不做徒劳的事，解释多了白费口舌，言简意赅才见真谛。因为自然喜欢简单性，不会响应于多于原因的侈谈。,笛卡尔的伟大设想：“一切问题化为数学问题，一切数学问题化为代数问题，一切代数问题化为代数方程求解问题。,36,机械论自然观确实立,以牛顿运动三定律和万有引力定律为根底，机械论自然观描绘了这样一幅世界蓝图：,1整个宇宙是由不可再分的物质微粒即原子构成；,2物质的性质由原子的数量组合和空间结构决定；,3原子的质量守恒、惯性、广延性、不可入性等等，是一切物质的共同属性；,4物质之间存在相互作用的万有引力；,5一切物质运动都是绝对、均匀的空间和时间的位移，遵循机械运动规律，保持严格的因果关系；,6 物质运动的根本原因在于外力推动。,37,机械论自然观的特征,1人与自然的别离；,2自然界的数学设计；,3物理世界的复原论说明；,4自然界与机器的类比。,38,数学,-,万理之源,“我献出这一作品，作为哲学-即科学的数学原理，因为哲学的全部困难似乎在于从运动现象研究自然界的力，然后从这些力去说明其他现象。我希望，自然界的其他现象，亦可以用同样的方法，由数学原理推导出来。许多理由使我产生了一种想法：这些现象都与某种力有关，物体之质点，以某种尚未为人所知的原因，通过这种力或互相吸引，或按一定规那么形式聚合，或者互相吸引，或者互相排斥。,-牛顿?自然哲学的数学原理序言?,39,经典力学：牛顿的世界,声学定律：声速测定,弹性定律：胡克,大气压强定律：伽利略、托里折利,血液循环：哈维,能量转换定律：化学、热学、力学,意义：,所有自然现象都可以从运动定律和引力定律中推导出来,！,40,“万有引力如何成为法国夫人们的“爱情定律？,41,第六讲 分析算术化,数学主题：,极限、函数、导数、积分概念的严密化,实数理论的完善,文化切入点：,贝克莱论战,数学与人的本性,?人类理智论?洛克，1690,?人类知识原理?贝克莱，1710,?人类理解研究?休谟，1748,?道德与立法原理引论?边沁，1789,?人性分析?穆勒,上帝和大自然将总的框架定下，宣称自然和社会犹如一个整体,“该体系的每个构成要素，都是从以数学的方式建立的各种定理出发，并能够复原到这些定理的。,“用定理或共同的高级概念将各命题结合起来，通过一种完整而无阙漏的演绎，就可到达几乎近于欧几里得几何学的逻辑性体系。,第七讲 非欧几何：奇妙的新世界,数学主题：,第五公设,非欧几何,几何根底,文化切入点：,物理空间与数学空间,相对论的数学根底,如何理解“外星人的世界,有界而无穷,图中所有三角形的面积在非欧度量下都是相等的！,Coxster,加拿大几何学家,心有灵犀一点通,天使与魔鬼,荷兰版画艺术大师,M.C.,埃舍尔的作品之一,圆极限,III,一连串的鱼像火箭发射一样从边缘处以直角向中心窜出，对于欧氏几何来说，这些鱼大小不同，而对于非欧度量来说，它们是“全等的！,埃舍尔,Escher,瀑布 鱼与鸟,非欧几何就在我们脚下！,直线:球面大圆,-任二直线都相交!,球面三角形的根本定理,-三角形内角和大于1800,如何理解“外星人的世界,只有在欧氏空间中，战神的激光枪发出的光才是平直的！,第十二讲 美丽的数学心灵,观看影片?美丽的心灵?,数学主题：,纳什与博弈论,文化切入点：,“纳什博弈与社会生活,51,导演：Ron Howard,主演：Russell Crowe,.John Nash Jennifer Connelly,.Alicia Nash Ed Harris,William Parcher,Christopher Plummer,.Dr. Rosen,2001获奖情况：8项奥斯卡提名,2002年74届Oscar：,最正确影片,最正确导演,最正确改编剧本,最正确女配角,52,Mathematicians won the war, mathematicians broke the codes and built the A-bomb. Mathematicians like you.,53,这是一部描写数学天才的电影，但数学并不是“主题，那么，“主题是什么？,54,我一直相信数字，方程式，逻辑，它们引导我们去思考。但是我追求一生，回过头再想，我问自己：什么是真正的逻辑推理，谁决定原由?我探索这个问题，从肉体，到精神，甚至到梦想，这样来回走了一遭。我的事业有了重大突破，但我一生最重要的发现是，只有在神秘的爱情方程式才能找到逻辑的原由。,今晚，我能站在这里，全是你的功绩。你是我生命的原由，你是我的全部，谢谢！,-约翰.纳什?美丽心灵?,55,托马斯谢林和罗伯特奥曼荣获2005年度诺贝尔经济学奖。他们的卓越工作，加深了人们对于在核军备竞赛、贸易战、价格战和政治关系、外交关系中的对抗与合作的理解。半个世纪以来，博弈论给经济学带来革命性的变革，说：“要想在现代社会做一个有文化的人，你必须对博弈论有一个大致的了解保罗萨缪尔森。,56,第十,四,讲,数学的真理性,数学,主题,：,悖论与数学危机,哥德尔不完备性定理,文化切入点：,哥德尔不完备定理的文化意义,57,哥德尔不完备性定理的建立粉碎了数学家两千年来的信念。它告诉我们，“真与“可证是两个概念。“可证性涉及到一个具有能行性的较为机械的思维过程；而“真理性那么涉及到一个能动的超穷的思维过程。因此，可证的一定是真的，但真的不一定可证。从这个意义上说，悖论的阴影将永远伴随着我们。,外尔的感慨：“上帝是存在的，因为数学无疑是相容的；魔鬼也是存在的，因为我们不能证明这种相容性。,58,“否认比肯定更具普遍性,人脑终究不能解释成机器，计算机绝不可能超越人类心智。,形式系统的不完备性，必然根源于它的创造者的不完备性。,不确定性是人类认识的形式逻辑思维本身固有的。即使纯粹数学也无法彻底到达确定性。,59,作为理性精神的化身，数学已经渗透到以前由权威、习惯、风俗所统治的领域，而且取代它们成为思想和行动的指南。最为重要的是，作为一种珍贵的、无可比较的人类成就，数学在使人赏心悦目和提供审美价值方面，至少可与其他任何一种文化门类媲美。,克莱因?西方文化中的数学?,英文版1953,中文版2005,结 语,60,谢 谢,!,61,