平面图形几何性质

平面图形的几何性质,平面图形几何性质：,截面面积,A,极惯性矩,惯性矩,I,变形小,变形大,P,P,（,弯曲应力),1 静矩和形心,1. 静矩,平面图形对,z,轴的,静矩,平面图形对,y,轴的,静矩,z,A,o,y,dA,y,z,静矩 面积距离,静矩的性质:,1、可为正、负、零；,3、静矩的量纲：长度,3,2、同一个平面图形对不同坐标轴的静矩是不同的；,2.形心,（,y,c,z,c,）,对任意一个平面图形：,z,dA,A,o,y,y,z,y,c,z,c,c,形心坐标：,形心坐标与静矩之间的关系：,1、平面图形对形心轴的静矩一定为零 ；,结论：,2、若平面图形对某一轴的静矩等于零 ，那么这个轴一定过形心；,z,y,h,b,取微面积：,例1：,计算图示三角形对,y,轴的静矩，及形心到,y,轴的距离。,dz,z,b(z),解：,对,Y,轴的静矩,形心,一般情况下，对哪个轴求静矩，就取与这个轴平行的狭长矩形作为积分的面积元素,组合截面：,(,y,i,、,z,i,第,I,个简单截面的形心在,yoz,坐标系的坐标 ),z,o,y,(,组合截面的形心坐标 ),由几个形心和面积已知的简单图形组成；,例2：,求图示物体的形心坐标。,解,：,矩形,I,：,矩形,II：,单位,:,mm,120,10,10,z,y,80,（,y,c,，,z,c,）,I,y,1,z,1,II,y,2,y,2,z,2,形心,：,单位,:,mm,y,1,z,1,I,120,10,10,z,y,80,（,y,c,，,z,c,）,y,2,II,y,2,II,z,2,例4-3 求图示,T,形截面的形心坐标。,解：,建参考坐标系，,y,轴为对称轴。,将,T,形截面看成由两个矩形组成。,A=A,1,+A,2,=20,100+10020=4000mm,2,S,z1,=A,1,y,c1,=200,0(100+10)=2.210,5,mm,3,S,z2,=A,2,y,c2,=2,000(100/2)=110,5,mm,3,100,100,20,20,y,c,=,S,z,/A=,80mm,S,z,=S,z1,+S,z2,=3.2,10,5,mm,3,z,c,=0,z,y,1,2,*,y,c,2 惯性矩和惯性半径,1. 惯性矩,z,dA,A,o,y,y,z,对原点,o,的,极惯性矩:,对,z,、,y,轴惯性矩:,惯性矩，极惯性矩的性质:,1、只能为正（不能为零）；,3、惯性矩的量纲：,长度,4,；,2、同一个平面图形对不同坐标轴的惯性矩是不同的；,平面图形对任一对垂直轴的惯性矩之和就等于其对这两个轴交点的极惯性矩,例1:,计算矩形截面对其形心轴的惯性矩。,b/2,b/2,h/2,h/2,y,z,dA,=,bdy,同理对,y,轴,矩形截面对形心轴的惯性矩:,dy,y,b/2,b/2,h/2,h/2,y,z,对,z,轴的惯性矩:,解：,dz,z,b/2,b/2,h/2,h/2,y,z,取一与,z,轴平行的狭长矩形作为面积元素,变形小,I,小,P,P,变形大,I,大,矩形截面,例2 计算圆形对形心轴的惯性矩。,D,z,y,解：,O,空心圆截面对直径轴的惯性矩：,实心圆截面对直径轴的惯性矩：,组合截面：,2. 惯性半径,在材料力学计算中，为方便起见，可以把惯性矩写成图形的面积,A,与某,长度,i,的平方的乘积形式：,注意：一般地，,惯性半径并无法给出明确的几何解释。特殊地，圆形截面的惯性半径等于四分之一圆的直径值。, 惯性半径,称：,惯性半径的性质:,1、只能为正；,2、量纲：长度,惯性积:,z,dA,A,o,y,y,z,3 惯性积,惯性积的性质:,1、可为正、负、零；,3、惯性积的量纲：,长度,4,；,2、同一个平面图形对不同坐标轴的惯性积是不同的；,Y，Z,轴中只要有一个是对称轴，平面图形对这两个轴的惯性积就等于零；,z,y,dy,dz,z,y,dA,dy,dz,z,y,dA,求,图示四分之一圆周与,Y、Z,轴形成的平面图形对,Y，Z,轴的惯性积。圆周半径为：,R,解：,任取一,面积元素,dA,o,y,y,z,z,A,4-4 平行移轴公式,(对形心轴的静矩),同理,有：,z,c,y,c,b,a,c,y,c,z,c,1、平行移轴公式中的,a,和,b,是形心在,yoz,坐标系中的坐标，可以为正，也可以为负；,2、平行移轴公式中的两对坐标轴必须平行，而且其中的一对坐标轴必须过形心；,dA,o,y,y,z,z,A,z,c,y,c,b,a,c,y,c,z,c,解：,？,（1）先求过形心轴的惯性矩,（2）再次利用平行移轴公式,例、 图示三角形截面,求：,b,h,z,z,1,z,c,*,已知：,组合截面的惯性矩,例1. 求图形对,y,轴,的惯性矩,I,y,平行移轴公式：,120,10,10,z,y,80,单位,:,mm,I,II,例4 计算图示圆孔截面的形心和对形心轴的惯性矩,解：,z,y,D,y,1,c,1）计算形心位置,用负面积法,因为图形对称于,Z,轴,所以形心的,Y,坐标等于0,z,y,D,y,1,c,2）计算惯性矩,见书,P153-,例5-2,4-4 转轴公式 主惯性轴,z,1,y,1,y,1,z,1,已知：,可以建立：,与,以及,之间的关系,如,y,1,轴和,z1,轴通过形心，同时,Iy,1z1=0,则称这两轴为：,形心主惯性轴,，对应的,惯性矩称为：,形心主惯性矩,定义：如果,Iy,1z1=0,则,y,1,轴和,z1,轴,为,主惯性轴,；,Iy,1,和,I,z1,称,为,主惯性矩,；,主惯性矩将是该平面图形对过,O,点所有坐标轴的惯性矩中的,极大、极小值,对于杆件而言，横截面的,形心主惯性轴,和杆件,的轴线,所形成的面称为：,形心主惯性平面,z,y,dA,y,z,O,如果截面具有一个,对称轴,，则此轴以及另一个和此轴相垂直的轴均为截面的,主惯性轴,。,推论：,同时由于,对称轴必过形心,，则对称轴为截面的,形心主惯性轴,。,横截面的,对称轴和杆件轴线,就形成了：,形心主惯性平面,。,杆件的,纵向对称面,就是：,形心主惯性平面,。,4-4 转轴公式 主惯性轴,z,y,dA,y,z,z,1,y,1,y,1,z,1,主惯性轴,主惯性矩,分别取极,大极小值,O,定义：如果,I,y,1,z1,=0,则,y,1,轴和,z1,轴,为,主惯性轴,。称：,I,y,1,和,I,z1,为,主惯性矩,，它们分别取图形所有可能的惯性矩中的极大、极小值。如两轴还通过形心，则称两轴为：,形心主惯性轴,，对应的,惯性矩称为：,形心主惯性矩,推论： 如果截面具有一个对称轴，则此轴以及另一个和此轴相垂直的轴均为为,主惯性轴,。,z,y,C,z,y,C,习题,材料力学,P184-5-9(e), (f), (b),