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,高 等 数 学,Higher mathematics,高 等 数 学,Higher mathematics,高 等 数 学,Higher mathematics,高 等 数 学,Higher mathematics,第一章,第,三,节,极限运算,一,、,极限的四则运算法则,三,、,两个重要,极限,四,、,无穷小的比较,二、,复合函数的极限运算法则,一,、 极限的四则运算法则,则有,证:,因,则有,(其中,为无穷小),于是,由,无穷小之和仍无穷小，,可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理,1,.,若,定理,2,.,若,则有,提示:,利用极限与无穷小关系定理证明 .,说明:,定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,(,C,为常数 ),推论 2 .,(,n,为正整数 ),证,:,例,1,.,求,例2.,设,n,次多项式,试证,证:,1.多项式型,为无穷小,定理,3,.,若,且,B,0 , 则有,证:,因,有,其中,设,无穷小,有界,因此,由极限与无穷小关系定理 , 得,为无穷小,注,1.以上结论均在limf(x)，limg(x),存在的前提下成立;,2.极限的加、减、乘运算法则可推广到有限个函数情形.,定理,例,4,.,设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明:,若,不能直接用商的运算法则 .,若,例,3,.,求,2.分母极限不为0型,例,如,.,x,= 3 时分母为 0 !,例,5,.,分子也为0,3. 型,约去公因子,解,商的法则不能用,由无穷小与无穷大的关系,得,例,6,约去公因子,法也不能用,4.,利用无穷小,、无穷大,运算性质求极限,但因,解:,(4),x,=,3,时,分母 = 0,分子0,但因,解:,(3),x,= 1 时,分母 = 0,分子0,例,7,解,例,8,求,解: 原式,(消去零因子法),5.,例,9,.,求,解:,时,分子,分子分母同除以,则,分母,原式,(无穷小因子分出法),为非负常数 ),一般有如下结果：,=0,6. 型,无穷小分出法:,以分母中自变量的最高次幂除分子、分母,以分出无穷小,然后再求极限.,定理,4,.,若,则有,提示:,因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .,解,例,10,原式,=,=,=,=,2,7.无穷项之和,不能用和的极限运算法则,例,11,解,左右极限存在且相等,8.,利用左右极限求分段函数极限,二,、 复合函数的极限运算法则,例,12,.,求,解:,法1,时,则,法2,时,则,换元法：将原式中的x都用u代替，将关于x的极限过程改为关于u的极限过程。,定理,5,.,设,且,x,满足,时,又,则有,证:,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此,式成立.,定理,5,.,设,且,x,满足,时,又,则有,说明:,若定理中,则类似可得,例,13,.,求,解:,令,已知, 原式 =,例,14,.,求,解:,法 1,则,令,原式,法 2,时,时,例,15,：设,(n=1,2,)，,试证数列 极限存在，并求此极限。,证：由,及,知,设对某正整数,k,有,则有,故由归纳法，对一切正整数,n,，都,有,即,为单调减少数列，且,解得,所以,例,16,设,，,证明,存在并求此极限；,证明:,当,时,设,，,则,单增有上界，从而必有极限。,设,， 则,由,得,又,设,，则,(2) ,消去零因子法,1.,极限四则运算法则,2. 求函数极限的方法,(3),对,型 , 约去公因子,分子分母同除,分母,最高次幂,Th1,Th2,Th3,Th4,总结,作业P33习题1-3中第1题,(4),型,(无穷小因子分出法),(5),无穷项之和,变形后求极限,(1),多项式,与,分式函数,(分母不为0,),代入法求极限,(7),利用左右极限求分段函数极限,(6),利用无穷小,、无穷大,运算性质求极限,(,8,) 复合函数极限求法,设中间变量,思考及练习,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答:,不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,
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